2) Aberrációk és reprezentálásuk
Mint említettük, a paraxiális közelítés
csak a kép méretének és helyzetének megadásához elegendő. A kép minőségének
vizsgálatához legalább harmadrendű tagokig kell figyelembe venni a szinusz fv.
sorát a refrakció törvényében. Ezáltal az optkai tengelytől távolabbi régiók
is kezelhetővé válnak, bár a formalizmus sokkal bonyolultabb, itt részletesen
nem is tárgyaljuk.
Csillagászati szempontból egy végtelenben lévő, pontszerű forrásnak, vagy másként
egy sík hullámfrontnak a lekélpezése érdekes.Kérdés, hogy a fókuszfelület (ami
nem mindig sík) különböző pontjain -vagyis az optikai tengelytől különböző szögtávolságokra-
milyen lesz egy ilyen forrás képe. Az 1950-es évekig a képalkotás minőségét
táblázatok, grafikonok segítségével adták meg, minden egyes hibát, aberrációt
külön reprezentálva. A számítógépek megjelenésével a helyzet megváltozott: egyszerűen
numerikusan többszáz, az apaertúrát egyenletesen kitöltő fénysugár útját végigszámolják,
hogyan haladnak át az optikai rendszeren és milyen pozícióban érkeznek a fókuszfelületre.
Az így kapott eredményeket az ún. spot diagram reprezentálja. Ez egy mátrixdiagram, vagyis a két tengelyén ábrázolt mennyiségeknek csak bizonyos értékeinél adja meg a kép méretét, alakját és a intenzitáseloszlást. A függőleges tengelyen az optikai tengelytől mért különböző szögtávolságok, a vízszintes tengelyen a fókuszfelülettől (nem csak sík felületre lehet elvégezni a számításokat) mért távolság vagy a bebocsátott sugarak hullámhossza szerepel. Utóbbi attűl függ, van-e diszperzív elem a rendszerben, vagy sem. Az alábbi két ábra egy-egy spot diagramot mutat be mindkét említett esetre. Összehasonlításul fel szokás tüntetni a fókuszfelület léptékét, általában egy 1"-es kört felrajzolva a diagram szélére.
Minél nagyobb számú sugárra végezzük a számítást, annál jobban rajzolódnak ki a kép sajátságai. Általában 200 sugár elegendő a méret és az alak kirajzolásához, az intenzitásviszonyokat viszont ezer, vagy még több sugár adja csak vissza. Az alábbi ábrák egy 200 mm-es, 1600 mm fókuszú gömbtükor esetén mutatják egy csillag képét,12,5 mm-re az optikai tengelytől. Az első ábrán 250, illetve 1000 sugár közti különbség látható, a második ábrán 25000 sugár követésének eredménye, illetve az intenzitás-eloszlás 3 dimenziós modellje látható.
A sugárkövetés egyszerűen kezelhető
számítógéppel, az optikai rendszert ugyanis egy mátrix segítségével le lehet
írni, s hasonlóan a belépő sugarak is reprezentálhatóak mátrixok segítségével.
Ezek szorzata pedig megadja a sugarak helyzetét a fókuszfelületen. Az alábbiakban
vázlatosan ismertetjük a mátrixoptika elvét, a formalizmus egyszerűsége és az
érthetőség kedvéért ismét csak a paraxiális esetben. (A paraxiális mátrixoptika
nem elegendő a fenti számítások elvégzéséhez, figyelembe kell venni magasabb
rendű tagokat is, azonban itt most csak az elv ismertetése célunk.)
Tekintsük az alábbi ábrát, ahol egy fénysugár megtörik n/n'
közeg R sugarú határfelületén. Az alábbi kifejezések segítségével leírhatjuk
a sugár útját a törés előtt és után, 2x1-es mátrix segítségével jellemezve a
sugarat, 2x2-es mátrix segítségével pedig a törőfelületet.
A fénysugár haladását, az egy, n törésmutatóval jellemezhető közegen belüli transzlációt is hasonlóan leírhatjuk egy mátrix segítségével:
Ezekhez hasonló módon tetszőleges optikai elem, illetve optikai elemk sorozata leírható, és egy teljes optikai rendszer egyetlen mátrixszal reprezentálható. Ezt az ún. rendszermátrixot úgy kapjuk, hogy a fénysugár balról jobbra haladó útját leíró mátrixokat (S1, S2, S3.....SN) összeszorozzuk fordított sorrendben:
S = SN·....·S3·S2·S1
Ezután az apertúrát egyenletesen kitöltő sugarakat, mint 2x1 mátrixokat összeszorozva a rendszermátrixszal kiszámíthatjuk a spot diagramot.A
Mint említettük, a paraxiális közelítésben a szinusz fv. sorának csak első, lineáris tagját megtartva számoltunk. Amennyiben a második, harmadrendű tagot is figyelembe vesszük:
n'(i' - i'^3/3!) = n(i - i^3/3!)
úgy lehetőség nyílig a kép minőségének analízisére, megmutatkoznak a leképezésbeli eltérések különbööző tengelytávolságoknál. Ilyen számításokat először Ludwig von Siedel végzett el 1850-ben, róla a harmadrendű, monokromatikus aberrációkat Siedel-aberrációknak is nevezik. Ezektől lényegileg különbözik a kromatikus aberráció, amely csak akkor lép fel, ha diszperzív elem is van az optikai rendszerben. Az aberrációk tehát a következőképp csoportosíthatóak:
Monokromatikus aberrációk
Szférikus aberráció akkor lép fel, ha az optikai tengellyel párhuzamosan, de különböző magasságokban belépő nyalábok eltérő távolságokban fókuszálódnak (vagyis eltérő távolságokban metszik az optikai tengelyt). Az alábbi ábrán F a paraxiális fókuszt jelöli, LA pedig a longitudinális szférikus aberrációt mutatja különböző h magasságokban.
A szférikus aberrációt másként is szemléltethetjük, mint pl. a következő ábrán is, ahol a transzverzális komponenst, vagyis az adott h magasságban belépő sugár optikai tengelytől mért távolságát (TA) mutatják az egyes grafikonok különböző a,b,c,d,e síkokban.
E hiba jelenlétében nincs egzakt fókusz, a legkisebb szóródáshoz tartozó sík lehet a fókuszsík, ez a fenti ábrán a c-vel jelölt helyzet. A szférikus aberráció az apertúra csökkentésével, blendézézssel redukálható, ekkor a "fókuszsík" közelít a paraxiális fókuszponthoz. Ez a módszer azonban csillagászatban az összegyűjtött fénymennyiség csökkenése miatt kevésbé járható.
Kóma akkor léphet fel, amikor az optikai tengellyel zöget bezáró sugarak lépnek be az apertúrán. Az objektív szélein belépő ún. tengelyen-kívüli v. off-axis sugarak más magasságban metszik a fókuszfelületet, mint az apertúra közepén belépők. Ennek eredményeként egy pontforrás képének az intenzitáseloszlása nem lesz szimmetrikus, hanem elnyúlt, üstökösszerű alakot ölt. Ezt mutatja az alábbi ábra a szférikus aberrációnál közölt grafikonokhoz hasonló ábrákkal szemléltetve a transzverzális hibát különböző síkokban.
A kóma aszimmetrikus volta miatt nagyon megnehezíti a csillagászati képek kiértékelését, se pontos pozíciók, se pontos fényességértékek nem adhatóak meg e hiba jelenlétében.
Asztigmatizmus akkor lép fel, amikor az objektív fókusza eltérő két egymásra merőleges síkban (ezeket T, mint tangential és S, mit saggital jelöli az ábrákon). Az asztigmatizmust szemlélteti az alábbi ábra. Jól korigált optika esetén a tangenciális és szaggitális fókuszfelületek egybeesnek.
A fókuszfelület sok esetben nem sík, hanem görbült, vagyis az éles képet nem egy sík felületre, hanem egy forgási kúpmtszetre lehet kivetíteni. A felület síktól való eltérésének mértéke különféle az egyes távcsőtípusoknál, görbült detektrofelülettel (pl. Schmidt-távcső) vagy ha ez nem megoldható (pl. CCD) síkító lencsékkel, fókuszkorrektorokkal lehet javítani a problémán.
A torzítás némiképp különbözik az előbbi hibáktól, ugyanis nem a kép élességére, hanem annak méretére, a skálázásra van hatással. Amennyiben a képskála nő a tengelytől mért távolsággal, akkor pozitív torzításról vagy párnahibáról beszélünk, ellenkező esetben negatív, vagy hordó torzításról.
Már szó volt a diszperzióról, aminek következtében egy egyszerű lencse nem egy pontba fókuszálja a különböző hullámhosszú fénysugarakat. Az ebből adódó longitudinális eltérést mutatja az alábbi ábra.
Az előbbiekhez hasonlóan a kromatikus aberráció transzverzális komponensét is ábrázolhatjuk:
Amennyiben nagy látómezejű optikát használunk, a fókusz rövid az átmérőhöz képest, úgy a kép minőségét nem írják le kellő pontossággal a harmadrendű tagokig sorbafejtett szinusz-fv. a törési képletben. Figyelembe kell venni az ötöd, heted, esetleg tovabbi magasabb rendű tagpgat is. Az ebből eredő hibák kiküszöbölése csak hasonló rendben leírható felületekkel történhet.