A femtoszekundumos optika alapjai

[1.1] J-C. Diels, W. Rudolph: Ultrashort laser pulse phenomena, 2. kiadás (Academic Press, 2006)

[1.2] W. Demtröder: Laser spectroscopy, 3. kiadás (Springer, 2004)

[1.3] J. M. Hollas: Modern spectroscopy, 4. kiadás (John Wiley, 2004)

[1.4] M. E. Ferman, A. Galvanauskas, G. Sucha szerk.: Ultrafast lasers, Technology and applications (Marcel Dekker, 2001)

A femtoszekundumos fényimpulzusok elektromágneses hullámcsomagok, ezért az idő- és térfüggő elektromos térerősséggel teljesen leírhatók. A fényimpulzusok terjedésének és anyaggal való kölcsönhatásának tárgyalásánál a Maxwell-egyenletekkel írjuk le a terjedést. Az anyagnak a fényimpulzusra adott válaszát a makroszkopikus polarizációval vesszük figyelembe. Ebben a fejezetben összefoglaljuk a fontosabb jelöléseket és fogalmakat. Az impulzusokat mérhető mennyiségekkel jellemezzük, melyek közvetlenül kapcsolhatók az elektromos térerősséghez. Bár a mérhető mennyiségek valósak, a térerősség felírásakor mégis a komplex írásmódot használjuk, ami kényelmesebbé teszi a fényimpulzusok terjedésének leírását.

Tekintsük először az elektromos térerősséget csak, mint az idő függvényét, azaz eltekintünk a térfüggéstől és a polarizációtól:

.

(2.1)

ahol E(t) valós mennyiség. Definiáljuk a térerősség komplex spektrumát a Fourier-transzformáció segítségével:

.

(2.2)

ahol |Ê(ω)| jelöli a spektrális amplitúdót , és a Φ(ω)-t spektrális fázisnak nevezzük. Itt is és a következőkben is ^ jelöli, hogy komplex mennyiségről van szó.

Mivel E(t) valós, ezért teljesül, hogy

.

(2.3)

Ha adott a térerősség komplex spektruma, akkor abból az inverz Fourier-transzformáció segítségével kapjuk meg az elektromos térerősség időfüggését, azaz

.

(2.4)

Gyakorlati szempontból nem túl kényelmes olyan függvényeket használni, amelyek értéke zérustól különbözik a negatív frekvenciák esetében, ami például a (2.4)-nél is előállhat. Gyakran az E(t) időfüggő elektromos térerősségnél is hasznos, ha komplex írásmódot használunk. A fenti két követelménynek eleget tehetünk, ha az alábbi módon vezetjük be a komplex térerősséget :

.

(2.5)

ahol a megfelelő spektrális térerősség csak pozitív frekvenciákat tartalmaz:

.

(2.6)

Vegyük észre, hogy ekkor

.

(2.7)

és

.

(2.8)

Hasonlóan az Ê^-(t) és Ê^-(ω) is definiálható. A valós térerősség az alábbi módon fejezhető ki ezekkel az újonnan definiált mennyiségekkel:

.

(2.9)

és a komplex értékű Fourier-transzformáltjaik közötti kapcsolat:

.

(2.10)

Az Ê⁺(t) -t általában egy amplitúdó és egy fázistag szorzataként írhatjuk fel:

.

(2.11)

A gyakorlatban a spektrális amplitúdó csak egy ω₀ frekvencia körüli Δω intervallumban nem lesz zérus, így érdemes bevezetni az ω₀ - t, mint vivőfrekvenciát , és ekkor

.

(2.12)

ahol φ(t) az időfüggő fázis , Ԑ(t)a valós amplitúdó burkoló , míg a ^-pal jelölt mennyiség a komplex változata. A konstans e^iφ₀ fázistagnak, melyet vivő-burkoló fázistagnak nevezünk, gyakran nincs jelentősége, és így akár el is hagyható. Azonban amikor néhány optikai ciklusú lézerimpulzusok hatnak kölcsön az anyaggal, ez a tag jelentősen befolyásolja a kölcsönhatás eredményét. Ebből következőleg ilyen esetekben a vivő-burkoló fázis mérése és kontrollja igen fontos.

Csak abban az esetben hasznos a vivőfrekvencia és burkológörbe fogalmának bevezetése, ha az impulzus spektrumának sávszélessége töredéke a vivőfrekvencia értékének, azaz

.

(2.13)

Ez azt jelenti, hogy Ԑ(t) és φ(t) változásának egy optikai cikluson belül (ami T =2,7 fs körüli érték egy Ti:zafír lézer esetében) kicsinek kell lenni. Ennek a követelmények eleget teszünk, ha

.

(2.14)

amit lassan változó burkoló közelítésnek (slowly varying envelope approximation, SVEA) nevezünk.

Figyelembe véve, hogy manapság a legrövidebb impulzusok néhány optikai ciklusból állnak, ilyen esetekben körültekintően kell eljárnunk, hogy a SVEA közelítés megfelelően leírja-e az impulzus viselkedését. Ha igen, akkor az impulzus terjedésének illetve az anyaggal való kölcsönhatásának a leírása nagyban egyszerűsödik.

Legyen adott a Ê⁺(ω) komplex spektrális amplitúdó. Ekkor az időfüggő térerősség komplex amplitúdó burkolóját (2.7) és (2.12) alapján az alábbi Fourier-transzformációból kapjuk meg:

.

(2.15)

azaz az integrandusban eltoltuk a komplex spektrális amplitúdó függvényt ω₀ -lal a frekvencia tengely mentén. Az optimális értéke az ω₀ transzlációnak az, amelynél a burkológörbében a legkevesebb moduláció van.

Ezután vizsgáljuk meg a fizikai jelentését a φ(t) fázisfüggvénynek. Az ω₀ központi vivőfrekvencia megválasztásának olyannak kell lenni, hogy minimalizálja a φ(t) fázis változását. A (2.11)-ben szereplő Γ(t) fázisfaktornak az idő szerinti első deriváltja megadja a pillanatnyi vivőfrekvenciát :

.

(2.16)

Ha a dφ/dt egy állandó b érték, akkor ez azt jelenti, hogy a pillanatnyi vivőfrekvencia időben állandó, de a központi vivőfrekvenciához képest b-vel eltolódik. Ha a dφ/dt = f(t), azaz időben változik, akkor a pillanatnyi vivőfrekvencia is változni fog időben. Ekkor az impulzust frekvenciamoduláltnak vagy más néven csörpöltnek nevezzük (angolul chirp). Tehát a csörp a pillanatnyi frekvencia változási gyorsaságát jellemzi. Ha a d²φ/dt² >0 vagy <0, akkor a vivőfrekvencia időben nő vagy csökken, azaz ekkor pozitívan (up) vagy negatívan (down) csörpöltnek nevezzük az impulzust.

(2.11)-ből látható, hogy Γ(t) felbontása ω₀-ra és φ( t )-re nem egyértelmű A legeredményesebb felbontás az, amikor a legkisebb dφ/dt adódik az impulzusnak a legintenzívebb részén. Általában ω₀az impulzuscsúcsnál vett vivőfrekvencia értékével egyezik meg. Ennél egy jobb definíció, amely konzisztens mind az idő- mind a frekvenciatartományban, amikor egy intenzitás-súlyozott átlagot használunk:

.

(2.17)

Az ebben a fejezetben bevezetett jelöléseket szemlélteti a 2.1. és a 2.2. ábra. A 2.1.a ábrán láthatjuk egy néhány ciklusból álló, ultrarövid lézerimpulzus E(t) térerősségének időbeli alakját. Az ábrán a kék szaggatott vonal az elektromos térerősség Ԑ(t) burkológörbéjét jelöli. A 2.1.b ábra a 2.1.a ábrán látható impulzus vivőfrekvenciájának időfüggését ábrázolja. Vegyük észre, hogy a vivőfrekvencia változik időben, méghozzá monoton módon növekszik, azaz a 2.1.a ábrán látható térerősség egy pozitívan csörpölt impulzus térerőssége. Ezt persze már a 2.1.a ábrán is észrevehetjük, mivel az impulzus elején a hullám periódusideje láthatóan jóval nagyobb, mint az impulzus végén.

2.1. ábra a) Egy pozitívan csörpölt ultrarövid lézerimpulzus térerősségének (piros vonal) időbeli alakja, feltüntetve a térerősség burkológörbéjét is (kék vonal). b) Az impulzus vivőfrekvenciájának időbeli változása.

Végezzük el a 2.1.a ábrán látható E(t) térerősségen a Fourier-transzformációt. A kapott komplex értékű Ê(ω) függvény abszolút értéke megadja a spektrális amplitúdót (2.2.a ábra), illetve a fázisa a spektrális fázist (2.2.b ábra). Míg az |Ê ⁺ (ω)| függvénynek a tükörképe az |Ê^-(ω)| függvény, addig a spektrális fázis esetében ez így nem igaz. Ekkor a (2.3) egyenletből következően, ha a Φ^-(ω) függvényt -1-gyel megszorozzuk, akkor már valóban a tükörképét kapjuk a Φ⁺(ω) spektrális fázisgörbének, ahogy a 2.2.b ábrán is láthatjuk.

2.2. ábra Pozitívan csörpölt impulzus 2.1. ábrán látható térerősségének Fourier-transzformációjával kapott a) spektrális amplitúdó és b) spektrális fázis.

Tekintsük azt az esetet, amikor az impulzus egy A keresztmetszetű nyalábban terjed, és az elektromos térerőssége E(t). Az impulzus (pillanatnyi) teljesítménye (wattban megadva) egy n törésmutatójú, diszperziómentes közegben a Poynting-vektorból számolva:

.

(2.18)

ahol c a vákuumbeli fénysebességet jelöli. Az integrálást a nyaláb teljes keresztmetszetére el kell végeznünk, mivel a mérendő impulzus teljes keresztmetszetében megvilágítja a teljesítmény mérésére használt detektor (fotodióda, fotoelektronsokszorozó, stb.) fényérzékeny felületét. A detektor időbeli válaszának olyan rövidnek kell lenni, mint a mérendő impulzus térerősségének periódusideje ( T =2π/ω₀). Az időbeli átlagolást erre a T időtartamra kell elvégezni. Vegyük észre, hogy a (2.18) egyenlettel bevezetett pillanatnyi teljesítmény egy megfelelő elméleti mennyiség. Azonban a gyakorlati életet tekintve, a detektorok τ_R válaszideje sokkal nagyobb T-nél, ezért (2.18)-ban T helyett τ_R-t kell használnunk. Még a napjainkban elérhető leggyorsabb detektorokkal (τ_R~10^-13-10^-12s) sincs lehetőségünk arra, hogy az ultrarövid lézerimpulzusok időbeli burkolójának részleteit közvetlenül kimérjük.

A teljesítmény időbeli integrálása az impulzus energiáját adja meg (jouleban):

.

(2.19)

ahol az integrálási határokat a mérendő impulzus előtti és utáni időpillanatok adják.

A megfelelő mennyiség az egységnyi felületen átáramló teljesítmény, azaz a pillanatnyi intenzitás (W/cm²):

.

(2.20)

valamint az egységnyi felületen átáramló energia, azaz az energiasűrűség (J/cm²):

.

(2.21)

Néhány esetben hasznos, ha olyan mennyiségeket használunk, amik a fotonszámmal vannak kapcsolatban, azaz az f fotonfluxus (foton/s) vagy az F fotonfluxus sűrűség (foton/s/cm²):

.

(2.22)

ahol ω₀ az impulzus vivőfrekvenciájával rendelkező foton energiája.

Az impulzusok spektrális tulajdonságainak vizsgálatához rendszerint egy spektrométert használunk, melynek a kimenetén például egy diódasort helyezünk el. A diódasor egy-egy pixelére az impulzus teljes spektrumának egy-egy kicsiny frekvenciatartományú része esik, azaz a detektor a I(ω) spektrális intenzitást méri időfelbontás nélkül:

(2.23)

ahol az η egy skálázási faktor, melynek értéke függ a detektor spektrális érzékenységétől és a spektrográf felbontóképességétől. Vegyük észre, hogy I(ω) nem az I(t) függvény Fourier-transzformáltja, azaz az I(ω) jelölés nem teljesen konzekvens a korábbi jelöléseket tekintve. Azonban a szakirodalomban ezt a jelölést használják leggyakrabban, így mi is ezt használjuk a továbbiakban.

Egy ideális spektrométert tekintve az η értéke meghatározható az energiamegmaradás törvényét

.

(2.24)

és a Parseval-tételt

.

(2.25)

használva, melyekből adódik, hogy

.

(2.26)

A komplex Ê⁺ mennyiséget használjuk a továbbiakban az impulzus elektromos térerősségének leírására. A jelölések egyszerűsítése céljából, ahol ez nem zavaró, a + jelet elhagyjuk.

[1.1] J-C. Diels, W. Rudolph: Ultrashort laser pulse phenomena, 2. kiadás (Academic Press, 2006)

Az impulzus időtartama, időbeli hossza vagy más néven időbeli félértékszélessége alatt azt a τ_p időtartamot értjük, amíg az impulzus I(t) intenzitása a maximális értékének a felénél nagyobb értékű (full width at half maximum, FWHM) (3.1.a ábra). Az impulzus Δω_p spektrális sávszélessége alatt pedig annak a két körfrekvencia értéknek a különbségét értjük, amelyek között teljesül, hogy az I(ω) spektrális intenzitás értéke nagyobb a maximális érték felénél (3.1.b ábra).

3.1. ábra Egy lézerimpulzus a) időbeli hosszának és b) spektrális sávszélességének definíciója. Az ábrán látható impulzus csörpölt, időbeli hossza 10 fs, míg a sávszélessége 0,85 PHz.

Az impulzusok jellemzése e mennyiségekkel akkor igazán hasznos, ha az impulzus időbeli alakja illetve a spektrumának alakja haranggörbe jellegű.

Ennek a feltételnek eleget tesz az egyik igen gyakran használt impulzusmodell, a Gauss-görbe lefutású impulzus (lásd 3.1.a ábra), ahol a térerősség burkológörbéjének egyenlete:

.

(3.1)

Az impulzus időbeli alakja és a spektruma között a Fourier-transzformáció teremt kapcsolatot. Ebből következően az impulzus τ_p időtartama és a Δω_p=2πΔν_p spektrális sávszélessége nem változtatható egymástól függetlenül, van egy minimális sávszélesség-időtartam szorzat, ami ebben az esetben

.

(3.2)

Az egyenlőségjel a csörpöletlen impulzusokra érvényes, amelyeket transzformlimitált, sávszélesség limitált vagy Fourier-limitált impulzusoknak hívunk. Ezek az impulzusok rendelkeznek a legrövidebb időtartammal egy adott spektrális sávszélesség mellett. Vegyük észre, hogy a 3.1. ábrán látható impulzus esetében a szorzat értéke 1,35, azaz jóval nagyobb a 0,441 értéknél. Ez azt mutatja, hogy az impulzus csörpölt.

Vizsgáljuk meg ezek után a lineáris csörp hatását, mely analitikusan is jól kezelhető. Az impulzus térerősségének burkolója ekkor (3.1)-et kiírva:

.

(3.3)

ahol a a lineáris csörp paraméter, melynek az értéke pozitív a negatívan csörpölt impulzusokra, mivel

.

(3.4)

A (3.3) Fourier-transzformáltja:

(3.5)

ahol a Φ(ω) spektrális fázis:

(3.6)

Vegyük észre, hogy a spektrális fázist lineáris csörp esetén körfrekvenciában másodfokú függvény írja le.

Látható (3.5)-ből, hogy a spektrális intenzitás is Gauss-görbe alakú:

(3.7)

melynek a félértékszélessége

(3.8)

Ekkor az impulzus időtartamának és sávszélességének szorzata:

(3.9)

melyből nyilvánvaló, hogy a szorzat értéke a=0-nál, azaz csörpöletlen impulzus esetén a legkisebb, összhangban (3.2)-vel. Ez persze azt is jelenti, hogy ha csörpölt lesz az impulzus, akkor újabb spektrális komponensek jelennek meg, így szélesedik a spektrum, és az időtartam-sávszélesség szorzat értéke is nő. Eddigiekben egy speciális impulzusalakot, a Gauss-görbe alakot vizsgáltuk meg. Ezek után térjünk rá az általánosabb eset vizsgálatára.

Számos esetben a korábban bevezetett impulzushossz és sávszélesség definíció nem igazán jól használható az impulzus jellemzésére. Ha az impulzuson belül van egy szubstruktúra (3.2.a ábra), vagy éppen széles talpai vannak (3.2.b ábra), amikben viszonylag sok energia raktározódik el, az időbeli félértékszélesség illetve a sávszélesség lehet ugyanakkora, miközben az impulzus fizikai hatása jelentősen eltérő lehet. Ezekben az esetekben egy átlagolt másodrendű momentum használata célszerűbbnek tűnik.

3.2. ábra Két 29 fs időbeli félértékszélességű, de eltérő spektrális fázisú impulzus időbeli alakja. Amikor a spektrális fázis körfrekvenciában a) harmadrendű függvény, akkor mellékimpulzus sorozatot alakul ki, míg b) ha negyedrendű függvény, akkor talpai lesznek az impulzusnak.

Először tekintsük általánosan egy f(x) függvényt, ahol az x jelölheti a térkoordinátát, az időt vagy éppen frekvenciát. Az x mennyiség n-ed rendű intenzitás szerinti momentuma:

(3.10)

Az n=1 eset, azaz az első rendű momentum az intenzitás-eloszlás tömegközéppontját adja meg, amit gyakran úgy választanak, hogy ez legyen a referencia pont, azaz a 0 értékű koordináta tartozzon hozzá. Például a (3.1)-gyel leírt, időben Gauss-görbe alakú impulzus esetén t=0-nál van a csúcsa az intenzitásgörbének. Egy jó választásnak tűnik az eloszlásfüggvény szélességének a jellemzésére az átlagos négyzetes eltérés, azaz

(3.11)

Ennek alapján az időbeli szélességre és a spektrális sávszélességre adódik, hogy

.

(3.12)

és

(3.13.)

Amikor lehetséges, feltételezzük majd, hogy az elsőrendű momentum zérus, azaz

(3.14)

Van egy jól ismert határozatlansági elv a konjugált változók másodrendű momentumai között. Ha k a Fourier-konjugált párja az x változónak, akkor megmutatható, hogy

(3.15)

ahol bevezettük az M² alakfaktort, amelyet a Gauss-nyalábok jellemzésére szoktak használni [3.2]. A (3.15) reláció alkalmazható az időre és a frekvenciára, mint konjugált párokra is:

(3.16)

Az egyenlőség csak a fázismoduláció nélküli Gauss-os impulzusokra (nyalábokra) érvényes. Fontos megjegyezni, hogy a (3.15) és (3.16) határozatlansági relációk csak arra az impulzusszélességekre érvényesek, amelyek (3.11) szerint vannak definiálva. Gauss-os impulzusokra

(3.17)

míg a félértékekkel definiált szélességek szorzatára (3.2) szerint 0,441 adódott. A szorzat értéke a Gauss-os impulzusok esetén nem minimális, mivel szekáns hiperbolikusz vagy Lorentz-görbe esetében kisebb. Azonban az igaz, ha csak a Gauss-görbe alakú impulzusokat tekintjük, akkor a szorzat abban az esetben minimális, ha nincs frekvenciamoduláció, ahogy ezt már korábban tárgyaltuk.

A kvadratikus fázismoduláció fontos szerepet játszik az impulzus idő- és térbeli terjedésében egyaránt. Egy szférikus hullámfront jól közelíthető egy kvadratikus fázissal a terjedési irány közelében, mely a nyaláb fókuszálódásához vagy defókuszálódásához vezet. Ez az analógia igaz időben is, azaz kvadratikus fázismoduláció az impulzus időbeli összenyomódásához vagy éppen kiszélesedéséhez vezet, miközben keresztülhalad egy diszperzív közegen. A továbbiakban ez utóbbit vizsgáljuk meg részletesebben.

Vegyünk egy transzformlimitált impulzust, mely keresztülhalad egy diszperzív közegen, és ennek során kvadratikus fázismodulációra tesz szert. Tételezzük fel, hogy a közeg az impulzus amplitúdó- illetve teljesítményspektrumát nem befolyásolja. Az impulzus spektruma az <ω>=ω₀ átlagfrekvencia körül koncentrálódik. Az átlagfrekvencia nem változik, ennél fogva a Φ(ω) függvény Taylor-sorának első nem zérus tagja:

(3.18)

ahol Φ(ω) meghatározza az Ɛ(ω) fázisfaktorát:

(3.19)

Az első- és a másodrendű momentumok (3.10) szerint:

(3.20)

és

(3.21)

A fenti formulákban a ' jel az ω szerinti deriválást jelzi. Mivel az impulzus kezdetben transzformlimitált volt, és a spektrumát a diszperzív közeg nem változtatta meg, így (3.21) első tagja a t-nek a közegbe való belépés előtti <t ² >₀ másod rendű momentumát adja meg. Behelyettesítve a fázisra kapott (3.18) kifejezést (3.10)-be, a t másodrendű momentumára kapjuk, hogy

(3.22)

azaz a frekvenciacsörp időbeli kiszélesedést okoz, ami arányos a csörpegyüttható négyzetével.

Ezen formalizmussal az időbeli fázismodulációnak

(3.23)

a spektrumra gyakorolt hatása is vizsgálható, ha az impulzus időbeli burkológörbéje változatlan marad. Az időbeli frekvenciamoduláció vagy csörp spektrális kiszélesedéshez vezet:

(3.24)

ahol <ω²>₀ a közegbe belépő impulzus spektrális sávszélességét jelöli. A (3.22) és (3.24) kifejezések az időbeli hossz és sávszélesség (3.11)-en alapuló definícióinak hasznosságát mutatja, mivel látható, hogy egyszerű kapcsolatot teremt az időbeli és a spektrális kiszélesedés között úgy, hogy függetlenné vált az impulzus időbeli alakjától illetve a spektrumának alakjától.

A (3.22)-re és a (3.24)-re alkalmazhatjuk a (3.16)-tal adott határozatlansági relációt:

(3.25)

ahol bevezettük a κ_c csörpparamétert, melynek értéke frekvenciacsörp esetén, állandó spektrum mellett:

(3.26)

(3.27)

és időbeli csörp esetén, ha az impulzus időbeli burkológörbéjének alakja állandó

Összefoglalva, ha az átlagos négyzetes eltérést használjuk az impulzushossz és a sávszélesség definiálására, akkor:

[3.1] J-C. Diels, W. Rudolph: Ultrashort laser pulse phenomena, 2. kiadás (Academic Press, 2006)

[3.2] A. E. Siegman: Lasers (University Science Books, 1986)

[4.1] P. Lazaridis, G. Debarge, and P. Gallion, "Time–bandwidth product of chirped sech2 pulses: application to phase–amplitude-coupling factor measurement," Optics Letters 20, 1160-1162 (1995).

[4.2] J.-C. Diels, W. Rudolph, Ultrashort Laser Pulse Phenomena, második kiadás (AP, 2006).

[4.3] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley & Sons, 1999).

[4.4] R. D. Guenther, Modern Optics (Wiley & Sons, 1990).

[4.5] C. Rulliere, Femtosecond Laser Pulses - Principles and Experiments, második kiadás (Springer, 2005).

[4.6] F. A. Jenkins, H. E. White, Fundamentals of Optics, hetedik kiadás (McGraw-Hill, 2001).

Általános esetet tekintve, egy izotropikus, dielektromos anyagba lépő fény elektromágneses terének hatására az anyag atomjai vagy molekulái polarizálódnak, azaz a kötött elektronfelhő kissé eltávolodik az atommagtól illetve atommagoktól. Matematikai modellel ez úgy írható le, hogy az E elektromágneses térősség vektor hatására az anyagban P=ε₀χE polarizációvektor lép fel, ahol ε₀ a vákuum elektromos permittivitása, χ pedig az anyag elektromos szuszceptibilitása.

A monokromatikus fényhullám adott közegbeli terjedési sebességének vákuumbeli terjedési sebességéhez viszonyított arányát az n törésmutatóval jellemezzük, amely a Maxwell-egyenletek anyagbeli terjedésre vonatkozó megoldásából

(5.1)

alapján számolható. A törésmutató frekvenciafüggő viselkedésének legegyszerűbb leírását molekuláris gázok esetére a Lorentz-féle oszcillátormodell adja meg, mely a problémát egy csillapított kényszerrezgésként kezeli. A polarizált atomot vagy molekulát, mint oszcillátort gerjesztő fényt E=E₀exp(iωt) elektromágneses térrel írjuk le. A σ csillapítási együtthatóval és ω₀ sajátfrekvenciával rendelkező oszcillátor rezgésének viselkedése a

(5.2)

differenciálegyenlettel írható le, ahol N az m tömeggel rendelkező atomok vagy molekulák száma egységnyi térfogatban, q pedig az elektron töltése. Ennek a frekvenciafüggő χ-re kiszámolható megoldását a (5.2) összefüggésbe behelyettesítve a törésmutató frekvenciafüggése az

(5.3)

alakba írható. Az így kapott komplex törésmutató valós része az optikai törésmutató értékét adja meg, míg a képzetes rész az abszorpciót írja le. Az atomok és molekulák a valóságban egynél több abszorpciós hellyel rendelkezhetnek, amelyek azon elektronátmeneteknek felelnek meg, ahol az oszcillátor sajátfrekvenciájával rendelkező fotonok elnyelődnek. Ezeket a rezonanciacsúcsokat az úgynevezett f _j oszcillátorerősségekkel jellemezve

(5.4)

formában írható le egy ritka közeg, például gáz komplex törésmutatójának frekvenciafüggése. Sűrű közegek, azaz folyadékok és szilárd testek esetén a szomszédos oszcillátorok rezgése miatt fellépő indukált térerősség miatt az (5.4) kifejezés

( 5.5)

szerint módosul. Az 5.2. ábra egy tipikus anyag sematikus komplex törésmutatójának valós részét (azaz optikai törésmutatóját) és képzetes részét (abszorpcióját) szemlélteti.

5.2. ábra. Az abszopciós együttható és a törésmutató frekvenciafüggésének sematikus alakja

A törésmutató frekvenciafüggése az 5.2. ábrán látható módon nagyjából kétféle típusú szakaszra bontható. Az abszorpciós csúcsoktól távol eső spektrális tartományokon az anyag átlátszó, a frekvencia növekedésével a törésmutató is növekszik. A klasszikus optika terminológiája szerint, ahol törésmutató frekvencia szerinti deriváltja nullánál nagyobb, normális diszperzióval jellemzett tartománynak nevezzük. A törésmutató-görbe dn/dω < 0 tulajdonságú részein anomális diszperzióról beszélünk. A femtoszekundumos optikában azonban, az impulzusterjedés tárgyalása során sokkal nagyobb szerepe van a frekvencia szerinti második deriváltnak. Előfordulhat, hogy ebben a tudományos szakzsargonban a normális és az anomális anyagi diszperziót a d²n/dω²(vagy az ezzel szorosan összefüggő GDD)előjeléből származtatják. Gyakoribb azonban a pozitív vagy negatív diszperzió (csörp) elnevezés használata, ami némiképp egyértelműbbé teszi a kifejezések jelentését.

A normális diszperzióval rendelkező anyagok egyszerű jellemzésére szolgál az Abbé-szám. Definíciója három, látható tartományban mért törésmutató értékén alapszik, mégpedig

(5.6)

formában, ahol n _d a 587,6 nm-es, n _F a 486,1 nm-es és n _C a 656.3 nm-es Fraunhofer-vonalnál mért törésmutató. Az Abbé-szám nagy értékei kis diszperziót takarnak, értéke tipikusan 20 (pl. sűrű flintüveg) és 60-80 (különböző típusú koronaüvegek) között változik. Az 5.3 ábrán néhány példa látható különböző üveganyagok törésmutatójának hullámhosszfüggésére a közeli ultraibolyától a látható tartományon át a közeli infravörös tartományig.

5.3. ábra. Néhány üveg törésmutatójának hullámhosszfüggése és Abbé-száma

Az impulzusterjedés és a diszperzió szempontjából csak azokat a frekvenciatartományokat érdemes megvizsgálnunk, amelyeken az abszorpció hatása elhanyagolható; itt már elegendő a komplex törésmutató valós részét alkalmaznunk. Ezeken a hullámhosszakon számos közelítő formula használata terjedt el, melyek közül a leggyakrabban a Cauchy- és a Sellmeier-típusú formalizmus szerint adják meg egy kérdéses anyag törésmutatóját. A Cauchy-formalizmus a törésmutató egyszerű ω² szerinti Taylor-sorfejtése, de általában a

(5.7)

vákuumbeli hullámhossz szerinti alakba írva adják meg, ahol Q₁, Q₂, Q₃ stb. anyagra jellemző állandók. Előnye a könnyű matematikai kezelhetőség, de csak szűk hullámhossztartományon ad pontos értéket. A Sellmeier-típusú formulákat ezzel szemben a Lorentz-féle oszcillátormodell abszorpciós helyektől távoli megoldására alapulva az

(5.8)

alakban adják meg. Ezen elméletileg megalapozott formula érvényessége már sokkal szélesebb hullámhossztartományra terjed ki; általánosan alkalmazható ritka közegekre, például gázokra. Szilárd testekben és folyadékokban az (5.5) egyenlet alakjában felírt Sellmeier-formulák adnak pontosabb közelítést.

A törésmutató nem csak a hullámhossztól függhet, hanem az anyag állapotjelzőitől is. Gázok esetén igen jelentős különbségek fordulhatnak elő a törésmutatóban a hőmérséklet és nyomás változása miatt, gondoljunk csak a légköri fényjelenségekre. Ennek leírására a Lorentz-Lorenz-elmélet kínál megoldást. A T hőmérsékletű, p nyomású, Z kompresszibilitással rendelkező, ρ sűrűségű gázkeverék törésmutatójára az

(5.9)

összefüggés írható fel, ahol R az univerzális gázállandó, az A _m (ω) az x _m móltörttel és M _m moláris tömeggel rendelkező m-edik gázkomponens molekuláris polarizálhatósága, az

(5.10)

pedig a Lorentz-Lorenz-paraméter.

Mivel extrém esetektől eltekintve a gázok törésmutatója 1-hez igen közel van, alkalmazhatjuk az

(5.11)

közelítést. Felhasználva azt, hogy az ideális gázok kompresszibilitása Z = 1, az (5.9) egyenlet gázkeverékekre vonatkozó alakját felírhatjuk az egyszerűbb

(5.12)

formában, ahol - emlékeztetőül - x _m a móltörtet, A _m (ω) a molekuláris polarizálhatóságot jelenti, míg R az univerzális gázállandó, és p, illetve T a gáz nyomása és hőmérséklete. A fajlagos fázisderiváltak pedig az

(5.13)

(5.14)

(5.15)

alakban fejezhetők ki. Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy a fázisderiváltak lineáris kapcsolatban állnak a gázkeverék össznyomásával. Amennyiben a gázkeverék összetevői nem lépnek kémiai reakcióba egymással, alkalmazhatjuk Dalton törvényét. A teljes gázkeverékre vonatkozó törésmutató és fázisderiváltak felírhatóak az egyes összetevők parciális nyomásával számolt törésmutatók és a megfelelő fázisderiváltak összegeként. Ha a keverék N-féle, megkülönböztethető gázt tartalmaz, melyek közül az m-edik gáz parciális nyomása p_m, akkor az

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

kifejezéseket alkalmazhatjuk gázkeverékek spektrális fázisának számolásakor.

Az optikai szálak igen fontos szerepet töltenek be az optikai jelek vezetésében, hiszen a szabad térben való terjedéssel szemben mechanikailag sokkal rugalmasabban irányítható, nincs szükség tükrökre, nem lépnek fel nyalábstabilitással, divergenciával kapcsolatos problémák. A fénynyaláb megőrzi tulajdonságait több száz kilométernyi terjedés során is, amivel légköri körülmények között igen nehéz lenne felvenni a versenyt. Az optikai szálakban való terjedés során azonban más jellegű nehézségek lépnek fel, melyek megnehezítik az optikai jelek átvitelét. Az anyagi diszperzió mellett fellép az úgynevezett módusdiszperzió is, amennyiben a hullámvezetőben több módusban terjedhet a fény. Ez azt jelenti, hogy a különböző optikai úthosszakat befutó módusok között úgynevezett differenciális móduskésés lép fel, mely jelentősen függ a szál mag körüli törésmutatóprofiljától. A módusdiszpezió erősen limitálja az adatátviteli sebességet, hiszen nem használható tetszőlegesen rövid impulzus a szálban, mert az jelentősen meghosszabbodna a terjedés során. Az effektus hatása minimalizálható parabolikus törésmutatóprofillal, illetve egymódusú szál alkalmazásával.

5.4. ábra. Fotonikus szál keresztmetszetének elektronmikroszkópos felvétele. (Forrás: [5.2]).

Az ultrarövid impulzusok vezetésére az úgynevezett üreges maggal és azt körülvevő mikrostruktúrált köpennyel rendelkező, fotonikus kristályból létrehozott szálak (az angol nyelvű irodalomban a hollow-core fiber, a photonic crystal fiber és a microstructure fiber elnevezések egyaránt elterjedtek) alkalmasak, amelyek speciális tulajdonsága, hogy a vezetett fény csupán töredéke terjed a szál anyagában. A szál hullámvezetési tulajdonságait így túlnyomórészt az apró, egymáshoz nagyon közeli légcsatornák határozzák meg, amelyek a szál teljes hosszán végigfutnak. A lyukak elrendezésével, méretével és formájával rendkívül széles tartományon érhetőek el különleges és egymástól nagyon eltérő tulajdonságok, amelyek sokrétű felhasználást tesznek lehetővé. Alkalmazható például az impulzus sávszélességének kiszélesítésére, azaz szuperkontinuum keltésére. Diszperziós tulajdonságai is kiválóan alakíthatóak, negatív diszperzió is könnyen létrehozható benne, így elterjedten alkalmazzák szállézerek erősítőiben az impulzusok időbeli összenyomására is.

Az anyagi diszperziónak nem csupán a transzmissziós optikai elemeken történő áthaladáskor van hatása a rövid impulzusokra, hanem legtöbbször reflexiós esetben is. Elemi optikából jól ismert, hogy a reflexiós együtthatót a fény polarizációja és beesési szöge mellett az anyag törésmutatója is befolyásolja. Amennyiben az impulzus egyetlen felületről verődik vissza, a spektrális fázis nem szenved változást. Ha azonban a felületre több, különböző vastagságú és eltérő törésmutatóval rendelkező vékonyréteget viszünk fel, akkor annak már komoly hatása lehet az egyes felületekről részleges visszavert fényből összeálló impulzus spektrális fázisára éppúgy, mint egyéb más tulajdonságaira. Az ilyen típusú optikai elemeket dielektrikum-tükröknek nevezzük. Jellemző rájuk, hogy speciális, előre megtervezhető reflexiós és diszperziós tulajdonsággal rendelkeznek, de ezek a paraméterek igen érzékenyek a megadott hullámhossz-tartományra, polarizációra és beesési szögre.

Gires-Tournois-interferométer

A Gires-Tournois-interferométer az egyik legegyszerűbb példa arra, hogy hogyan hozható létre negatív diszperzióval rendelkező reflexiós optikai elem. Az eszköz tulajdonképpen egy állóhullám-rezonátor, mely sok hasonlóságot mutat a Fabry-Perot-interferométerrel. Két reflexiós felületből áll, melyből az első részlegesen visszaverő tulajdonsággal rendelkezik (R₁), míg az ettől d távolságra elhelyezkedő másodikon teljes visszaverődés megy végbe (lásd 5.5 ábra). Ha feltételezzük, hogy a rezonátor veszteségmentes, akkor a teljesítmény-átvitel minden hullámhosszon azonos, 100%. A csoportkésés spektrális függése azonban periodikus jelleget mutat és bizonyos frekvenciákon csúcsokkal rendelkezik. A csúcs annál élesebb, minél nagyobb az első felület reflexiós együtthatója, a csúcsok távolsága pedig a d paramétertől és a felületek közötti anyag törésmutatójától függ.

5.5. ábra. A Gires-Tournois interferométer vázlatos rajza

Érdemes megjegyezni, hogy az eszköz által létrehozni kívánt hatás létrehozható attól függetlenül, hogy milyen törésmutatóval rendelkező anyag van a felületek között. Természetesen a fázisderiváltak is követik a periodikus jelleget, a GDD ott vált előjelet, ahol a rezonancia-csúcs és két csúcs közötti minimum van a csoportkésés spektrális függvényében (lásd 5.6. ábra). Azokon a tartományokon ahol a GDD negatív, ott az eszköz hatékonyan alkalmazható impulzusok kompresszálására. A GDD mértéke hangolhatóvá tehető, amennyiben a két felület távolsága nem rögzített.

5.6. ábra. A Gires-Tournois interferométer által létrehozott GDD-változás spektrális függése (Forrás: [5.3]).

A Gires-Tournois-interferométer gyakorlati megvalósításával azonban stabilitási problémák léphetnek fel. Egy hordozóra párologtatott rétegek alkalmazásával sokkal stabilabb hatás érhető el, de ehhez fel kell áldoznunk a hangolhatóságot.

Bragg-tükör

Két különböző törésmutatóval rendelkező anyagból felváltva felépített rétegek sorozatát nevezzük Bragg-tükörnek, vagy elosztott Bragg-reflektorak. Leggyakrabban a negyedhullám-tükör változatát alkalmazzák, amelyben az optikai rétegek vastagsága - az alkalmazott beesési szöget figyelembe véve - a tervezett optikai hullámhossz negyedének felelnek meg. A rétegek közötti határfelületeken a Fresnel-egyenleteknek megfelelően oszlik el a beeső fény intenzitása és iránya. Az 5.7. ábra szemlélteti a Bragg-tükörre eső fény behatolási mélységét különböző hullámhosszakon.

5.7. ábra. A Bragg-tükör törésmutató-profilja (fekete görbe), valamint a fény behatolási mélysége a tervezési (1000 nm, kék görbe), illetve attól eltérő (800 nm, szürke görbe) hullámhosszon. A 800 nm-es hullámhosszal rendelkező fény nagy része áthatol a rétegeken, 1000 nm-en azonban erős reflexiót kapunk. (Forrás: [5.3])

Két azonos anyagú rétegről történő visszaverődés közötti optikai úthossz a hullámhossz felének felel meg, így a visszavert komponensek egymást erősítő interferenciát hoznak létre. Ennek eredményként egy magas reflexióval rendelkező felületet kapunk. Az elért reflexiós együtthatót az alkalmazott rétegek száma és a két anyag törésmutató-kontrasztja határozza meg; míg a sávszélesség főként csak az utóbbi függvénye.

5.8. ábra. A visszaverőképesség (fekete görbe, bal oldali skála) és a GDD (kék görbe, jobb oldali skála) a hullámhossz függvényében egy 1000 nm-re tervezett Bragg-tükör esetében. (Forrás: [5.3])

A Bragg-tükrök esetében a diszperzió jelenlétével is számolni kell. Az 5.8. ábra szemlélteti a reflexiós együttható és a csoportkésés-diszperzió spektrális változását. Míg igen széles tartományon magas reflexió érhető el, a csoportkésés-diszperzió a tervezési hullámhossz környékén még kicsi, de attól távolodva abszolút értéke gyorsan növekszik.

Csörpölt tükrök

A dielektrikum tükröknek azt a típusát, amelyekkel az ultrarövid lézerimpulzusok diszperziója passzív módon szabályozható, csörpölt tükröknek nevezzük [5.4]. Legtöbb esetben negatív diszperzióval rendelkeznek, hiszen a különböző közegekben történő terjedés során jelentős mennyiségű pozitív diszperzióval terhelődhet az impulzusok spektrális fázisa, ezek kompenzálására szolgálnak ezek az eszközök. Alapvetően abban különböznek a Bragg-tükröktől, hogy a rétegek vastagsága nem állandó, hanem megfelelően változik, így a különböző hullámhosszal rendelkező spektrális komponensek más-más mélységig hatolnak be, így eltérő csoportkésést szenvednek, amint ez az 5.9. ábrán is látható.

5.9. ábra. A rétegstruktúrába behatolt elektromos tér intenzitása a hullámhossz és a behatolási mélység függvényében. (Forrás: [5.3])

A valóságban a rétegszerkezet kicsit összetettebb, egyébként erős oszcillációk jelennének meg a GDD spektrális függésében; de numerikus optimalizálás segítségével megtervezhető a kívánt tulajdonsággal rendelkező rétegszerkezet. Az 5.10. ábra egy csörpölt tükör reflexiós és diszperziós tulajdonságait szemlélteti.

5.10. ábra. Egy csörpölt tükör tipikus reflektivitás- (vörös görbe) és diszperzió-profilja (szürke görbe) a hullámhossz függvényében. (Forrás: [5.3])

A csörpölt tükrök egyik legfontosabb alkalmazása az ultramagas sávszélességgel rendelkező, néhány ciklusú impulzusok előállításához kapcsolódik. Az ilyen impulzusokat előállító módusszinkronizált lézeroszcillátorokban a diszperzió kompenzálása és szabályozása kulcsfontosságú szerepet játszik. Mivel egyetlen csörpölt tükörrel csak korlátozott mennyiségű diszperzió kompenzálására van lehetőség, így több tükör együttes hatását használják. Sok esetben nem csak a csoportkésés-diszperzió kompenzálását végzik el, hanem a magasabb rendű diszperziós együtthatókat is figyelembe veszik.

[5.1] Adam Hart-Davis, http://scienceblogs.com/startswithabang/files/2012/08/prism-and-refraction-of-light-into-rainbow-AJHD.jpeg

[5.2] NKT Photonics A/S, http://www.nktphotonics.com

[5.3] RP Photonics, http://www.rp-photonics.com/

[5.4] R. Szipőcs, K. Ferencz, C. Spielmann, F. Krausz, "Chirped multilayer coatings for broadband dispersion control in femtosecond lasers," Optics Letters 19, 201-203 (1994).

Széles spektrális tartománnyal rendelkező fény terjedésekor minden esetben számolni kell a szögdiszperzió jelenségével, akár folytonos, akár impulzus jellegű sugárzásról legyen szó. Míg a folytonos fény és hosszú lefutású impulzusok esetében kevésbé, ultrarövid hullámcsomagok esetében már sokkal inkább kiemelt szerepe van a tér-időbeli eloszlásnak. Ennek megfelelően, ultrarövid impulzusok esetén a szögdiszperzió jelentős időbeli kiszélesedést okoz akkor is, ha a közeg nem, vagy csak elhanyagolható mértékű anyagi diszperzióval rendelkezik.

A szögdiszperzió vákuumban terjedő ultrarövid impulzusra kifejtett hatását a 6.2. ábra szemlélteti. A kiinduló impulzus spektrális összetevői térben és időben átfednek, de a szögdiszperzió miatt terjedési irányuk kissé eltér egymástól. A vákuumban (valamint izotróp anyagban) terjedő hullámok terjedésiirány-szögdiszperziója a terjedés közben állandó marad, de az impulzusra kifejtett hatása a megtett út növekedésével egyre jelentősebb.

6.2. ábra. Egy ultrarövid impulzus szögdiszperzió miatt kialakult tipikus térbeli alakja bizonyos távolság megtétele után

A 6.2. ábrán az impulzus spektrális komponenseinek térbeli intenzitáseloszlását látjuk valamekkora z távolság megtétele után. Szögdiszperzió jelenléte esetén a terjedésre merőleges x irányban az impulzus középpontjától távolodva az impulzusidő növekszik, és a spektrális komponensek szeparálódása miatt - a spektrum csúcsa is eltolódik az impulzus különböző oldalain. Az optikai tengelyen (x=0-nál) sem marad meg az eredeti impulzusidő, ugyanis könnyen belátható, hogy egy τ₀ transzformlimitált időbeli félértékszélességgel rendelkező impulzus

(6.2)

csoportkésleltetés-diszperziónak megfelelő fázistorzulást szenved. Gauss-os impulzusalak esetén a jól ismert

(6.3)

összefüggést használva közelíthető a kialakult impulzus hossza.

6.3. ábra. Az impulzusidő kiszélesedése különböző terjedési távolságok esetén a szögdiszperzió függvényében (a), illetve az időbeli kontraszt alakulása Gauss-os, illetve kvadratikus hiperbolikus szekáns alakú impulzusalak esetén 5 fs-os transzfomlimitált impulzusidőből kiindulva [6.3].

A fenti összefüggéseket alapul véve, a 6.3.a ábra egy numerikus példával demonstrálja az említett jelenséget: egy 5 fs-os, transzformlimitált impulzusidejű, Gauss-os jellegű hullámcsomag kiszélesedését követhetjük nyomon a szögdiszperzió függvényében különböző terjedési úthosszak esetén. A 6.3.b ábrán az időbeli kontraszt alakulásából azt a tanulságot vonhatjuk le, hogy a szögdiszperzió növekedésével az impulzus csúcsa egyre inkább elmosódik, a hordozott energia egyre inkább szétoszlik, ami a kompresszor után már igen nehezen kompenzálható.

A (6.3) összefüggés csak akkor érvényes, ha a sávszélesség viszonylag keskeny, a transzformlimitált impulzusidő 30-50 fs felett van. Ez alatt a magasabb rendű, de legalább a harmadrendű diszperziót is figyelembe kell vennünk az időbeli alak megfelelő pontosságú számolásához. Abban az esetben, ha a szögdiszperzió spektrális függése lineáris jellegű (azaz dθ/dλ>>λ₀·d²θ/dλ²), akkor élhetünk a

(6.4)

közelítéssel. Az időbeli hosszra a harmadrendű diszperzió akkor lesz hatással, ha a TOD _SZD ·Δω szorzat azonos nagyságrendbe esik a GDD-vel. Ha még nagyobb a TOD aránya, akkor az az impulzus időbeli alakjában kisebb mellékcsúcsok jelennek meg, melyek a TOD abszolútértékének növekedésével egyre jelentősebbé válnak, és még tovább rontják az időbeli kontraszt értékékét.

Annak eredményeképpen, hogy az ultrarövid impulzusok térbeli hossza a terjedési irány mentén rövidebb, de legalábbis összemérhető a terjedési irányra merőleges kiterjedésével, a prizmán való törés, rácson való elhajlás, stb. a szögdiszperzió keletkezése mellett további, nem kívánt impulzus-deformációkat okozhat. Egyik ilyen jelenség az impulzusfront dőlése, melyet sematikusan a 6.4 ábra szemléltet.

A szögdiszperzió gyakorlatilag minden esetben együtt jár az impulzusfrontdőlés jelenségével, ha véges kiterjedésű nyalábot vizsgálunk. Ha az impulzusfront szögben érkezik, illetve hagyja el a prizma felületeit, vagy a rács felszínét, az impulzus két oldala különböző úthosszakat fog bejárni, emiatt az impulzusfront két széle között csoportkésés jelenik meg, vagyis a terjedési irányhoz képest megdől.

6.4. ábra. Az impulzusfront-dőlés szemléletes bemutatása. (Forrás: [6.4])

Könnyen belátható, hogy egységnyi keresztmetszetre nézve a csoportkésés mértéke

(6.5)

ami a hullámcsomag további, a szögdiszperzió hatásán felüli időbeli hosszabbodását is eredményezni. A dőlt impulzusfront általános esetben a terjedésre merőleges iránnyal

(6.6)

szöget zár be.

Azt a jelenséget, amikor a nyaláb keresztmetszete mentén változik az impulzus spektrális összetétele, térbeli csörpnek szokás nevezni. Az effektus szintén természetes velejárója a szögdiszperziónak, ahogyan a 6.2. ábrán is látható, a nyaláb egyik oldala a vörös irányba tolódik el, míg a másik oldalán a kék színű komponensek a dominánsak.

6.5. ábra. Térbeli csörp kialakulása plánparalel lemezen, szögben történő áthaladáskor (a), valamint prizmapár kétpasszos elrendezésben a szögdiszperzió és a térbeli csörp együttes kompenzálása végett (b). (Forrás: [6.5])

A szögdiszperzió kompenzálása azonban általában nem jár együtt a térbeli csörp megszüntetésével, valamint a spektrum térbeli modulációját okozza az egyszerű plánparalel lemezen szög alatt történő áthaladás is (lásd 6.5.a ábra). A teljes, szögdiszperzióra és térbeli csörpre vonatkozó kompenzálás érdekében alkalmaznak kétpasszos elrendezést prizma- és rácspárok esetén, például ahogy ez a 6.5.b. ábrán is látható.

A térbeli csörp is legalább kétféleképpen értelmezhető és mérhető a nyalábprofil térbeli-spektrális felbontásának diagramján. Egyrészt ha a diagram spektrális metszeteit vesszük adott pozícióknál és ehhez rendeljük hozzá a spektrum csúcsértékét, az így kapott görbe meredeksége ad egy úgynevezett frekvencia-gradienst, amely jól jellemzi a térbeli csörpöt. A másik megközelítési módban egy adott hullámhossznál vett metszet ad egy intenzitáseloszlást, amely csúcsértékének pozícióját rendeljük hozzá a vonatkozó hullámhosszértékhez. Ennek első deriváltja adja a térbeli diszperziót, amely szintén szoros összefüggésben van a térbeli csörppel. A kétféle definíció összehasonlítását a 6.6. ábra szemlélteti. X. Gu és munkatársai ([6.5]) analitikusan bebizonyították, hogy Gauss-os alakú nyalábprofil és spektrum esetén a két megközelítés azonos módon alkalmas nem túlságosan nagy térbeli csörp jellemzésére.

6.6. ábra. A térbeli diszperzió és a frekvencia-gradiens összehasonlítása egy nyaláb spektrálisan és térben bontott diagramján. (Forrás: [6.5])

[6.1] F. A. Jenkins, H. E. White, Fundamentals of Optics, hetedik kiadás (McGraw-Hill, 2001).

[6.2] M. Born, E. Wolf, Principles of Optics, hetedik kiadás (Cambridge, 1999).

[6.3] K. Osvay, A. P. Kovács, Z. Heiner, G. Kurdi, J. Klebniczki, M. Csatári, "Angular dispersion and temporal change of femtosecond pulses from misaligned pulse compressors," IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 10, 213-220 (2004).

[6.4] G. Pretzler, A. Kasper, K. J. Witte, "Angular chirp and tilted light pulses in CPA lasers," Applied Physics B 70, 1-9 (2000).

[6.5] X. Gu, S. Akturk, R. Trebino, "Spatial chirp in ultrafast optics," Opt. Commun. 242, 599-604 (2004).

Egy CPA-rendszer legtöbb esetben három fő szakaszból áll, melyeket a 7.1 ábra folyamatábrája szemlélteti. A módusszinkronizált oszcillátort elhagyó, nJ nagyságrendű impulzusenergiával és közel transzformlimitált időbeli alakkal rendelkező magimpulzusok először az impulzusnyújtón (stretcher) haladnak végig, amelyben az egyes spektrális komponensek különböző úthosszakat futnak be, ezáltal az impulzusok időben több nagyságrenddel is megnyúlnak. Az impulzusidő hosszabbodása a térerősség és ezen keresztül az intenzitás maximumának csökkenéséhez vezet; így a megfelelő mértékben csökkentett intenzitású impulzusok erősítése optikai roncsolódás nélkül végezhető, egészen az erősítő közeg telítődéséig.

7.1. ábra. Femtoszekundumos impulzusok erősítésére szolgáló fázismodulált impulzuserősítő (CPA) rendszer sematikus felépítése.

Az erősítési szakasz (amplifier stage) (lásd animáció) során legtöbb esetben szilárdtest alapú erősítőközeget gerjesztünk egy nagy energiájú pumpalézer segítségével, mely az energiát a kristályon egymás után többször keresztülhaladó nyújtott impulzusnak adja át, áthaladásonként a telítéstől függően általában 1,1-10-szeresére növelve annak energiáját. Az erősítés egyik legjelentősebb hátráltató tényezője az erősítőközegben kialakuló erősített spontán emisszió (amplified spontaneous emission -ASE), melyet az erősítő szakaszok tervezésénél figyelembe kell venni. Összességében egy vagy akár több erősítési szakasz alkalmazásával a nyújtott impulzusok energiája 6-9 nagyságrenddel növelhető.

Egy igen elterjedt alternatív erősítési eljárás az optikai parametrikus fázismodulált impulzuserősítés (optical parametric chirped pulse amplification - OPCPA [7.3]) mely során a ns körüli időtartamra nyújtott magimpulzusokat χ⁽²⁾ típusú nemlineáris kristály segítségével erősítjük. Ennek a módszernek az egyik előnye az, hogy már egyszeri áthaladás is elegendő a megfelelő erősítés eléréséhez, így elkerülhetőek a bonyolult, többszöri áthaladást igénylő rendszerek, és egyszerűbb, helytakarékosabb kivitelben megvalósítható. Ennek következtében az erősített impulzusok nyalábprofiljának minősége és időbeli kontrasztja, vagyis az impulzus csúcsintenzitásának és a háttérzaj intenzitásának aránya nagymértékben javítható. További érv az OPCPA mellett, hogy az erősítési spektrum igen széles tartományt ölel át; ugyanakkor nehézséget jelentenek a fázisillesztéssel és a pumpaimpulzusok szinkronizálásával kapcsolatos problémák.

Az optikai erősítés után, a CPA-rendszerek utolsó szakaszában az impulzusok időbeli összenyomását kell végrehajtani, erre szolgál az impulzusösszenyomó vagy kompresszor (compressor). Feladata alapvetően tehát ellentétes az impulzusnyújtóéval: a teljes rendszer spektrális fázistolását nullára kell visszaállítania. Emellett a nyaláb minőségének, az impulzusok térbeli és időbeli alakjának megőrzésére is alkalmasnak kell lennie, ami igen összetett feladat.

Az időben megnyújott illetve össszenyomott lézerimpulzusok eltérő fizikai hatása jól demonstrálható a rhodamine 6G festékből készített oldat segítségével. Míg az időben megnyújtott impulzusok esetében semmilyen fényjelenséget sem észlelünk az oldatban, addig az impulzuskompresszor után a fényútba helyezve a festékoldattal teli lombikot, látványosan vílágít az oldat azon a részen, ahol az összenyomott impulzusok áthaladtak rajta.

Az impulzusnyújtó feladata a csúcsintenzitás csökkentése anélkül, hogy az impulzus összenergiája a jelentősen csökkenne. Erre "természetes" módon is lehetőség van, hiszen kellő hatást érhetünk el akkor is, ha nagy diszperzióval rendelkező anyagon, pl. üvegtömbön, üvegszálon vezetjük át a nyalábot. Bizonyos bemeneti és kimeneti impulzus-paraméterek esetén ez a megoldás nem alkalmazható hatékonyan, vagy túl nagy helyet foglalna el. Megfelelő nagyságú nyújtást érhetünk el úgy, hogy spektrális bontóelem segítségével szögdiszperziót hozunk létre a nyalábban, majd a térben elkülönített komponenseket úgy irányítjuk, hogy azok különböző optikai úthosszakat fussanak be. Az elsővel megegyező paraméterekkel rendelkező bontóelem alkalmazásával a komponensek újra párhuzamossá tehetők. Ekkor azonban még jelentős térbeli csörp és impulzusfrontdőlés van a nyalábban, így újabb két, az eredetiekkel tükörszimmetrikusan álló bontóelemre van szükségünk (lásd 7.2. ábra), amellyel ezek a nem kívánatos torzulások kompenzálhatóak. Ugyanezt a hatást érhetjük el, ha egy visszafordító végtükör segítségével a nyalábot az eredetivel megegyező, de ellentétes irányú úton újra átküldjük a két első bontóelemen.

7.2. ábra. Négy prízmából álló impulzusnyújtó sematikus rajza.

A két legegyszerűbb bontóelemnek, a prizmának és az optikai rácsnak megfelelően az impulzusnyújtóknak kétféle megvalósítási formája van (lásd animációk: prizmás stretcher, rácsos stretcher). A prizmás impulzusnyújtó előnye, hogy a rácsos megoldáshoz képest kisebb a reflexiós veszteség, míg a rácsos impulzusnyújtó alkalmazásával jó közelítéssel lineáris a kimeneti impulzus diszperziója, valamint egyszerűbb nagy nyújtást elérni.

Az impulzusok időbeli nyújtása ezek alapján nem tűnhet komplikált feladatnak, azonban számos aberráció léphet fel, melyeket lehetőség szerint kompenzálnunk kell. Arról már esett szó, hogy a kétpasszos prizma- illetve rácspár kialakítású nyújtó hogyan kompenzálja a térbeli csörpöt. A bontóelemek egymással szembe néző felületeinek a lehető legjobban párhuzamosnak kell lennie, a legkisebb horizontálisan vagy vertikálisan bezárt szög esetén is a nyaláb valamekkora visszamaradó szögdiszperzióval fog rendelkezni, ami gyengíti az erősítést és az azt követő kompresszálás hatásfokát. A szférikus aberráció legegyszerűbben úgy kerülhető el, ha egy gömbtükröt alkalmazunk, melynek fókuszában helyezkedik el az első rács (lásd 7.3. ábra).

7.3. ábra. Tipikus rácsos impulzusnyújtó vázlatos felépítése.

Mind a prizmás, mind a rácsos impulzusnyújtók esetén problémát okoznak a magas rendű diszperziós komponensek, mivel ezek precíz kompenzálása csupán a kompresszor segítségével szinte lehetetlen. Ha azonban a kétféle bontóelemet egyesítjük, azaz egy prizma egyik oldalán egy megfelelő osztású rácsot hozunk létre (az ilyen optikai elemeket a szakirodalomban grism-nek nevezik), igen hatékonyan csökkenthetjük a magasrendű diszperziós együtthatók hatását.

Az impulzuskompresszorok feladata a nyújtókéval éppen ellentétes, így működésük és a fellépő nehézségek is közel azonosak (lásd animációk: prizmás kompresszor, rácsos kompresszor). A legnagyobb különbség az impulzusok megnövekedett intenzitásában mutatkozik, ami miatt a kompresszorok optikai elemeinek nagy impulzusintenzitás-tűréssel kell, hogy rendelkezzenek, illetve, mivel ez a nyaláb átmérőjének növelésével mérsékelhető, nagy felületre is szükség van. Prizmákat impulzuskompesszorként általában csak a lézeroszcillátorok rezonátorában alkalmaznak, mert a prizma anyagában erős nemlineáris jelenségek lépnének fel nagy intenzitások esetén, amik nehezítik a transzformlimitált impulzusidő elérését. A rácsos impulzuskompresszorok ötlete E.B.Treacy [7.4], megvalósítása és hullámoptikai leírása pedig O.E.Martinez [7.5, 7.6] nevéhez fűződik.

A kompresszor esetében fellépő problémák némiképp csökkenthetők olyan módon, ha az impulzusnyújtóban negatív diszperziót hozunk létre, így az erősítőbeli terjedést is figyelembe véve, az impulzusnyújtó megfelelő tervezése esetén akár egy normális diszperzióval rendelkező üvegtömb is alkalmas lehet az impulzusok kompresszálására.

A CPA rendszerek impulzusnyújtó és -összenyomó egységeinek rácsaival vagy prizmáival igen körülményes a spektrális fázis pontos visszaállítása és szabályozása, pontosabban a magasabb rendű fázisderiváltak egymástól független vezérlése, ezért egyre nőtt az igény olyan eszközök kifejlesztésére, melyekkel a spektrális fázis finomhangolása könnyen megoldható. Számos megoldási javaslat született, például az impulzusnyújtó illetve -összenyomó rendszerek Fourier-síkjában elhelyezett folyadékkristályos szabályzók [7.7], fénnyel indukált impulzusformáló eszközök [7.8], hőmérsékletvezérelt üvegtömb [7.9], vagy deformálható tükrök [7.10]. Ezek a módszerek többnyire a 7.4. ábrán feltüntetett optikai elrendezésen alapulnak, ahol a fázismoduláló eszköz a lencsepár Fourier-síkjában helyezkedik el.

7.4. ábra. Fourier-transzformációs impulzusformálás sémája. A térben elkülönített spektrális komponensek fázisa a Fourier-síkban elhelyezett eszköz segítségével szabályozható

Az impulzusok precíz formálására használható eszközök közül azonban a programozható akusztooptikai diszperziós szűrők (acousto-optical programmable dispersive filter -AOPDF, [7.11]) alkalmazása terjedt el legszélesebb körben, így ezt vizsgáljuk meg egy kicsit részletesebben. Az AOPDF kiválóan alkalmas CPA-rendszerek kompresszió előtti szakaszaiban az impulzusok spektrális fázisának és ezen keresztül időbeli alakjának pontos beállítására éppúgy, mint az impulzus amplitúdójának vezérlésére. Felhasználásának talán az egyetlen korlátozását csak az jelenti, hogy sérülékeny, így erősített impulzusok vezérlésére, közvetlenül a céltárgy előtt nem használható. Az impulzusnyújtó és az erősítő között elhelyezve azonban minden további nélkül alkalmazható.

7.5. ábra. Egy programozható akusztooptikai diszperziós szűrő (AOPDF) működési elve

Az infravörös tartományra tervezett eszköz működése egy kettőstörő TeO₂ kristályban, a belépő fénnyel kollineárisan terjedő akusztikus hullám diffrakciós hatásán alapszik, melyet rádiófrekvenciás jel segítségével hozunk létre (lásd 7.5. ábra). A belépő fény és az akusztikus hullám kölcsönhatását a

(7.1)

egyenlet írja le, ahol k _be , k _ao és k _diff a belépő nyaláb, az akusztikus hullám, illetve a diffraktált nyaláb hullámszámvektora. A fázisillesztés feltételének teljesülése esetén a különböző hullámok közötti csatolódás következtében a diffraktált nyaláb polarizációja a belépő fény rezgési síkjára merőleges lesz. A diffraktált fény elektromos térerősségének nagysága az

(7.2)

összefüggés szerint az E _belépő (t) belépő elektromos térerősség és az S(t/σ) rádiófrekvenciás jel konvolúciós szorzatával arányos. A

(7.3)

egy skálázási faktor, amely az n _eo extraordinárius és n _o ordinárius törésmutató különbségének és az akusztikus hullám v, illetve a fény c vákuumbeli terjedési sebességeiből számolt hányados szorzataként számolható ki, értéke a σ≈10^-7 nagyságrendbe esik. A frekvenciatérben a (7.2) egyenlet az

(7.4)

formában írható fel. Ha a belépő fény szélessávú impulzus, akkor rádiófrekvenciás jelgenerátort alkalmazva σ szerint megfelelően skálázott elektromos impulzust kell előállítanunk. A kristályban terjedő, a fénysebességhez képest gyakorlatilag mozdulatlan akusztikus hullám felveszi a rádiófrekvenciás jel időbeli alakját. A rádiófrekvenciás jel vezérlésével az akusztikus hullám csörpölhető. Ezzel azt érjük el, hogy a fény különböző frekvenciájú komponensei az általunk meghatározott helyen fognak diffraktálódni. Mivel a kölcsönhatás után a fény már extraordinárius sugárként az ordináriustól eltérő terjedési sebességgel halad tovább, a diffrakció helyének változtatásával a diffraktált impulzusok spektrális fázisa a kívánt alakúra formálható.

A diszperzió kompenzálása mellett CEP-stabilizálásra és néhány ciklusú impulzusok karakterizálására is kiválóan alkalmazható. Felhasználási köre nem korlátozódik az infravörös tartományra, léteznek a látható és ultraibolya spektrális tartományon működő AOPDF-ek is.

[7.1] H. R. Telle, G. Steinmeyer, A. E. Dunlop, J. Stenger, D. H. Sutter, U. Keller, "Carrier-envelope offset phase control: A novel concept for absolute optical frequency measurement and ultrashort pulse generation," Appl. Phys. B 69 , 327–332 (1999).

[7.2] D. Strickland, G. Mourou, "Compression of amplified chirped optical pulses," Optics Communications 55, 447-449 (1985).

[7.3] A. Dubeitis, G. Jonasauskas, A. Piskarskas, "Powerful femtosecond pulse generation by chirped and stretched pulse parametric amplification in BBO crystal," Optics Communications 88, 437-440 (1992).

[7.4] E. Treacy, "Optical pulse compression with diffraction gratings," IEEE Journal of Quantum Electronics 5, 454-458 (1969).

[7.5] O. E. Martinez, "Grating and prism compressors in the case of finite beam size," Journal of Optical Society of America B 3, 929-934 (1986).

[7.6] O. E. Martinez, "Design of high-power ultrashort pulse amplifiers by expansion and recompression," IEEE Journal of Quantum Electronics 23, 1385-1387 (1987).

[7.7] J. C. Vaughan, T. Feurer, K. W. Stone, K. A. Nelson, "Analysis of replica pulses in femtosecond pulse shaping with pixelated devices," Optics Express 14, 1314-1328 (2006).

[7.8] C. Dorrer, F. Salin, F. Verluise, J. P. Huignard, "Programmable phase control of femtosecond pulses by use of nonpixelated spatial light modulator," Optics Letters 23, 709-711 (1998).

[7.9] K. Osvay, K. Varjú, G. Kurdi, "High order dispersion control for femtosecond CPA lasers," Applied Physics B 89, 565-572 (2007).

[7.10] F. Duron, G. Cheriaux, J. Faure, J. Nees, M. Nantel, A. Maksimchuk, G. Mourou, J. C. Chanteloup, G. Vdovin, "Wave-front correction of femtosecond terawatt lasers by deformable mirrors," Optics Letters 23, 1043-1045 (1998).

[7.11] P. Tournois, "Acousto-optics programmable dispersive filter for adaptive compensation of group delay time dispersion in laser systems," Optics Communications 140, 245-249 (1997).

A fényimpulzusokat használó kísérleteknél sokszor cél a nagy energiasűrűség, vagy teljesítmény elérése [8.1, 8.2], amit például lencsével illetve tükörrel történő fókuszálással lehet elérni. A nagyobb teljesítmények elérésének egyik lehetséges módja az impulzus időbeli hosszának csökkentése. Transzformlimitált impulzusok esetén az impulzushossz csökkenésével a spektrális szélesség növekszik, aminek következtében a femtoszekundumos tartományban a fókuszált fényimpulzusok viselkedése jelentősen eltér a jól ismert monokromatikus esettől. A fókuszáló elem hatását először egy egyszerű - a geometriai optikán alapuló - modellel, majd egy hullámoptikai leírást használva vizsgáljuk meg. A hullámoptikai leírásnál az impulzusok terjedésének leírásánál szokásosan használt Fourier-féle módszert fogjuk alkalmazni, vagyis a beeső impulzust monokromatikus hullámok szuperpozíciójaként fogjuk fel. A fókuszáló optikai elemnek a monokromatikus komponensekre gyakorolt hatását figyelembe véve, majd a monokromatikus komponenseket összeadva megkapjuk az impulzus térerősségét. Fókuszálás során a beeső hullám frontját a fókuszáló optikai elem úgy változtatja meg, hogy a kilépő hullám egy adott pont (a képpont, amely többnyire a fókuszpont) felé tartó gömbhullám lesz [8.3, 8.4]. A fókuszáló elem hullámfrontra gyakorolt hatását vízhullámokkal végzett kísérlettel könnyen szemléltethetjük. A 8.1. ábrán egy vízhullámokat fókuszáló lencse (balra) és egy homorú tükör (jobbra) látható.

8.1. ábra. Gyűjtő lencse (balra) és homorú tükör (jobbra) fókuszáló hatásának szemléltetése vízhullámokkal.

A felvételeken és a kísérletekről készült filmeken egyaránt jól kivehetjük a fókuszált hullám kör alakú hullámfrontjait, amely nyilván felületi hullámokra a háromdimenziós gömb alakú frontok kétdimenziós megfelelői. Teljesen hasonló dolog történik a fény esetében is, csak ott a hullámfrontokat közvetlenül nem látjuk. A lencse és a tükör a számolás szempontjából lényegesen nem különbözik. Mindkét eset visszavezethető egy kör alakú nyíláson áthaladó konvergens gömbhullám elhajlására. A következőkben a lencse esetét vizsgáljuk meg, azonban a megállapítások többsége tükör esetén is érvényes. nyilván figyelembe kell venni, hogy a kromatikus aberráció tükör esetén nem lép fel, amely egyik lehetséges előnye lehet a tükrök alkalmazásának.

Leképezési hibák (aberrációk) jelenlétében a kilépő hullámfront az aberráció mértékétől függően eltér ettől az ideális gömb(süveg) alaktól. Az eltérés mértékét az ún. aberráció-függvény méri [8.5]. Ezen fejezetben az aberrációk közül csak a kromatikus aberráció hatásával fogunk foglalkozni. A monokromatikus aberrációk hatását a 9. fejezetben tárgyaljuk majd.

Tegyük fel, hogy egy λ₀ központi hullámhosszúságú rövid impulzus merőlegesen esik be egy D₀ vastagságú lencsére (8.2. ábra), jelölje a₀ a lencse nyílásának sugarát és f₀ a lencse λ₀ hullámhosszon mért fókusztávolságát. A lencsén való áthaladás során két fontos jelenség lép fel. Egyrészt az impulzusfront késik a fázisfronthoz képest: Ugyanis, az impulzusfront v_g = c/n_g csoport-, míg a fázisfront a v_p = c/n₀ fázissebességgel terjed, ahol n₀ = n(λ₀) és n_g = n₀ - λ₀ n'(λ₀) a λ₀ hullámhosszhoz tartozó törésmutató illetve csoportindex. A szokásos normális diszperzió esetén (n'(λ₀) < 0 miatt) a csoportsebesség általában a fázissebességnél kisebb. Ezért az impulzusfront lemarad a fázisfronthoz képest. Másrészt a diszperzív közegbeli terjedés miatt a terjedési hosszal arányosan kiszélesedik.

8.2. ábra. A lencsén belül a csoportsebesség kisebb, mint a fázissebesség, ezért egy adott sugár mentén a csoportsebességgel terjedő impulzusfront lemarad a gömb alakú fázisfronthoz képest.

Az impulzusfront az optikai tengelytől a távolságra belépő sugár mentén a 8.2. ábrán látható - az A belépési síktól egy adott (aberrációmentes esetben gömb alakú) fázisfrontig terjedő L₁ + L₂ + L₃ + L₄ utat

(8.1)

idő alatt teszi meg, ahol a lencsét körülvevő közeg törésmutatóját 1-nek feltételeztük. Hasonlóan a fázisfront terjedési ideje

.

(8.2)

Ebből az impulzusfront késése a fázisfronthoz viszonyítva

.

(8.3)

Paraxiális közelítést használva

,

(8.4)

ahol R₁ és R₂ a lencse felületeinek a görbületi sugara. Ez alapján az paraxiális közelítésben

.

(8.5)

A görbületi sugarakat kiküszöbölhetjük a jól ismert

,

(8.6)

"lencsekészítők egyenletének" a segítségével, és így végeredményként a

(8.7)

összefüggéshez jutunk a késésre. Az utolsó alak származtatásánál ismét kihasználtuk "lencsekészítők egyenletét". Ez utóbbi összefüggés azért is fontos, mert univerzális alakú, ami azt jelenti, hogy más fókuszáló elemet vizsgálva ugyanezen összefüggést kapjuk meg [8.6]. Ez alapján látható, hogy kromatikus aberráció jelenlétekor, mikor f '(λ₀) nem zérus, egy adott sugár mentén a belépő sugárnak az optikai tengelytől mért a távolságának négyzetével arányosan késik az impulzusfront a fázisfronthoz képest. A késés az optikai tengelyen (a = 0) a legnagyobb, és a szélső sugárra (a = a₀) vonatkozólag zérus. Akromatikus esetben (f '(λ₀) = 0) nincs késés a két front között, vagyis erre az esetre a geometriai optikai modell gömb alakú impulzusfrontot jósol.

Mivel a vizsgált probléma hengerszimmetriával rendelkezik, az impulzusfront alakját - és később az elektromos térerősség helyfüggését is - célszerű hengerkoordinátákkal leírni. Helyezzük a vonatkoztatási rendszer origóját az F₀ fókuszpontba és legyen a z-tengely az optikai tengely. Továbbá az idő nullpontját válasszuk úgy meg, hogy az optikai tengely mentén az impulzusfront a t = 0 időpontban érjen a fókuszba. Aberrációk hiányában a gömb alakú fázisfront a lencse mögött az a paraméterrel adott (0 ≤ a ≤ a₀) sugár mentén c sebességgel terjed, így a t időpontban a helyét a

(8.8)

koordináták írják le, ahol α = arctg(a/f₀). A (8.8) egyenlet a (z, r) síkban egy körcikknek a paraméteres egyenlete. Ezt a z-tengely körül megforgatva kapjuk a gömbsüveg alakú fázisfrontot. A (8.8) egyenletbeli ΔT(0) időeltolás azt fejezi ki, hogy a fázisfront a t = -ΔT(0) időpontban - egyetlen ponttá összezsugorodva - halad át a fókuszponton, összhangban azzal, hogy ΔT(0) idővel siet az impulzusfronthoz képest. Mivel az impulzusfront az a paraméterrel adott sugár mentén ΔT(a) idővel késik a fázisfronthoz képest, így a helyzetét a t időpontban a

(8.9)

egyenletekkel definiált paraméteres görbe írja le, ahol 0 ≤ a ≤ a₀. A (8.9) egyenletből meghatározhatjuk azt az - a paramétertől függő - t_F időpontot, amikor az impulzusfront az a paraméter adott sugár mentén éppen áthalad a (0, 0) koordinátákkal adott fókuszponton. A t_F időpontra a t_F + ΔT(0) - ΔT(a) = 0 egyenlet teljesül, amiből

.

(8.10)

Az 0 ≤ a ≤ a₀ relációból következik a -T₀ ≤ t_F ≤ 0 egyenlőtlenség, ahol

.

(8.11)

A -T₀ ≤ t_F ≤ 0 reláció azt mutatja, hogy az impulzus a -T₀-tól 0-ig tartó időintervallumban halad át a fókuszponton. Mégpedig úgy, hogy kezdetben (t = -T₀ -kor) a szélső sugár mentén, majd egyre inkább belső sugarak mentén, legvégül (t = 0 -kor) a tengely menti sugáron megy keresztül a fókuszon. Ez alapján a (8.11) egyenlet éppen azt időtartamot adja meg, amely alatt az impulzus áthalad a fókuszponton.

A (8.9) egyenletből kiszámítottuk az impulzusfrontot különböző időpontokra, λ₀ = 249 nm központi hullámhosszúságú impulzust és egy a₀ = 40 mm sugarú, f₀ = 150 mm fókusztávolságú kvarc lencsét (n₀ = 1.50799, λ₀ n'(λ₀) = -0.1375 és f '(λ₀) = 163.0898 mm/μm) feltételezve. A számolás eredményt a 8.3. ábra szemlélteti. Látható, hogy a kromatikus aberráció következtében, fókuszpont előtti tartományban egy lópatkóhoz hasonló alakú impulzusfront alakul ki, amely a fókuszponthoz érve "befűződik", és így egy hurok alakú impulzusfront keletkezik. A fókuszpontban először a lencse széléről, majd egyre beljebb lévő sugarak mentén érkezik fény, végül a t = 0 időpontban a tengely menti sugáron halad át az impulzus a fókuszon. Ennek következtében a fókuszpontban az impulzus időben jelentősen kiszélesedhet. A számolásnál használt lencse esetén T₀ = 4816 fs idő alatt halad át az impulzus a fókuszon. Ennek következtében például egy eredetileg 100 fs-os fényimpulzus, - melyre a szokásos lencsevastagságokra a diszperzió okozta kiszélesedés még nem jelentős - gyakorlatilag 4816 fs hosszúságúra szélesedik fókuszban. Ez a kiszélesedés természetesen jelentősen lecsökkenti az elérhető fókuszbeli intenzitást. Az impulzusfront terjedését a mellékelt animáció szemlélteti.

8.3. ábra. Egy f₀ = 150 mm fókusztávolságú, a₀ = 40 mm sugarú kvarc lencsén áthaladó λ₀ = 249 nm központi hullámhosszúságú impulzus impulzusfrontjai a -11 ps, -7 ps, -3 ps, 1 ps és az 5 ps időpontokban. A -3 ps-nál is látható hurok alakú impulzusfront miatt az impulzus T₀ = 4816 fs alatt halad keresztül a fókuszon.

A geometriai optikai modellel kapcsolatban azonban nem szabad elfeledkezni arról, hogy a geometriai optika érvényessége éppen az alkalmazások szempontjából fontos tartományban, a fókuszpont környezetében és az árnyékhatár közelében érvényét veszti, továbbá nem tartalmazza az elhajlás és az interferencia miatt fellépő jelenségeket sem. Így a modell eredményét csak közelítésnek érdemes tekinteni és mindenképpen érdemes összevetni a diffrakcióról és az interferenciáról is számot adó hullámoptikai számolásból adódó eredménnyel.

Tegyük fel, hogy a lencsére egy sík impulzusfronttal rendelkező, ω₀ központi körfrekvenciájú, b(t) burkolóval leírható fényimpulzus esik merőlegesen. Közvetlenül a lencse előtti - a 8.4. ábrán az A - síkban a térerősség időfüggését

,

(8.12)

egyenlet írja le, ahol t_A az A síkban mért (helyi) idő, s(t) a térerősség időbeli burkolója és A₀ a maximális amplitúdó. Az lokális idő nullpontját úgy választjuk meg, hogy a burkoló maximumát a  t_A = 0 pillanatban vegye fel, vagyis a beeső impulzusfront a t_A = 0-kor legyen az A síkban. Monokromatikus aberrációk hiányában a lencse az impulzust alkotó monokromatikus komponenseket a frekvenciájukhoz tartozó fókuszpont irányába tartó konvergens gömbhullámokká alakítja át, melyek hullámfrontját a lencse nyílása kivágja. Ez alapján a probléma visszavezethető egy kör alakú nyíláson áthaladó és elhajló gömbhullám vizsgálatára. A lencse fázistolása miatt a fényimpulzust alkotó ω körfrekvenciájú komponensnek közvetlenül a lencse mögötti f = f(ω) sugarú W gömbsüveg alakú hullámfelületén (lásd a 8.4. ábrát) a térerősség

,

(8.13)

ahol S(ω) az s(t) burkoló Fourier-transzformáltja, n(ω) a lencse anyagának törésmutatója és D₀ a lencse vastagsága.

8.4. ábra. A fókuszálás leírásánál használt koordinátarendszer és a jelölések értelmezése. Az origót az ω₀ központi körfrekvenciájú fókuszpontba helyezzük és a lencse optikai tengelye a z-tengely. A térerősség hengerszimmetrikus, ezért csak z és az r hengerkoordinátáktól függ.

A fókuszpont környezetében a monokromatikus komponensek térerőssége a diffrakciós integrállal számítható ki [8.3, 8.4]:

,

(8.14)

ahol λ = 2πc/ω a vákuumbeli hullámhossz, k = (ω/c) körhullámszám és az integrálást a W hullámfelületre kell elvégezni. A zárójelben lévő kifejezés - [8.4] alapján - az

(8.15)

alakba írható, ahol

,

(8.16)

és J₀ a nulladrendű Bessel-féle függvényt jelöli, továbbá

.

(8.17)

A lencse mögötti térerősséget a monokromatikus komponensek szuperpozíciója szolgáltatja, azaz

.

(8.18)

Érdemes megjegyezni, hogy az Y(u, v) függvény kifejezhető az U₁(u, v) és az U₂(u, v), illetve a V₀(u, v) és a V₁(u, v) Lommel-féle függvényekkel [8.4], melyek numerikusan könnyen számolhatók, mert az őket definiáló függvénysorok konvergenciája gyors. Továbbá az itt leírt - homogén megvilágításra vonatkozó - formalizmus változtatás nélkül alkalmazható Gauss-eloszlású megvilágítás esetére is az u paraméter és a Lommel-féle függvények komplex síkra való kiterjesztésével [8.7].

A (8.13) egyenletben lévő (ω/c) n(ω) kifejezést

(8.19)

alakba írva, azaz a (ω/c) n(ω) mennyiség ω₀ körüli lineáris közelítésének és az ω₀ és ω-tól függő M maradéktagjának összegeként előállítva, valamint t_A-ról a

(8.20)

összefüggéssel definiált időváltozóra áttérve, a térerősséget - fentiekben elmondottakat felhasználva - az

(8.21)

formulával számíthatjuk ki, ahol v_g a lencse anyagában a csoportsebesség és Φ₀ egy frekvenciától független fázisállandó:

.

(8.22)

Látható, hogy a (8.20) egyenletbeli idő azzal az idővel különbözik a t_A időtől, amennyi idő alatt az impulzusfront az optikai tengelyen az A síktól az F₀ fókuszpontig eljut. Ez azt jelenti, hogy a hullámoptikai leírásban használt t idő azonos a geometriai optikai leírásnál idővel, így a számolási eredmények könnyen összehasonlíthatók.

A (8.21) egyenletből kiszámított I = | E |² intenzitást a t = -11 ps és a t = 1 ps időpontokra a 8.5. ábra szemlélteti, ahol a számolásnál az M = 0 feltételezéssel éltünk, azaz a lencse fázistolásának második deriváltjával arányos kiszélesedést és a magasabb rendű deriváltak okozta egyéb torzító hatásokat elhanyagoltuk. A számolás eredménye az mutatja, hogy a geometriai optikai modell jól írja le az impulzusfront terjedését (szaggatott vonal a betétábrákon). Az ábrán szintén látható a hullámoptikai leírásnak talán az egyik leginkább meglepő eredménye: az optikai tengelyen (r = 0) egy a beeső impulzussal azonos időbeli lefutású - az ábrán kis tüskeként megjelenő - impulzus terjed [8.8, 8.9], meglepő módon a vákuumbeli fénysebességnél nagyobb - azaz ún. szuperluminális - sebességgel. Az impulzus helyének, sebességének és a radiális függésének vizsgálata arra utal, hogy a lencse nyílásának a peremével hozható kapcsolatba [8.8, 8.9]. A diffrakciós integrálból kiindulva megmutatható [8.10], hogy ezen impulzus a lencse nyílásának széléről (pereméről) kiinduló elemi hullámok szuperpozíciója hozza létre, ezért ezt az impulzust szélihullám-impulzusnak nevezték el, az angol nyelvű szakirodalomban a boundary wave pulse nevet kapta. A szélihulám-impulzus a 8.5. ábrán egy kis tüskeként jelenik meg. A számolás térbeli lépésköze nem elég finom a radiális intenzitás-eloszlás megjelenítéséhez. Megmutatható, hogy a 8.9. ábrán látható radiális függés a J₀ Bessel-függvénnyel írható le [8.8, 8.10]. A geometriai optika által is leírt főimpulzus és a szélihullámimpulzus terjedését a mellékelt animáció [8.11] szemlélteti.

8.5. ábra. Kromatikus aberrációval rendelkező kvarc lencsén áthaladó 100 fs hosszúságú, Gauss-os időbeli burkolójú, 249 nm központi hullámhosszú fényimpulzus térbeli intenzitás-eloszlása a fókuszpont előtt (balra) és mögött (jobbra) homogén megvilágítás esetén. A betétábrákon az intenzitás egy szintvonalát folytonos, a geometriai optikai modellből adódó impulzusfrontot szaggatott vonal szemlélteti.

A fókuszsíkbeli intenzitás időfüggését a 8.6. ábra szemlélteti. Ez azt mutatja, hogy a geometriai optikai modellből kapott 4816 fs időbeli hossz a példaként vett esetben igen jó becslésnek tekinthető. Homogén térbeli megvilágítás esetén (az ábrán balra) gyors felfutás, és ugyanilyen lefutás között az intenzitás állandó [8.8, 8.9]. Elhanyagolható csonkoltságú Gauss-eloszlású megvilágításra - vagyis csonkolatlan Gauss-nyalábra - az intenzitás exponenciálisan emelkedve éri el a maximumát, majd gyorsan lecsökken [8.12]. Az ábráról az is megfigyelhető, hogy a fókuszsíkban az intenzitás-eloszlás egy időben növekvő sugarú, világos-sötét mintázatú, középen világos foltot tartalmazó, koncentrikus interferencia-gyűrűrendszer.

8.6. ábra. Kromatikus aberrációval rendelkező kvarc lencsén áthaladó Gauss-os időbeli burkolójú 100 fs hosszúságú, 249 nm központi hullámhosszú fényimpulzus intenzitásának az időfüggése a fókuszsíkban (z = 0) a lencsének térben homogén (balra) illetve Gauss-eloszlású (jobbra) megvilágítása esetén.

A 8.7. ábra a fókuszpontbeli térerősség burkolójának az időbeli lefutást szemlélteti. Az intenzitás ennek négyzetével arányos. A számolásnál a₀ = 20 mm paramétert használtuk, amely fele az előző számolásnál használt értéknek. A (8.11) egyenlet alapján azt várjuk, hogy a₀ értékét felére csökkentve, az időbeli kiszélesedés a negyedére csökken. Az ábrán látható, hogy ez így is történik, továbbá a (8.11) egyenlettel definiált T₀ mennyiség a burkoló félértékszélességét adja meg.

8.7. ábra. Kromatikus aberrációval rendelkező kvarc lencsén áthaladó Gauss-os időbeli burkolójú 100 fs hosszúságú, 249 nm központi hullámhosszú fényimpulzus burkolójának az időfüggése a fókuszpontban (z = 0, r = 0) a lencsének térben homogén, illetve Gauss-eloszlású megvilágítása esetén. Az a-részen a (8.21) egyenletből számolt burkolót a vonal, míg a közelítéssel kapott (8.23) formulával számolt burkolót a kis tömör körök szemléltetik. A b-részen a beeső nyaláb csonkolásának hatása látható.

Itt nem részletezett módon megmutatható [8.9], hogy homogén megvilágítás esetén a fókuszpontbeli térerősség az

(8.23)

formulával számolható ki, ahol F_s(t) az s(t) burkoló integrálfüggvénye:

.

(8.24)

Hasonló formula érvényes Gauss-eloszlású megvilágítás esetén, csak az integrálfüggvény előtt, és az integranduszban is megjelenik egy exponenciális szorzótényező [8.9]. A beeső nyaláb csonkolásának hatása a [8.7] hivatkozásban leírt módon tárgyalható. A 8.7. ábra b-része a lencse nyílásának csonkoló hatását szemlélteti. A beeső Gauss-nyaláb csonkolását a κ = (a₀/w₀)²csonkolási együttható jellemzi, ahol w₀ a beeső nyaláb nyalábnyaka. A κ = 0 felel meg a homogén megvilágításnak, míg 4 ≤ κ  esetén a nyaláb csonkolása elhanyagolható [8.7].

Aberrációk hiányában a (8.21) egyenletből számolt intenzitás-eloszlást szemlélteti a 8.8. ábra.

8.8. ábra. Akromatikus lencsén áthaladó Gauss-os időbeli burkolójú 100 fs hosszúságú, 249 nm központi hullámhosszú fényimpulzus térbeli intenzitás-eloszlása a fókuszpont előtt (balra) és mögött (jobbra) homogén megvilágítás esetén. A betétábrákon az intenzitás egy szintvonalát folytonos, a geometriai optikai modellből adódó impulzusfrontot szaggatott vonallal rajzoltuk fel.

A geometriai optikai modellből számolt impulzusfrontot szaggatott vonal jelöli. Látható, hogy a szélihullám-impulzus akromát lencse esetén is megjelenik. Az impulzus terjedését a mellékelt animáció [8.11] szemlélteti, melyen jól megfigyelhetjük a főimpulzus és a szélihullámimpulzus interferenciája miatt megjelenő mintázatot. Aberrációmentes esetben a fókuszpont előtt a gömbsüveg alakú impulzusfront megelőzi, a fókuszpont után lemarad a szélihullám-impulzushoz képest, ahogy az a 8.8. ábrán is látszik, és a mellékelt animáción is látható. A diffrakciónak van egy - eredetileg még Thomas Youngtól származó - értelmezése [8.10], amely szerint az elhajlás során a nyílás mögötti hullám előáll a nyíláson zavartalanul tovaterjedő és a nyílás pereme által generált szélihullám szuperpozíciójaként. Megmutatható, hogy az elhajlási problémák leírásánál konvencionálisan alkalmazott Fresnel-féle értelmezés matematikai megfogalmazásának tekinthető diffrakciós integrál valóban szétbontható két ilyen hullám összegére [8.10]. Az animáción a nyíláson áthaladó és zavartalanul tovaterjedő konvergens gömbhullámot piros, míg a nyílás pereméről kiinduló hullámot kék szín szemlélteti. A lencse pereme által generált szélihullámok vízhullámokkal végzett kísérletben jól megfigyelhetők. Rövid impulzusok esetén a zavartalanul terjedő hullám és a szélihullám, pontosan a rövid impulzushossz miatt, gyakran térben elkülönülten jelenik meg. Az elhajlásnak a Young-féle értelmezése ezért rövid impulzusok esetén sokszor szemléletesebb, vagyis könnyebben értelmezhetőbb, mint a Fresnel-féle értelmezést használva. A szélihullám-impulzus radiális eloszlását a 8.9. ábra mutatja. Érdemes megemlíteni, hogy a szélihullám-impulzus létét kísérletileg többféle módszerrel is igazolták [8.13, 8.14]. A számolások és a mérések között jó egyezés van.

8.9. ábra. A szélihullám-impulzus radiális eloszlása [8.13].

[8.1]   J. C. Diels and W. Rudolph, Ultrashort Laser Pulse Phenomena, (Academic Press, 2nd edition).

[8.2]   A. M. Weiner, Ultrafast Optics, (Wiley)

[8.3]   J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics (McGraw-Hill Book Company, 1968), chapter. 2-3.

[8.4]   M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, chapter 8.8 (Cambridge University Press, 7th edition).

[8.5]   M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, chapter 9 (Cambridge University Press, 7th edition).

[8.6]   Zs. Bor, Distortion of femtosecond laser pulses in lenses and lens systems, J. Mod. Opt. 35 (1988), 1907.

[8.7]   Z. L. Horváth and Zs. Bor, Focusing of truncated Gaussian beams, Optics Commun. 222 (2003) 51.

[8.8]   Zs. Bor, Z. L. Horváth, Distortion of Femtosecond Pulse in Lenses. Wave Optical Description, Optics Commun. 94 (1992) 249-258.

[8.9]   Z. L. Horváth and Zs. Bor, Behaviour of Femtosecond Pulses on The Optical Axis of a Lens. Analytical Description, Optics Commun. 108 (1994) 333-342.

[8.10]   Z. L. Horváth and Zs. Bor, Diffraction short pulses with boundary wave theory, Phys. Rev. E 63 (2001) 26601.

[8.11]   U. Fuchs, U. D. Zeitner and A. Tünnermann, Ultra-short pulse propagation in complex optical systems, Optics Express 13 (2005) 3852.

[8.12]   Z. L. Horváth, Zs. Bor, Focussing of Femtosecond Pulses Having Gaussian Spatial Distribution, Optics Commun. 100 (1993) 6-12.

[8.13]   Z. L. Horváth, J. Klebniczki, G. Kurdi and A. P. Kovács, Experimental investigation of boundary wave pulse, Optics Commun. 239 (2004) 243.

[8.14]   P. Saari, P. Bowlan, H. Valtna-Lukner, M. Löhmus, P. Piksarv and R. Trebino, Basic diffraction phenomena in time domain, Opt. Express 18 (2010) 11083-8.

Az előző fejezetben megvizsgáltuk, hogy a fókuszáló optikai elem kromatikus aberrációja milyen hatással van egy ultrarövid fényimpulzus terjedésére. Akkor a monokromatikus aberrációk hatását elhanyagoltuk. Most azt vizsgáljuk meg, hogy az egyes monokromatikus aberrációk hatása hogyan tárgyalható. Az aberrációkkal kapcsolatos alapfogalmakat és természetüket ismertnek tekintjük, itt első sorban azokra a részletekre térünk csak ki, amelyek a rövid fényimpulzusok terjedésének leírásánál mindenképpen szükségesek.

A hullámfrontnak az ideális gömb alaktól való eltérését a Φ aberrációfüggvénnyel szokás megadni [9.1]. Az aberrációfüggvény értelmezését a 9.1. ábrán láthatjuk. Helyezzük a koordinátarendszer kezdőpontját a P₀ pontszerű tárgynak a leképező rendszer által létrehozott P₁ paraxiális képpontjába. A z-tengely legyen a kilépési pupillának a centrumától (C) a paraxiális képponton átmenő egyenes, és (y, z) sík legyen a meridionális sík. Ha az aberrációmentes hullámfronttal egybeeső R sugarú, origó középpontú ún. Gauss-féle referenciagömböt a kilépő fénysugár a Q pontban, míg a C ponton átmenő kilépő (aberrált) hullámfrontot a Q_h pontban metszi, akkor a Φ aberrációfüggvény definíció szerint a Q_hQ előjeles távolság, mely pozitív, ha a Q_hQ irány megegyezik a fénysugarak irányával, negatív ellenkező esetben.

9.1. ábra. Az aberrációfüggvény a Gauss-féle referenciagömb és a kilépő hullámfront közötti távolság különbséget méri egy adott sugármentén.

Aberrációmentes esetben a kilépési pupillán áthaladó hullám egy (ideális) gömbhullám, így ekkor a Gauss-féle referenciagömbön a térerősség az

(9.1)

formulával írható le, ahol t az idő, A₀/R a térerősség amplitúdója, c a fénysebesség és h(t) az impulzus időbeli alakját leíró függvény, amit a szokásos

alakban írunk fel, ahol b(t) az impulzus időbeli burkolója és ω₀ a központi körfrekvencia. Az (9.1) kifejezésben az idő nullpontját úgy választottuk meg, hogy az impulzusfront a referenciagömbön a t = -R/c időpontban legyen. Az aberrációfüggvény definíciója alapján a Φ aberrációfüggvénnyel leírt aberráció jelenlétekor a referenciagömbön a térerősséget a

(9.2)

képlettel adhatjuk meg. Aberrációmentes esetnek nyilván a Φ = 0 felel meg. A referenciagömbön a fényimpulzust alkotó egyes monokromatikus összetevőket az (9.2) egyenlet Fourier-transzformálásával kapjuk:

,

ahol B(ω) a b(t) burkoló Fourier-transzformáltja, és k = ω/c a hullámszám. Az egyes monokromatikus összetevőkre a Seidel-féle aberrációk hatása a Nijboer-Zernike-féle elmélet segítségével tárgyalhatók [9.1]. Ez az elmélet pontosan a térerősség referenciagömbön felvett értékeinek az ismeretében adja meg a Gauss-féle képpont (itt az origó) környezetében lévő tetszőleges P pontbeli a térerősséget. Az [9.1] hivatkozás szerint a monokromatikus komponensek a

formulával adhatók meg, ahol

,

(9.3)

ahol

a P pont az előző fejezetben is látott "optikai" koordinátái, valamint z, r és ψ a P pont hengerkoordinátái, ahol a ψ szöget a szokásostól eltérően nem az x-tengelytől, hanem az y-tengelytől mérjük (9.2. ábra).

9.2. ábra. A számolásnál használt koordinátarendszer és a jelölések értelmezése

A meridionális síkot a ψ = 0 összefüggés adja meg. Az impulzus térerőssége a monokromatikus komponensek szuperpozíciójaként áll elő, azaz

,

(9.4)

ahol az inverz Fourier-transzformált kiszámításánál áttértünk a Δω = ω - ω₀ integrálási változóra, amely az integrál numerikus kiszámításánál előnyös. A számolásoknál célszerű dimenziómentes változókra áttérni, mert ekkor egy adott numerikus számolás végeredménye több paramétercsoportra is vonatkozhat. Érdemes a távolságokat a központi hullámhosszhoz, az időt az ehhez tartozó periódusidőhöz viszonyítani. Vezessük be ezért a

dimenziómentes változókat, ahol λ₀ = 2πc/ω₀ a központi hullámhossz és T₀ = 2π/ω₀ a hozzátartozó periódusidő. A két mennyiség között nyilván a λ₀ = cT₀ összefüggés áll fenn. Ha az impulzus burkolóját a

alakban írjuk fel, akkor a dimenziómentes változókkal a (9.4) egyenlet az

(9.5)

formába írható át, ahol Ω = Δω/ω₀ és S(ω) a s(t) függvény Fourier-transzformáltja. A későbbi számolásoknál feltesszük, hogy az impulzus burkolója egy Gauss-görbével írható le. Ezzel a feltételezéssel

,

amelynek a Fourier-transzformáltja

.

Célszerű az impulzus T időbeli hosszát is a T₀ mennyiséghez viszonyítani, azaz T = NT₀ alakba írni. Látható, hogy az N dimenziómentes mennyiség az impulzusban lévő optikai ciklusok számát adja meg. Ezekből már könnyen belátható, hogy a Gauss-féle időfüggésre

.

Az intenzitás a (9.5) egyenletből az I(P, t) = |E(P, t)|² összefüggés felhasználásával számítható ki.

Látható, hogy a számolás egyik lényeges eleme a monokromatikus aberrációt helyfüggését leíró Y(u, v, ψ, Φ) függvény meghatározása egy adott Φ aberrációfüggvény esetén. A továbbiakban röviden először az ezzel kapcsolatos ismereteket tárgyaljuk, majd ennek birtokában megvizsgáljuk az egyes elsődleges aberrációknak az ultrarövid fényimpulzusokra gyakorolt hatását.

Elemi Seidel-féle aberrációk esetén az aberrációfüggvény

(9.6)

alakú [9.1], ahol n és m indexek értékeit az 9.1. táblázat mutatja az egyes elsődleges aberrációk eseteire. A számolásokhoz azonban az aberrációk Zernike-féle

(9.7)

alakját előnyös használni [9.1], ahol az n és m indexekhez tartozó radiális Zernike-polinom. Az aberrációk vizsgálatánál az aberrációfüggvényt sorba szokás fejteni [9.1], és a sorfejtésben az "elemi" tagok a (9.6) vagy (9.7) egyenletbeli Seidel- illetve Zernike-féle alakkal leírt elemi aberrációk [9.1].

9.1. táblázat. Az aberrációfüggvény indexei elsődleges aberrációk esetén.

A kétféle - Φ és Φ' - aberrációkhoz tartozó (9.3) egyenletbeli Y függvények között az - [9.1] hivatkozásban bebizonyított - eltolási tétel adja meg a kapcsolatot.

A Nijboer és Zernike által kidolgozott eljárás [9.1] hivatkozásban leírt lépéseit követve megmutatható, hogy

,

(9.8)

ahol

,

(9.9)

,

(9.10)

J_s az s-ed rendű Bessel-függvényt jelöli, továbbá

.

A (9.8) egyenletnél a belső összeget q olyan 0 és p közötti értékeire kell kiszámítani, amelyre q kongruens p-vel modulo 2, azaz p - q osztható 2-vel. Egyszerűbben fogalmazva a q összegző index a 0 és p közé eső páros vagy páratlan számokon fut végig, attól függően, hogy p páros vagy páratlan. A (9.9) formulákban lévő D_pq együttható definíciójában lévő zárójeles kifejezés a szokásos binomiális együtthatót jelöli, ahol a ' jelölés arra utal, hogy a q = 0 esetben a binomiális együtthatót még kettővel osztani kell. Érdemes megjegyezni, hogy mivel a D_pq együtthatókat a binomiális együtthatókból kapjuk, így azok a Pascal-féle háromszögből könnyen meghatározhatók.

A Nijboer és Zernike eljárásának a további fontos lépése a

(9.11)

sorfejtés. Ezt a sorfejtést a (9.10) integrálba helyettesítve,

Zernike-polinomok szorzatai jelennek meg, melyek biztosan kifejthetők

(9.12)

tipusú - Zernike-polinomok - lineáris kombinációjaként, ahol w = w(p, s, j) nem-negatív páros vagy páratlan szám, attól függően, hogy qm páros vagy páratlan. A (9.12) kifejtés A együtthatói és w(p, s, j) számok természetesen függenek az n és m értékeitől is, de ezt a függést nem jelöltük, mivel szeretnénk elkerülni az amúgy sem egyszerű jelölésrendszer tovább bonyolítását. A (9.12) előállítást felhasználva, a fellépő integrálok már analitikusan kifejezhetők a Bessel-függvényekkel [9.1], és így

.

(9.13)

A (9.12) kifejtés A együtthatóira nehéz zárt formulát találni [9.1], azonban a Zernike-polinomok tulajdonságait felhasználva az együtthatókra rekurziós összefüggéseket lehet levezetni. Ezek igen fontosak a p nagyobb értékeire történő számoláshoz, amely [9.1]-ben vizsgált aberrációknál nagyobb aberrációk kezeléséhez szükséges. A levezetések igen sok számolást igényelnek, ezért a részletekre nem kitérve, az egyes speciális aberrációkra vonatkozó végeredményt közöljük csak. Ezek az eredmények rendkívül fontosak a numerikus számolásoknál.

Szférikus aberráció

Elsődleges szférikus aberráció esetén n = 4 és m = 0. Ezért qm = 0, így (9.10) egyenletben a Bessel-függvény rendje q minden értékére 0. Ennek következtében az integrál nem függ q-tól, így a továbbiakban q-t elhagyjuk a jelöléséből. Követve az [9.1] hivatkozásban leírt eljárást, a (9.12) kifejtés A együtthatóit az

.

formulák adják p = 0, 1 értékekre. A Zernike-polinomok tulajdonságait felhasználva, hosszú számolással megmutatható, hogy adott p esetén a j összegző index olyan értékeken fut végig melyre a

mellékfeltételek állnak fenn. Továbbá, amennyiben megállapodunk abban, hogy

,

akkor a p = 2, 3, 4, ... értékekre az

(9.14)

rekurziós összefüggés áll fenn, ahol k = 0, 1, 2, 3, ..., 2p. Ez rekurzió a fent említett rekurziónak a speciális esete. A (9.12) kifejtésben megjelenő w(p, s,  j) szférikus aberráció esetén

.

Mindezeket figyelembe véve a (9.10) és (9.13) egyenletek alakja erre a speciális esetre

.

Mivel m = 0, így (-i) ^qm cos(qmψ) = 1. A binomiális együtthatók tulajdonságait kihasználva, (9.8) egyenlet erre a speciális esetre az

(9.15)

képletre vezet. Látható, hogy a Y valójában nem függ a ψ szögtől, amely a szférikus aberrációnál nyilván meglévő hengerszimmetriát fejezi ki. A már említett eltolási tétel [9.1] felhasználásával, a - (9.6) egyenlettel adott - Seidel-féle formára az

(9.16)

összefüggést kapjuk, ahol a (9.7) képletbe a

mennyiséget kell behelyettesíteni!

Asztigmatizmus

A (9.12) kifejtés A együtthatóit az

összefüggések adják a p = 0, 1, 2 értékekre, ahol r = 2s. A vektorok sorainak fentről lefelé rendre a  j = 0, 1, 2, ... értékek felelnek meg. Adott p esetén a  j összegző index olyan értékeket vesz fel, amelyre a

mellékfeltételek állnak fenn. Továbbá, amennyiben megállapodunk abban, hogy

,

akkor a p = 3, 4, ... értékekre az

(9.17)

rekurziós összefüggések állnak fenn, ahol k = 0, 1, 2, 3, ..., 2p és

.

A (9.12) kifejtésben megjelenő w(p, s, j) asztigmatizmus esetén

.

Mindezeket figyelembe véve a (9.10) és (9.13) egyenletek alakja erre az aberrációra

,

továbbá (9.8) egyenlet az

alakot veszi fel. Az eltolási tétel [9.1] felhasználásával, a - (9.6) egyenlettel adott - Seidel-féle formára

,

ahol a (9.7) képletbe a

mennyiséget kell behelyettesíteni.

Kóma

A (9.12) kifejtés A együtthatóit az

összefüggések adják a p = 0, 1, 2 értékekre, ahol r = 2s. A vektorok sorainak - itt is - fentről lefelé rendre a  j = 0, 1, 2, ... értékek felelnek meg. Adott p esetén a  j összegző index olyan értékeken fut végig, amelyre a

mellékfeltételek állnak fenn. Továbbá, amennyiben most is megállapodunk abban, hogy

,

akkor a p = 3, 4, ... értékekre az

.

(9.18)

rekurziós összefüggések állnak fenn, ahol k = 0, 1, 2, 3, ..., 2p és

.

A (9.12) kifejtésben megjelenő w(p, s, j) kóma esetén

.

Mindezeket figyelembe véve a (9.10) és (9.13) egyenletek alakja erre az aberrációra

,

továbbá (9.8) egyenlet az

formába írható. Az eltolási tétel [9.1] felhasználásával, a - (9.6) egyenlettel adott - Seidel-féle formára

,

ahol itt az (u, v, ψ) koordináták helyett az (x, y, z) Decartes-féle koordinátákat használtuk, mivel az eltolás ezekkel könnyebben kifejezhető. Kóma esetén (9.7) képletbe a

mennyiséget kell behelyettesíteni.

Képmező görbület

Az n = 2, m = 0 eset gyakorlatilag visszavezethető az aberrációmentes esetre. Az eltolási tétel [9.1] segítségével megmutatható, hogy

.

Az u változó definíciója alapján, ez az összefüggés az aberrációmentes eset térerősségének a z-tengely menti Δz = 2(R/a)²A₂₀ -lal történő eltolását jelenti.

Torzítás

Az n = 1, m = 1 eset szintén visszavezethető az aberrációmentes esetre, mert az eltolási tétel [9.1] segítségével megmutatható, hogy

,

ahol itt is az (u, v, ψ) koordináták helyett az (x, y, z) használta célszerű, mert ezekkel egyszerűbb leírni az eltolást. Nyilvánvaló, hogy az összefüggés az aberrációmentes eset térerősségének az y-tengely menti Δy = (R/a) A₁₁ -gyel történő eltolását jelenti.

A hullámfront ismeretében a geometriai optika fénysugarai meghatározhatók, ugyanis ismert, hogy homogén és izotróp közegben a fénysugarak a hullámfelületre merőleges egyenesek és az adott fénysugár mentén a fény c sebességgel terjed. Az (r, φ, ε) gömbi koordinátákat használva, az aberrált hullámfrontot az

(9.19)

formula írja le (9.2. ábra), ahol a Φ aberrációfüggvényt a (ρ, θ) változók helyett a (ε ,φ) polár- és azimut szögekkel fejeztük ki. A változókat a

összefüggések kapcsolják össze. Ha bevezetjük az

(9.20)

függvényt, akkor (9.19) egyenlet alapján az aberrált hullámfront egyenletét a

időpontban az

egyenlet határozza meg. A fénysugarak irányát az S függvény gradiensének segítségével határozhatjuk meg, mivel a gradiens merőleges a felületre. Ennek megfelelően a fény terjedési irányába mutató vektor

,

ahol e_r, e_φ, e_ε a gömbi koordinátarendszer bázisvektorai. A (9.19) és a (9.20) egyenleteket felhasználva

.

Az e_r, e_φ, e_ε bázisvektorokat a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer e_x, e_y, e_z bázisvektoraival kifejezve az

.

(9.21)

kifejezést kapjuk. Az aberrált hullámfront (Q_h-val jelölt) pontjait derékszögű koordinátarendszerben az

egyenlettel fejezhetjük ki. Mivel a fény egy adott sugár mentén c sebességgel terjed, a hullámfront egyenlete a t időpontban

,

ahol

.

Ha bevezetjük a t₀ időpontot a

(9.22)

definícióval, akkor a hullámfront egyenletét az

.

(9.23)

alakban is felírhatjuk, ahol

.

(9.24)

A későbbi számolásokból látni fogjuk, hogy Φ « R esetén s ≈ 1, és így ct₀ ≈ Φ (lásd a (9.27), (9.31) és a (9.34) egyenleteket).

Az aberrációfüggvény Seidel-féle - (9.6) egyenletbeli alakja - az (ε, φ), illetve az (α, θ) (9.2. ábra) szögekkel a

formába írható át, ahol

.

A következő alfejezetekben a (9.21) és a (9.24) egyenleteknek az egyes elsődleges aberrációkra vonatkozó alakját ismertetjük.

Szférikus aberráció

A hengerszimmetria miatt elegendő a sugarakat egy a z-tengelyt tartalmazó síkban vizsgálni, továbbá a Φ = Φ₄₀ aberrációfüggvény φ szerinti deriváltja nulla. Ha sugarakat a meridionális síkban (vagyis az e_x, e_y vektorok által kifeszített síkban) vizsgáljuk (azaz φ = π/2 és θ = 0), a lehetséges egyszerűsítések után, a (9.21) és a (9.24) egyenletek az

(9.25)

és az

.

(9.26)

formába írhatók át. Továbbá a t₀ időpontot meghatározó (9.22) egyenletre sorfejtéssel a

(9.27)

közelítést kapjuk.

A nyílást kitöltő hullámfrontból a gyújtófelület (kausztika) egyenlete is meghatározható. A részleteket mellőzve, a kausztikát a (z, y) síkban (θ = 0) - a λ « R és Φ₄₀ « R feltételek teljesülése esetén - a

.

(9.28)

paraméteres görbe írja le, ahol a két utolsó közelítés paraxiális közelítés eredménye. A térbeli gyújtófelület a (9.28) egyenletben adott görbének a z-tengely körüli forgatásával adódik.

Asztigmatizmus

A Φ = Φ₂₂ aberrációfüggvény deriváltjainak a kiszámításával, és a lehetséges egyszerűsítések elvégzésével a (9.21) és a (9.24) egyenletek az

(9.29)

és az

(9.30)

formába írhatók át. Továbbá a t₀ időpontot meghatározó (9.22) egyenletre sorfejtéssel a

.

(9.31)

közelítést kapjuk.

Kóma

A Φ = Φ₃₁ aberrációfüggvény deriváltjainak a kiszámításával, és a lehetséges egyszerűsítések elvégzésével a (9.21) és a (9.24) egyenletek az

(9.32)

és az

.

(9.33)

formába írhatók át. Továbbá a t₀ időpontot meghatározó (9.22) egyenletre sorfejtéssel a

(9.34)

közelítést kapjuk.

Kromatikus aberráció hiányában (pl. tükrök esetén) az impulzus monokromatikus összetevőinek a fázissebessége azonos, így az összetevők fázisfontjainak az eltérése a referenciagömbtől minden összetevőre azonos. Ami azt jelenti, hogy Φ nem függ a frekvenciától. Az aberrációfüggvény a hullámfront eltérését méri az ideális gömb alaktól. Ebből is rögtön látszik, hogy a (9.6) egyenletben fellépő - hosszúság dimenziójú - A_nm állandót célszerű az impulzus központi hullámhosszához viszonyítani, vagyis az

alakba formába írni, ahol μ _nm dimenziómentes állandó.

A következő alfejezetekben a (9.5) egyenletből számolt intenzitáseloszlásokat mutatjuk be. A beeső impulzus időbeli lefutásáról feltételezzük, hogy Gauss-görbével írható le. Feltesszük még, hogy az impulzus mindössze 2 optikai ciklusból áll (N = 2), vagyis az igen rövid. Titán-zafir lézer esetén (λ₀ = 800 nm, T₀ = 2.67 fs) az N = 2 választás T = 5.34 fs időbeli hosszat jelent. A hullámoptikai számítások eredményeit összehasonlítjuk majd a geometriai optika által jósolt impulzusfronttal. A (9.23) egyenlet szerint egy adott t időpontban az impulzusfrontot az (ε, φ) (vagy helyettük a (α, θ)) paraméterekkel generált

felület adja meg. Ennek a felületnek és az optikai tengelyt tartalmazó, a meridionális síkkal ψ szöget bezáró síknak a közös pontjait, vagyis a ψ paraméterrel adott síkbeli impulzusfrontot a

egyenlet megoldásával nyerjük. Az hullám- és geometriai optikai számítások összehasonlításnál az I intenzitás értékhez egy Sz szürkeségi szintet rendelünk, az Sz = C I ^1/3 összefüggés szerint, ahol a C állandót úgy választottuk meg, hogy a maximumnak a (teljesen) fehér szín feleljen meg. A számításokat a numerikus apertúra a/R = 0.1 értékére végeztük el.

Mivel az A_nm állandó nem függ a frekvenciától a képmező görbület esetén a

eltolás szintén független frekvenciától, azaz minden monokromatikus összetevőre azonos. Ennek következtében az képmező görbület nem okoz tér- és időbeli torzulást. Hatására mindössze az aberrációmentes esethez tartozó térerősség Δz -vel eltolódik a z-tengely mentén. Teljesen hasonlóan belátható, hogy a torzítás sem vezet be tér és időbeli torzulást. Hatása az aberrációmentes térerősségnek az y-tengely mentén

mennyiséggel való eltolásában mutatkozik meg.

Szférikus aberráció

A szférikus aberráció hatását a μ₄₀ = -6 esetén szemléltetjük. Ez azt jelenti, hogy az ideális gömbfelülettől a legnagyobb eltérés 6λ₀ (a nyílás szélénél), továbbá μ₄₀ < 0 miatt hullámfront kissé görbültebb, mint az aberrációmentes esetben. Ennek következtében a marginális sugarak a fókusznál (a nyíláshoz viszonyítva) közelebb metszik az optikai tengelyt. A szemléltetéshez a τ = t/T₀ = -7000, -2394, -1800 és 500 időpontokat választottuk. Az első időpontnál az impulzus a marginális fókuszpont előtt, az utolsónál a paraxiális fókuszpont után, míg a két közbülső időpontnál a marginális és a paraxiális fókuszpontok közötti tartományban helyezkedik el. A számítások eredményeit a 9.3. ábra szemlélteti. Egy sík-domború lencse által létrehozott szférikus aberrációnak egy 24 fs-os impulzusra gyakorolt hatását a mellékelt animáció szemlélteti [8.11].

9.3. ábra. Két optikai ciklust (T = 2T₀) tartalmazó rövid fényimpulzus intenzitáseloszlása a t = -7000T₀, -2394T₀, -1800T₀ és a 500T₀ időpontokban a μ₄₀ = -6 paraméterrel adott első rendű szférikus aberráció jelenlétekor. A szürke szaggatott vonal a geometria optika által jósolt impulzusfrontot, míg a folytonos vonal a kausztikát jelöli.

A 9.3. ábrán a hullám- és a geometriai optikai számítások eredményeit is összehasonlítottuk. A szürke szaggatott vonal a geometria optika által jósolt impulzus-frontot, a szürke folytonos vonal a kausztikát szemlélteti. A 9.3. (a) és (d) részén jól látható, hogy az aberrációmentes esethez hasonlóan itt is megjelenik az előző fejezetben már tárgyalt szélihullám-impulzus [9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6], amelyet a nyílás pereméről kiinduló elemi hullámok interferenciája hoz létre.

Aberrációmentes esetben a széli-hullám-impulzus helyét a

egyenlet határozza meg. Könnyen belátható, hogy a most vizsgált szférikus aberráció jelenlétekor a szélihullám-impulzus helyzetét az optikai tengelyen a

egyenletből számíthatjuk ki. A szélihullám-impulzus teljes mértékben hullámoptikai jelenség, jelenléte a geometriai optikával nem magyarázható. Az ábrákról láthatjuk, hogy az impulzusfront alakját viszont a geometriai optika igen jól visszaadja. A számítások azt mutatják, hogy a szférikus aberráció következtében számottevő időbeli kiszélesedés nem lép fel, azonban az aberráció jelentős hatással van az impulzus térbeli alakjára, továbbá a jelentősen csökkenti az elérhető maximális intenzitást.

Megmutatható, hogy a hullámfelület ρa sugarú körön lévő pontjaiból kiinduló sugarak a

koordinátájú pontban metszik az optikai tengelyt (0 ≤ ρ ≤ 1). A 9.3. (b) ábrán a nyílás széléről érkező sugarak (ρ = 1) mentén a fényimpulzus éppen eléri az optikai tengelyt, azaz éppen a marginális fókuszponton halad keresztül (z₁/λ₀ = -2400). Kisebb ρ értékhez tartozó sugarak az optikai tengelyt az origóhoz közelebbi pontban metszik. Ezen sugarak mentén a fényimpulzus a tengelyt a 9.3. (b) ábrának megfelelő időpontnál későbbi időpontban éri el, míg a szélső sugarak mentén érkező fény már elhagyta a tengelyt, ahogy ez a 9.3. (c) ábrán is látható. Az impulzusfront ezen furcsa befűződését a marginális és a paraxiális fókuszpontok közötti tartományban figyelhetjük meg. A tengelyhez közeli sugarak mentén terjedő fény közel gömbi impulzusfrontot hoz létre.

A radiális intenzitáseloszlás mellékmaximumai nagyobbak, mint az aberrációmentes esetben fellépő Airy-féle eloszlás mellékmaximuma. A részletesebb vizsgálat azt mutatja, hogy a radiális eloszlás a szélihullám-impulzus eloszlásához hasonló [9.2, 9.4] (azaz a J₀² függvénnyel közelíthető). Ez a viselkedés tulajdonképpen nem meglepő, hiszen a szélihullámokhoz hasonlóan itt is olyan interferenciajelenséggel van dolgunk, amikor a fény terjedési iránya egy olyan kúpnak a palástjára esik, amelynek a tengelye az optikai tengely.

Asztigmatizmus

Az asztigmatizmus hatásának bemutatásához a μ₂₂ = 1.5 értéket választottuk. A meridionális, vagyis az (y, z) síkban (ψ = 0º) lévő fókuszvonal az optikai tengelyen z_m = 0 helyen, míg a meridionális síkra merőleges (z, x), azaz a szagittális síkban (ψ = 90º) lévő fókuszvonal a

zs = 2 A22 (R/a)2 = 2 μ22 λ0 (R/a)2

helyen helyezkedik el, amely a számolásbeli paraméterekkel z_s = 300 λ₀. A szemléltetéshez a τ = t/T₀ = -2000, 0,150, 300 és 2000 időpontokat választottuk. Ezekben az időpontnál az impulzus rendre a meridionális fókuszvonal előtt, a meridionális fókuszvonalnál, a két fókuszvonal között, a szagittális fókuszvonalnál és a szagittális fókuszvonal után helyezkedik el. Az intenzitás szemléltetésére az előző esetben használt intenzitás - szürkeség megfeleltetést használtuk. A geometriai optikából kapott impulzusfrontot itt szintén szaggatott vonal szemlélteti. Mivel az intenzitáseloszlás már nem hengerszimmetrikus, az intenzitást a meridionális síkkal ψ = 0º és 90º szögeket bezáró - az optikai tengelyt tartalmazó - síkokban szemléltettük. A Φ₂₂ szimmetria tulajdonságaiból következik, hogy az intenzitás eloszlása szimmetrikus mind az (y, z), mind a (z, x) síkokra. Az egyes időpontokra vonatkozó számolási eredményeket rendre a 9.4. ábra mutatja.

9.4. ábra. Két optikai ciklust (T = 2T₀) tartalmazó rövid fényimpulzus intenzitáseloszlása a t = -2000T₀ , 0, 150T₀, 300T₀ és 2000T₀ időpontban A₂₂ = 1.5 λ₀ paraméterrel adott asztigmatizmus jelenlétekor a meridionális síkhoz képest ψ = 0 és 90° szöget bezáró, a z-tengelyt tartalmazó síkban. A szürke szaggatott vonal a geometria optika által jósolt impulzusfrontot jelöli.

Látható, hogy a szélihullám-impulzus asztigmatizmus jelenlétében is megmutatkozik (9.4. ábra (a) és (e) része), a hengerszimmetria megszűnése ellenére. Azonban az aberráció hatására a szélihullám-impulzus térbeli tulajdonságai megváltoznak. Például a nem tengelyen lévő maximumok jelentősen megnőnek. Az ábrák azt is mutatják, hogy a geometriai optika a fókuszvonalaktól eltekintve igen jól megadja az impulzus térbeli alakját. A geometriai optikai leírás a meridionális fókuszvonalnál csak a meridionális síkban (9.4. ábra (b) rész), míg a szagittális fókuszvonalnál csak a szagittális síkban (9.4. ábra (d) rész) vezet megfelelő eredményre.

Kóma

A kóma hatását a μ₃₁ = 2.5 paraméterrel szemléltettük. Kóma esetén az intenzitáseloszlás szimmetriája tovább csökken, A Φ₃₁ szimmetria tulajdonságaiból megmutatható, hogy az intenzitás eloszlása már csak az (y, z), azaz a meridionális síkra szimmetrikus. A szemléltetéshez a τ = t/T₀ = -2000, -200, 0, 200 és 2000 időpontokat választottuk. Az egyes időpontokra vonatkozó számolási eredményeket rendre a 9.5. ábra mutatja. Az intenzitást - minden időpontra - a meridionális síkkal ψ = 0º és 90º szögeket bezáró síkokban szemléltettük. A geometriai optikából kapott impulzusfrontot itt is a szaggatott vonal mutatja.

9.5. ábra. Két optikai ciklust (T = 2T₀) tartalmazó rövid fényimpulzus intenzitáseloszlása a t = -2000T₀, -200T₀, 0, 200T₀ és a 2000T₀ időpontban A₃₁ = 2.5 λ₀ paraméterrel adott kóma jelenlétekor a meridionális síkhoz képest ψ = 0 és 90° szöget bezáró, a z-tengelyt tartalmazó síkban. A szürke szaggatott vonal a geometria optika által jósolt impulzusfrontot jelöli.

Amint az ismeretes [9.1], a kóma hatására, a z = 0 (kép)síkban az y > 0 és -30º≤ ψ ≤ 30º tartományban szóródnak szét a fénysugarak, elmosva ezzel a képet. Ennek megfelelően érthető, hogy a képsíkhoz közel az impulzusfront az y > 0 tartományba tolódik át, mint ahogy ez a 9.5. ábrán látható. Azokon helyeken, melyek geometriai optikai értelemben a megvilágított tartományban vannak és nincsenek túl közel az árnyék határához (geometriai elmosódottság határához), a geometriai optikai modell jól visszaadja az impulzusfront alakját.

A szimmetriatulajdonságok további romlásának ellenére a szélihullám-impulzus kóma esetén is megjelenik, az aberrációmentes esethez képest megváltozott tér- és időbeli tulajdonságokkal (9.5. ábra). A térbeli alakja a meridionális síkban hasonlít leginkább az aberrációmentes esetre, bár jól látható, hogy eltolódik az y > 0 tartományba, vagyis nem a z-tengelyen terjed. A szagittális síkban csak a jellegzetes X alak marad meg, a minimumok és maximumok keresztirányú váltakozása eltűnik

[9.1]   M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, (Cambridge University Press, 7th edition), chapter IX.

[9.2]   Zs. Bor, Z. L. Horváth, Distortion of Femtosecond Pulse in Lenses. Wave Optical Description Optics Commun. 94 (1992) 249.

[9.3]   Z. L. Horváth, Zs. Bor, Behaviour of Femtosecond Pulses on The Optical Axis of a Lens. Analytical Description, Optics Commun. 108 (1994) 333.

[9.4]   Z. L. Horváth and Zs. Bor, Diffraction of short pulses with boundary wave theory, Phys. Rev. E 63 (2001) 26601.

[9.5]   Z. L. Horváth, J. Klebniczki, G. Kurdi and A. P. Kovács, Experimental investigation of boundary wave pulse, Optics Commun.239 (2004) 243.

[9.6]   P. Saari, P. Bowlan, H. Valtna-Lukner, M. Löhmus, P. Piksarv and R. Trebino, Basicdiffraction phenomena in time domain, Opt. Express 18 (2010) 11083-8.

Ebben az esetben az interferométer kimentén egy lineáris, kicsiny fényérzékelő felülettel rendelkező fotodetektort (pl. fotodiódát) helyezünk el, és az interferométer referenciakarjában lévő késleltető elem tükrét időben közel állandó sebességgel mozgatjuk előre-hátra a zérus karhosszkülönbséghez tartozó pozíció körül. A kimeneten a referencia- és a tárgynyaláb interferenciájaként kialakuló fényintenzitást folyamatosan regisztráljuk. Vizsgáljuk meg, hogy hogyan határozható meg a kapott interferogramból a mérendő diszperzív minta φ _m (ω) spektrális fázisfüggvénye [10.1].

Az interferométerbe belépő fénynyaláb spektrális fényintenzitását jelöljük I(ω)-val, míg a spektrális fázisát φ _f (ω)-val. Az interferométer bemeneténél (z=0) a fényhullám térerőssége:

(10.1)

Az interferométer referencia- illetve tárgykarjában a fény z_R illetve z_T utat tesz meg a levegőben, azaz a geometriai úthossz-különbség Δz=z_T-z_R. Az interferométer nyalábosztóin való keresztülhaladáskor illetve a tükrein való visszaverődéskor változhat a fényhullám spektrális intenzitása és spektrális fázisa is. Ezt a komplex reflexiós tényezővel vesszük figyelembe:

(10.2)

ahol φ _Ro (ω) a referenciakarban, míg φ _To (ω) a tárgykarban lévő optikai elemek eredő spektrális fázisfüggvényét jelöli. Fontos megjegyezni, hogy ez utóbbi mennyiségbe a mérendő diszperzív minta φ _m (ω) spektrális fázisát nem értettük bele. Az interferométer kimenetén a referencia- illetve a tárgykarból érkező fényhullámok térerőssége:

(10.3)

ahol c a vákuumbeli fénysebességet jelöli, és a levegő törésmutatóját 1-nek vettük.

A detektornál a két nyaláb térerőssége koherens módon adódik össze, azaz a detektor a két karból egymáshoz képest időbeli késéssel érkező fényhullámok térerősségének összegét érzékeli

(10.4)

Mivel a fényhullámok periódusideje néhány femtoszekundum, így a detektor csak az intenzitás időbeli átlagát képes mérni, azaz

(10.5)

A (10.4) egyenletet (10.5) integrandusába beírva kapjuk, hogy

(10.6)

Az egyenlet jobb oldalának első és második tagját idő szerint kiintegrálva egy-egy állandó értéket kapunk. A minta fázistolásáról a harmadik és negyedik tag, azaz a keresztkorrelációs tagok hordozzák az információt. Figyelembe véve, hogy az <exp(iω₁t-iω₂t)>=Δ(ω₁-ω₂), ahol <> jelek az időbeli átlagolást jelölik, így a keresztkorrelációs jelre adódik, hogy

(10.7)

ahol τ=Δz/c a tárgynyalábnak a referencianyalábhoz képesti, az eltérő geometriai úthossztól származó időbeli késése. Vegyük észre, hogy az egyenletben már nem szerepel az interferométerbe belépő fénynyaláb φ _f spektrális fázisfüggvénye, azaz a detektált jel csak az interferométer két karja közötti fáziskülönbségtől függ. Ebből következik, hogy alapvetően mindegy, hogy egy közönséges fehér lámpát használunk fényforrásként, ahol a spektrális komponensek fázisa egymáshoz képest véletlenszerűen változik, vagy éppen egy drága femtoszekundumos lézert, ahol viszont a komponensek fázisa egymáshoz képest rögzített. A lézer jó kollimáltsága és jó térbeli koherenciája azonban a mérést jóval könnyebbé teszi, mintha csak egy halogén lámpát használnánk. Vegyük észre azt is, hogy detektor jelét nemcsak a diszperzív minta, hanem a referencia- és tárgykar optikai elemeinek spektrális fázisfüggvénye is befolyásolja.

Ezek után vizsgáljuk meg, hogy hogyan változik a detektor jele, ha diszperzív mintát helyezünk a tárgykarba. Ahhoz, hogy ezt megfigyelhessük, először tekintsük azt az esetet, amikor az interferométer üres, azaz nincs diszperzív elem egyik karjában sem, és egy 6 fs-os, 800 nm központi hullámhosszú transzformlimitált lézerimpulzussal világítjuk meg (10.2. ábra). A késleltető elemmel változtassuk az interferométer két karjából érkező impulzusok között a τ időbeli késleltetést, és a 10.2. ábrához tartozó animáción figyeljük meg, hogyan változik a dióda jele.

10.2. ábra. a) Az interferométerből kilépő, egymáshoz képest időben késleltetett lézerimpulzusok térerőssége. b) A fotodióda által detektált jel a késleltetés függvényében.

Láthatjuk, hogy amikor a két impulzus időben nem fed át, akkor a késleltetés értékétől nem függ a dióda által detektál jel, végig egy állandó értéket mutat. Azonban amikor a két impulzus elkezdi időben átfedni egymást, az interferencia eredményeképpen a dióda jele az átfedés nélküli esetben kapott értéknél nagyobb illetve kisebb is lehet. A jel időbeli periódusa megegyezik a fényimpulzus periódusidejével (jelen esetben T=2,7 fs), mivel erősítés akkor lehet csak, ha a két impulzusnak a térerősség maximumai egymásra esnek. A detektor jele a maximális értéket akkor éri el, amikor a két impulzus közötti időbeli késleltetés zérus. Vegyük észre, hogy eléggé hasonló a detektor által mért ún. keresztkorrelációs jel alakja az impulzusok térerősségéhez, a periódusa is azonos időtartamú. Azonban fontos különbség, hogy míg az impulzusok térerősségénél a vízszintes tengely az időtengely, addig a keresztkorrelációs jelnél egy idő dimenziójú mennyiség szerepel, a két kar közötti időkésés. Ezért bár ezen a tengelyen is femtoszekundumos időskálát látunk, itt egy-egy mérési pont egy adott karhosszkülönbséghez, azaz egy adott késleltetéshez tartozik. Így érdekes módon bár a legjobb detektorok is csak pikoszekundumos integrálási idővel tudnak mérni, mégis femtoszekundumos időskálán történő változásokról is kaphatunk információt az interferencia jelenségének segítségével.

Repülésiidő-interferometria

A repülésiidő-interferometria azon az előbb említett tényen alapul, hogy a detektor jele a maximális értéket akkor éri el, amikor az interferométer két karjából érkező impulzus közötti időbeli késleltetés zérus. Ennél a technikánál az interferométert megvilágító fényforrásnak kvázimonokromatikusnak kell lenni, azaz pl. egy sávszűrővel ellátott fehér lámpa [10.2] vagy egy hangolható festéklézer [10.3] használható e célra. Az interferométer optikai elemeinek, valamint a vizsgálandó diszperzív mintának a rajta keresztülhaladó kvázimonokromatikus fényre gyakorolt hatásának leírásánál a kis spektrális sávszélesség miatt elegendő, ha a spektrális fázisfüggvényeknek a Taylor-sorát csak első rendig vesszük figyelembe. Ezt felhasználva a (10.7) egyenletet az alábbi alakra írhatjuk át

(10.8)

ahol ω₀ a kvázimonokromatikus fény központi frekvenciája. A (10.8) egyenletből látható, hogy a mért interferenciajel maximuma a tárgykar és a referenciakar csoportkésleltetés különbségének függvényében eltolódik. Így a vizsgált optikai elem csoportkésleltetés-függvényét úgy kaphatjuk meg, hogy egy adott ω₀ frekvenciánál a kapott interferogram (keresztkorrelációs jel) maximális láthatóságához tartozó késleltetést meghatározzuk. Az interferogram V láthatóságát egy adott időpillantban a V=(I_max-I_min)/(I_max+I_min) összefüggés alapján tudjuk meghatározni, ahol I_max és I_min az adott időpillanathoz legközelebb eső interferenciacsúcs illetve -völgy intenzitásértéke. Majd megváltoztatjuk a kvázimonokromatikus fény ω₀ körfrekvenciájának értékét, és ismét megkeressük a láthatósági-maximumhoz tartozó késleltetés értékét. Ezt megismételjük több különböző körfrekvencia értéknél. Ily módon a relatív csoportkésleltetés közvetlenül a láthatósági maximumok helyéből meghatározható. A repülésiidő-interferometriának a legnagyobb előnye épp ebben, a csoportkésleltetés közvetlen mérési lehetőségében van.

10.3. ábra. a) Három különböző hullámhossz esetében a referencia impulzus és az 5 mm kvarc lemezen áthaladt tárgyimpulzus térerőssége a referenciaimpulzus adott késleltetésénél. b) A fenti ábrának megfelelő keresztkorrelációs jelek.

A 10.3. ábrán egy szimulált pillanatfelvételt láthatunk három hullámhosszra, 700 nm-re (kék vonal), 800 nm-re (zöld vonal) és 900 nm-re (piros vonal) vonatkozóan. A különböző hullámhosszú referenciaimpulzusokkal miközben egy szkennelést végzünk, azaz a referenciakar hosszának változtatásával változik τ is (lásd animáció), az alsó ábrán látható keresztkorrelációs jeleket kapjuk. Mivel a kvarclemezben a hosszabb hullámhosszú komponensek gyorsabban terjednek, mint a rövidebb hullámhosszúak, így a referenciaimpulzus szkennelésekor a hosszabb hullámhossznál előbb jelenik meg a keresztkorrelációs jel, mint a rövidebb hullámhosszúénál.

Ügyelni kell a mérésnél arra, hogy az üres interferométer két karjában is lehet diszperziót okozó optikai elem, ezért először az üres interferométer két karja közötti maradék diszperzió okozta φ' _To -φ' _Ro csoportkésleltetést kell megmérnünk. Csak ezután helyezzük be a diszperzív mintát, és végezzük el újra a mérést. A két mért függvény különbsége adja a minta φ' _m csoportkésleltetés-függvényét. Vegyük észre, hogy a τ pontos értékét nem ismerjük, így csak a minta relatív csoportkésleltetés-függvényét tudjuk megmérni.

A mérések kivitelezésekor az egyik probléma a mérés időbeli és spektrális felbontásának kapcsolata. Minél nagyobb a fényforrás sávszélessége, annál rövidebb tartományon láthatók csak interferenciacsíkok, azaz annál pontosabban lehet meghatározni a láthatósági maximum helyét és így a csoportkésleltetést. Azonban ekkor a spektrális felbontás romlik. A másik probléma, hogy ha a spektrális fázisfüggvényt minél több hullámhosszon szeretnénk meghatározni, akkor a mérés eléggé hosszadalmassá válik, mivel minden egyes hullámhosszon külön-külön kell a mérést végrehajtani. Ez a fél órát is elérheti, ami viszont azt eredményezi, hogy a termikus hatások miatt a mérések során a karhosszak változhatnak, ezért szükséges ezt folyamatosan ellenőrizni, pl. egy He-Ne lézer nyalábjával. További probléma a láthatósági maximum helyének pontos meghatározása. Mivel a detektált I_korr(τ) függvényen két lokális intenzitásmaximum közötti időkülönbség kb. a fényhullám periódusideje, így ahhoz hogy legalább néhány mérési pont essen két maximum közé, a referencia tükör λ/8 mértékű mozgatására van szükség. Ez csak igen drága eltolóval oldható meg, melynek a mozgatásához egy léptetőmotorra is szükség van. A detektált intenzitásgörbére általában jelentős zaj is rárakódik. A ±1 fs időbeli felbontás eléréséhez a zaj kiküszöbölésére Knox és munkatársai lock-in erősítőt használtak, és a fényforrás fényét 1 kHz-cel szaggatták [10.2]. A kapott intenzitásgörbéből csak számítógépes adatfeldolgozással tudták meghatározni a láthatósági maximumot, mivel még 45 nm-es léptetés esetén sem kaptak elég sima intenzitás-késleltetés görbét. Tükrök vizsgálata esetén többszörös reflexiók használatával növelték meg az időbeli felbontást. 12-szeres reflexióval ±1/12 fs-os időbeli felbontást értek el. Itt azért megjegyezzük, hogy ha kisebb pontosság (±30 fs) is elég, akkor az imént ismertetett költséges és bonyolult technika alkalmazása helyett szemmel is jól meg lehet állapítani a láthatósági maximum helyét [10.3]. Végül problémát okozhat, ha a vizsgálandó mintának jelentős abszorpciója van. Ugyanis ez oly mértékben megváltoztathatja a detektált intenzitásfüggvény burkolóját, hogy amint ezt Naganuma és munkatársai kísérletileg igazolták [10.4], hamis csoportkésleltetés értékeket kapunk. Összefoglalva, a repülésiidő-interferometriával eddig elért legjobb időbeli felbontás tükrök esetén 12-szeres reflexiónál ±1/12 fs, más optikai elemekre ±1 fs, 10 nm-es spektrális bontásban a 400-750 nm-es hullámhossztartományon.

A spektrálisan bontott interferometria, vagy röviden spektrális interferometria kezdetei az 1900-as évek elejéig nyúlnak vissza. Ennek oka az elrendezés egyszerűségében rejlik. Ez a technika nem igényel mást, mint egy széles spektrumú fényforrással, pl. egy közönséges fehér lámpával kivilágított interferométert, melynek a kimenetét bontjuk egy spektrométerrel, spektrográffal vagy egy monokromátort használva. Az időtartománybeli mérési elrendezésekkel szemben e technika nagy előnye, hogy nem tartalmaz olyan alkatrészt, melynek mozgását nagy pontossággal kellene detektálni.

A vizsgált minta spektrális fázisfüggvénye a spektrális interferenciaképből különböző módszerekkel határozható meg. A spektrális interferometriát kezdetben üvegek és gázok törésmutatójának meghatározására, majd később fémtükrök spektrális fázistolásának mérésére használták. Az impulzusüzemű lézerek széleskörű elterjedésével az optikai elrendezésekben olyan eszközöket (pl. diszperzív lézertükröket, impulzuskompresszorokat, -nyújtókat, stb.) kezdtek használni, ahol a fémtükrökhöz hasonlóan a törésmutató helyett a spektrális fázisfüggvény ismerete vált fontossá. Ennek eredményeképpen a spektrálisan bontott interferometria számos változatát dolgozták ki.

A spektrálisan bontott interferometria két főcsoportra bontható az interferométert elhagyó referencia- és tárgynyaláb irányától függően. Egyik esetben a két nyaláb párhuzamos egymással, míg a másik esetben szöget zárnak be egymással (keresztezett nyalábú spektrális interferometria). Mindkét csoport további alcsoportra bontható annak megfelelően, hogy a spektrális fázisfüggvény térbeli változása is mérhető vagy nem. Ez részben függ a detektor típusától is. Míg a párhuzamos nyalábú változatban használhatunk diódasort illetve CCD chipet is, addig a keresztezett nyalábok esetében csakis kétdimenziós detektor (pl. CCD chip) jöhet szóba. A detektor kétdimenziós volta azonban még nem garantálja, hogy a spektrális fázisfüggvény térbeli változásáról is kapunk információt, ez a mérési módszertől is függ. A keresztezett nyalábú spektrális interferometriát szokták spektrálisan és térben bontott interferometriának is nevezni, azonban amióta a párhuzamos nyalábú változatnál is használnak kétdimenziós detektorokat, az elnevezés kissé megtévesztővé vált. Először tekintsük át a párhuzamos nyalábú spektrális interferometriai módszereket.

Párhuzamos nyalábú spektrális interferometria

Amint említettük, ebben az esetben a referencia- és a tárgyimpulzus az interferométerből párhuzamosan lép ki egymáshoz képest időben késleltetve. Az interferométer kimenetén elhelyezett spektrométer a két impulzust spektrális komponenseire bontja, és a spektrométer detektorával e komponensek interferenciájának eredményét detektáljuk (10.4 ábra). A betét ábra egy olyan szimulált interferogramot mutat, melyet egy 15 fs-os, 800 nm központi hullámhosszú titán-zafír lézer impulzusával kapnánk, ha a diszperzív minta egy 10 mm vastag kvarc lemez lenne.

10.4. ábra. Spektrálisan bontott Mach-Zehnder interferométer egy tipikus spektrális interferogrammal

Ideális esetet feltételezve, a fénynyaláb és a detektor pixelei végtelenül vékonyak, a spektrométer felbontóképessége pedig végtelenül nagy. Ekkor a spektrométer kimeneténél elhelyezett detektor pixeleire már nem az impulzusok, hanem az őket alkotó monokromatikus hullámok esnek. Egyszerűség kedvéért tekintsük azt az esetet, amikor a monokromatikus komponensek síkhullámok. Így egy adott ω körfrekvenciának megfelelő pixelnél a térerősség a következőképpen adható meg:

(10.9)

A detektor pixelei azonban nem tudják lekövetni a térerősség időbeli változását, hanem felintegrálják a bejövő fényhullámokban lévő energiát. Ekkor a mért jel, azaz a spektrális intenzitás:

(10.10)

ahol I _T (ω) és I _R (ω) a tárgy- és a referenciakarból érkező fénynyaláb spektrális intenzitása (spektruma), valamint

(10.11)

a két kar közötti fáziskülönbség. Tekintve, hogy a valódi interferogramok esetében a fejezet elején ismertetett feltételek csak közelítőleg teljesülnek, így a (10.10) kifejezés is csak közelítőleg tudja megadni a valódi interferogramok spektrális intenzitását. Abban az esetben, ha nem túl nagy a két kar közötti késleltetés és jó a fényforrás térbeli koherenciája, a bemutatott összefüggések jól alkalmazhatók az interferenciamintázat leírására. Nagyobb késleltetések, illetve sűrű csíkrendszer esetén a láthatóság az említett hatások következtében leromlik.

Állandó fázisú pont módszere

A következőkben ismertetendő kiértékelési eljárásokhoz célszerű a mért interferogramból, illetve a tágy- és a referenciakar spektrális intenzitásból elő kell állítani a (10.10) összefüggést felhasználva az ún. normált interferogramot:

(10.12)

Először is megvizsgáljuk, hogy a kapott normált interferogramon milyen frekvenciáknál lesz az intenzitásfüggvénynek szélsőértéke. Ehhez a (10.12) egyenlet körfrekvencia szerinti első deriváltja zérus kell, hogy legyen:

(10.13)

Tekintsük elsőként azt az esetet, amikor a (10.13) egyenlet a dΦ/dω=0 következtében teljesül.

Annál a frekvenciaértéknél, amelyre ez teljesül, kialakul az ún. állandó fázisú pont [10.6]. Elnevezését az indokolja, hogy e pont környékén a spektrális fázis lassan változik (10.5. ábra).

10.5. ábra. Szimulált normált, spektrálisan bontott interferogram az állandó fázisú ponttal

Az állandó fázisú pont mozog az interferogramon a referenciakar késleltetésének változtatásával, ugyanis ekkor változik τ is, így más frekvenciaértéknél teljesül a dΦ/dω=0 feltétel:

(10.14)

A (10.14) összefüggésből látható, hogy az állandó fázisú pont helyét a két kar közötti τ késleltetés, a vizsgált diszperzív minta, valamint a két karban lévő optikai elemek csoportkésleltetés-függvénye határozza meg. Ebből következik, hogy különböző referencia- karhosszaknál vizsgálva az állandó fázisú pont helyét előbb az üres interferométerrel, majd a diszperzív mintával együtt, megmérhető a minta csoportkésleltetés függvénye.

Az állandó fázisú pont mozgásának irányából a csoportkésleltetés-diszperzió előjele egyértelműen meghatározható. Ha például azt látjuk az interferogramon, hogy az állandó fázisú pont a nagyobb frekvenciák felé mozdul a τ késleltetés értékének csökkentésével, az

10.6. ábra. Az állandó fázisú pont mozgása a késleltetés változtatásakor pozitív GDD-jű minta esetében

arra utal, hogy a rövidebb hullámhosszú komponensek az impulzus végén találhatók, azaz a csoportkésleltetés-diszperzió előjele pozitív. Emlékezzünk arra, hogy τ akkor pozitív, ha a tárgykar hosszabb a referenciakarnál. Ezért ha a késleltetés pozitív, az annyit jelent, hogy a tárgykarból érkező, pozitívan csörpölt impulzus késik a referenciaimpulzushoz képest, így a tárgyimpulzus eleje találkozik a referenciaimpulzussal. A tárgyimpulzus vivőfrekvenciája az impulzus elején alacsonyabb, és ekkor valóban az alacsonyabb frekvenciánál van az állandó fázisú pont. Amikor pedig negatív lesz a késleltetés, akkor a tárgyimpulzus megelőzi a referenciaimpulzust, így a referenciaimpulzus a tárgyimpulzus végével találkozik, ahol a tárgyimpulzus vivőfrekvenciája nagyobb. Ha a csoportkésleltetést ábrázoljuk a frekvencia függvényében, és erre polinomot illesztünk, akkor az illesztés együtthatói megadják a GDD, a TOD, FOD értékét.

Ha a minta diszperziója nem túl nagy, de kis felbontóképességű spektrométert használunk, vagy nagy a spektrométer felbontóképessége, de a minta diszperziója (pl. egy optikai szál vagy egy impulzuskompresszor esetében) is igen jelentős, akkor az interferogram egyes részein az interferenciacsíkok olyannyira besűrűsödnek, hogy a spektrográf kiátlagolja azokat (10.7. ábra).

10.7. ábra. Az állandó fázisú pont még akkor is jól felismerhető, amikor már a sűrű csíkrendszer elmosódik az interferogramon

Ilyen esetekben a diszperziónak az állandó fázisú pont módszerével történő meghatározása igen megbízható megoldás. A módszer hátránya azonban, hogy pontos méréshez sok interferogramon kell egyenként leolvasni az állandó fázisú pont helyét, ami meglehetősen időigényes, esetenként igen nehézkes. Kisebb diszperziók esetében az állandó fázisú pont kiszélesedik, ekkor az eljárás pontatlanná válik.

Bár a fejezet elején azt írtuk, hogy célszerű a mért interferogramból előbb a normált interferogramot elkészíteni, és csak azután kiértékelni, mégis sok esetben a mért interferogramon végzik el a kiértékelést. Ez nem okoz hibát akkor, ha a fényforrás spektrális intenzitása nem változik jelentősen az állandó fázisú pont környezetében.

Minimum-maximum módszer

Ha a (10.13) egyenlet teljesülésének másik feltételét vizsgáljuk, egy másik kiértékelési lehetőséghez jutunk. A sin(Φ(ω))=0 feltétel a minimum- és maximumhelyeket adja meg. Azon körfrekvenciáknál lesz maximum, ahol a fázis a 2π egész számú többszöröse, azaz Φ=2mπ esetén, és minimum ott lesz, ahol Φ=(2m+1)π (10.8. ábra).

10.8. ábra. Az interferencia minimumok és maximumok helyére vonatkozó feltételek

A kiértékelés során először is a felvett, majd normált interferogramról leolvassuk a maximumokhoz és minimumokhoz tartozó körfrekvencia értékeket. Ezekhez a fázist úgy rendeljük hozzá, hogy az adott maximum illetve minimum sorszámát (ez a fentebb említett m-nek felel meg) π-vel szorozzuk. Ha tehát az így meghatározott fázisértékeket a leolvasott körfrekvencia értékek függvényében ábrázoljuk, és egy ötöd rendű polinomot illesztünk a mért adatokra, akkor az illesztési paraméterekből adódnak a GDD, a TOD, FOD valamint a QOD értékei. Természetesen figyelembe kell venni, hogy az állandó fázisú pontnál a fázis menete előjelet vált, azaz az ezt követő pont is ugyanolyan fázisértékű lesz, mint az állandó fázisú pontot megelőző, valamint hogy ettől kezdve a fázisértékek nőnek   a kapott görbe átfordul. Pontosan ez látszik a 10.9. ábrán, ahol a kék szaggatott vonal az illesztett görbe.

10.9. ábra. Spektrális interferogram minimum-maximum módszeres kiértékelésével kapott fázisfüggvény

E módszer volt a spektrális interferometria 1900 körüli születésétől kezdve a számítógépes kiértékelés elterjedéséig, azaz a 60-es évek végéig az egyetlen használható módszer, hiszen a fotolemezre felvett interferogram sötét csíkjait denzitométerrel pontosan le tudták olvasni. Később kissé feledésbe merült, ám nemrégiben sikerült ezt a módszert éppen optikai szálak diszperziójának méréséhez újra felfedezni [10.7]. Vegyük észre, hogy ennél a kiértékelési eljárásnál voltaképpen egyetlen interferogram felvétele is elegendő lenne a diszperzió pontos meghatározásához. A mérés pontossága növelhető sűrűbb csíkrendszer kialakításával, ha a referenciakar hosszának változtatásával növeljük a két kar közötti időbeli késleltetést. Minél szélesebb sávú fényforrást alkalmazunk, annál nagyobb tartományon tudjuk meghatározni a spektrális fázist, és így a diszperziós együtthatók mérési pontosságát növelni tudjuk. Ilyen esetekben azonban előtérbe kerül a módszer talán egyetlen hátránya, hogy nehézkes a minimumok, maximumok egyenkénti meghatározása, különösen, ha némi zajjal is terhelt a mérés. Megfelelő kiértékelő programmal a probléma megoldható.

Az állandó fázisú pont módszeréhez hasonlóan erre a módszerre is igaz, hogy gyakran a kiértékelést a mért interferogramon végzik el a normált interferogram helyett. Ez minimális hibát okoz a mérésben, ha nem változik jelentősen a spektrális intenzitás az interreferencia mintázat néhány periódusán belül.

Fázismodulált koszinusz-függvény illesztése

Az előző fejezetekben ismertetett eljárásokkal szemben e módszer előnye a gyorsasága. A normált interferogramra egy fázismodulált ötöd rendű koszinusz-függvényt illesztünk a következő séma szerint:

(10.15)

A fenti képletben u betűvel jelöltük az illesztési paramétereket, melyeket, ha meghatároztunk, akkor ezek konstans szorosai adják a GDD, a TOD, FOD és a QOD értékeket. Az 10.10. ábrán pirossal a normált interferogramot, szaggatott kék vonallal pedig az illesztett görbét jelöltük.

10.10. ábra. Fázismodulált koszinusz-függvény illesztése a normált spektrális interferogramra

A módszer hátránya, hogy ha túl sűrűvé válik a csíkrendszer, akkor a spektrométer optikai elemei illetve a detektor pixeleinek véges mérete által meghatározott véges felbontóképesség miatt a csíkrendszer elkezd kiátlagolódni, ami a csíkrendszer láthatóságának csökkenéséhez vezet. Ebben az esetben az illesztőprogram által szolgáltatott eredmények kezdenek egyre pontatlanabbá válni, mivel a jel a vizsgált hullámhossztartomány mentén nem állandó amplitúdójú. Ilyenkor lassúsága ellenére az előbbi fejezetben ismertetett minimum-maximum módszer válik megbízhatóbbá.

Fourier-transzformációs kiértékelési módszer

Ebben a fejezetben az üvegek diszperziójának meghatározására már széles körben használt Fourier-transzformáción alapuló kiértékelési eljárást [10.8] ismertetjük, mely nem igényli a korábban ismertetett normálását az interefrogramnak. A módszer alapkövetelménye a sűrű interferencia csíkrendszer (10.11.a ábra), azaz viszonylag nagy, pikoszekundumos nagyságrendbe eső időbeli késleltetés. Először is a (10.10) egyenlet

10.11. ábra. (a) Szimulált spektrális interferogram és (b) Fourier-transzformáltja

interferenciát kifejező tagját az Euler-képletek alkalmazásával átírjuk, majd a felvett interferogramon végrehajtjuk a Fourier-transzformációt:

(10.16)

Ekkor az eredményül kapott I(t,τ') függvény négy tagja

(10.17)

voltaképpen három részre osztható (10.11.b ábra). A referencia- valamint a tárgykarból érkező impulzusok I _T (ω) és I _R (ω) spektrális intenzitása ω-ban lassan változó függvény. Így a megfelelő Fourier-transzformáltjaik I _T (t) és I _R (t) a t=0 körüli tartományban jelennek meg. Vegyük észre, hogy itt I _T (t) és I _R (t) nem a referencia- és tárgykarból érkező impulzusok intenzitásának időbeli függését jelöli, hanem az I _T (ω) és I _R (ω) spektrális fázisfüggvények Fourier-transzformáltját. Ezzel szemben a (10.16) összefüggés jobb oldali harmadik tagja, mely a mérendő fázisfüggvényt is tartalmazza, ω-ban gyorsan változó függvény. Így az I_int(t-τ')és az I_int(t+τ') Fourier-transzformáltjai a τ'=τ+dφ/dω illetve a -τ' időpontok környezetében találhatók. Az int jelölés arra utal, hogy a (10.16) egyenleben szereplő ún. interferenciás tagok Fourier-transzformáltjai. A τ' a tárgy- illetve a referenciakarból érkező két impulzus közötti időbeli késést jelöli. Ez két részből tevődik össze, egyrészt a két kar geometriai útkülönbségéből származó τ időkésésből, másrészt a dφ/dω tagból, azaz a diszperzív mintán valamint az interferométer optikai elemein fellépő időkésésből. Ez esetben a két t=0-ra szimmetrikus csúcs megjelenésének oka, hogy a Fourier-transzformáció valós függvényen történt.

A Fourier-transzformáltak közül a pozitív τ'-höz tartozót kivágjuk, majd visszatranszformáljuk a frekvenciatartományba. Ekkor a visszatranszformált függvény argumentumából kinyerhető fázis relatív körfrekvencia függvényből egy megfelelő polinom illesztésével megkaphatjuk a vizsgált mintára jellemző fázisderiváltak értékeit. Végül a spektrum és a fázisgörbe (10.12. ábra) (vagy a fázisderiváltakból számolt fázisfüggvény) felhasználásával egy újabb Fourier-transzformáció segítségével az impulzusalakot is meg tudjuk határozni.

10.12. ábra. A szimulált spektrum és a kapott fázisfüggvény

Meg kell jegyeznünk, hogy a spektrális fázisfüggvény és így az impulzusalak kis mértékben függ az említett időtartománybeli szűrésnél alkalmazott ablakszélességtől.

Eddigiekben, hogy a matematikai kifejezések egyszerűbbek legyenek, feltételeztük, hogy síkhullámok haladnak végig az interferométeren. Vegyük észre, hogy a fent ismertetett módszerek síkhullámoktól eltérő fényhullámok esetében is alkalmazhatók, csak ekkor a két kar közötti fáziskülönbséget megadó kifejezésben a térfüggést is bele kell venni. Így tehát a párhuzamos nyalábú spektrálisan bontott interferometria lehetővé teszi a diszperzív minta térfüggő fázisfüggvényének a meghatározását is.

Keresztezett nyalábú spektrális interferometria

Az interferometrikus technikák e csoportjánál az interferométert elhagyó referencia- és tárgynyaláb rendszerint a függőleges síkban szöget zár be egymással. Így erre a síkra merőlegesen jelennek meg interferenciacsíkok az interferométer kimenetén, melyeket egy spektrográffal bontunk fel oly módon, hogy a spektrográf rése függőleges állású (10.13. ábra).

10.13. ábra. Keresztezett nyalábú spektrálisan bontott Michelson interferométer diszperzív lézertükrök spektrális fázisának mérésére

A két kar közötti fáziskülönbség a párhuzamos nyalábú spektrális interferometriánál szereplő tagokon kívül egy speciális térfüggő taggal egészül ki [10.9]:

(10.18)

ahol γ<<1 rad az interferométer referenciatükrének dőlési szöge a vízszintes tengely körül, melynek az értéke akkor pozitív, ha előre dől a referencia tükör. A függőleges tengely legyen az y-tengely, és ekkor y₀ jelöli azt a koordinátát, ahol a két kar között az időbeli késés τ (10.14. ábra).

10.14. ábra. A keresztezett nyalábú interferométer modellje τ=0 esetén. (a) Mindkét tükör diszperzió mentes. (b) A tárgykar tükre diszperzív

Ha a Michelson interferométer mindkét tükre diszperzió mentes, például arany tükör, akkor ahol a két tükörnek a nyalábosztó által alkotott képei metszik egymást, maximális intenzitást kapunk. A (10.18) egyenletből adódik, hogy egy-egy monokromatikus komponens esetében a kialakuló vízszintes interferencia-csíkrendszer intenzitáseloszlását egy koszinusz-függvény írja le, melynek a periódusa Λ=λ/2γ, azaz a hullámhosszal arányos (10.14.a ábra). Abban az esetben. ha a tárgykar tükrét kicseréljük egy diszperzív tükörre (pl. csörpölt tükörre), akkor a diszperzió mentes esethez képest az interferenciacsíkok eltolódnak a tükör spektrális fázisfüggvényével arányos módon. A (10.18) egyenletből adódik is egy kiértékelési módszer, koszinusz-függvényeket illesztünk a detektor pixel oszlopain detektált intenzitásértékekre, és a kezdőfázisokból megkapjuk a minta spektrális fázisfüggvényét. Vegyük észre, hogy ennél a módszernél is csak a GDD és annál magasabb rendű együtthatók határozhatók csak meg.

A 10.13 ábrán a fehér lámpa előtt egy vízszintes rést láthatunk. Erre azért van szükség, mert a fehér lámpa bár olcsó fényforrás, de a térbeli koherenciája nem túl jó. A rés szűkítésével ezen a helyzeten javíthatunk, mivel így csak az izzószál egy kicsiny részéből jutnak el fénysugarak az interferométerbe. A rés előtt lévő lencse párhuzamosítja a fénysugarakat, míg a polarizátor lineárisan poláros fényt állít elő. csörpölt tükrök esetében ügyelnünk kell arra, hogy a két polarizációs irányra eltérő a diszperzió értéke. Mivel sok esetben nem túl nagy a mérendő diszperzió, ezért több tükröt helyezünk el a tárgykarban oly módon, hogy kis szögben essen a tükrökre a fény. Ekkor polarizálatlan fénynél már a kapott interferenciamintázat olyan mértékben válik zajossá, hogy nem értékelhető ki.

Ezután vizsgáljuk meg, hogy mit láthatunk a spektrográf kimenetén, ha a Michelson interferométer mindkét tükre diszperziómentes, és a referenciakar tükrét előre-hátra tologatjuk (10.15 ábra).

10.15. ábra. Üres interferométer esetén a spektrálisan és térben bontott interferenciacsíkok alakja különböző τ késleltetéseknél [10.10]

Amikor τ=0 fs, akkor y₀'-nél egy vízszintes csíkot látunk. Meglepő módon a csík nem világos, hanem sötét. Ennek oka az, hogy bár ennél a koordinátánál a két karnak a hossza egyenlő, azonban a nyalábosztó kockában lévő réteg egy π fázistolást okoz. Azt is láthatjuk, hogy a spektrálisan és térben bontott interferenciacsíkok széttartó egyenesek. Korábban már megállapítottuk, hogy a csíkok periódusa arányos a hullámhosszal, ezért nyilvánvaló, hogy így kell kinézni az interferenciaképnek. Vegyük észre, hogy ahogy növeljük a két kar közötti késleltetést, úgy válnak egyre meredekebbé az interferenciacsíkok, és a meredekségük előjele a késleltetés előjelétől függ. Így a csíkrendszer meredekségének méréséből meghatározható a két kar közötti késleltetés. Összefoglalva azt láthatjuk, hogy diszperzió mentes esetben az intereferenciacsíkok egyenesek.

Amint az kimutatható, az interferenciacsíkok alakja jól közelíti a diszperzív minta spektrális fázisfüggvényének alakját (10.16. ábra). Ez ennek a módszernek egyik nagy előnye, mivel a vizsgált minta diszperziójának gyorsan elvégezhető, kvalitatív ellenőrzését lehetővé teszi.

10.16. ábra. Spektrálisan és térben bontott interferenciacsíkok, amikor a tárgykar tükre (a) diszperzió mentes, (b) másodrendű, (c) harmadrendű, és (d) másod- és harmadrendű diszperzióval rendelkezik [10.9]. (lásd animáció, az animáció futtatásához az alábbi program telepítésére van szükség.)

Abban az esetben, ha a diszperzió térfüggését is meg akarjuk határozni, akkor csak néhány periódusra illesztünk egy koszinusz-függvényt, és ezzel végig szkenneljük az interferenciaképet oszloponként [10.11].

Összefoglalva, ebben a fejezetben áttekintettük a fontosabb interferometrikus mérési módszereket, melyek alkalmasak az optikai elemek spektrális fázisfüggvényének mérésére. Az, hogy melyik módszert választjuk, részben függ az optikai elem spektrális fázisfüggvényének főbb jellemzőitől, a laborban rendelkezésre álló kísérleti eszközöktől, valamint az elvárt mérési pontosságtól.

[10.1] A. Gosteva, M. Haiml, R. Paschotta, U. Keller: Noise-related resolution limit of dispersion measurement with white-light interferometers, J. Opt. Soc. Am. B22 (2005) 1868-1874..

[10.2] W. H. Knox, N. M. Pearson, K. D. Li, C. A. Hirlimann: Interferometric measurements of femtosecond group delay in optical components, Opt. Lett.13 (1988) 574

[10.3] Z. Bor, K. Osvay, B. Rácz, G. Szabó: Group refractive index measurement by Michelson interferometer, Opt. Commun. 78 (1990) 109.

[10.4] K. Naganuma, K. Mogi, H. Yamada: Group-delay measurement using the Fourier transform of an interferometric cross correlation generated by white light, Opt. Lett.15 (1990) 393.

[10.5] S. Diddams, J. C. Diels: Dispersion measurements with white-light interferometry, J. Opt. Soc. Am. B13 (1996) 1120..

[10.6] C. Sáinz, P. Jourdain, R. Escalona, J. Calatroni:Real time interferometric measurements of dispersion curves, Opt. Commun. 111 (1994) 632.

[10.7] J. Y. Lee and D. Y. Kim: Versatile chromatic dispersion measurement of a single mode fiber using spectral white light interferometry, Opt. Express14 (2006) 11608.

[10.8] L. Lepetit, G. Ch´eriaux, and M. Joffre: Linear techniques of phase measurement by femtosecond spectral interferometry for applications in spectroscopy, J. Opt. Soc. Am. B12 (1995) 2467.

[10.9] A.P. Kovács, R. Szipőcs, K. Osvay, Zs. Bor: Group delay measurement on laser mirrors by spectrally resolved white light interferometry, Opt. Lett.20 (1995) 788.

[10.10] A.P. Kovács, K. Varjú, K. Osvay, Zs. Bor: On the formation of white-light interference fringes, Am. J. Phys. 66 (1998) 985.

[10.11] A. Börzsönyi, A. P. Kovács, M. Görbe, K. Osvay: Advances and limitations of phase dispersion measurement by spectrally and spatially resolved interferometry, Opt. Commun. 281 (2008) 3051.

A γ _TI terjedésiirány-szögdiszperzió mérésénél azt vizsgáljuk, hogy az impulzust alkotó különböző hullámhosszú spektrális komponensek terjedési irányának szöge hogyan függ a hullámhossztól. E célra a legáltalánosabban használt módszer elvét a 11.1. ábra szemlélteti.

11.1. ábra. A terjedésiirány-szögdiszperzió mérésének elve.

Ha egy párhuzamosított fénynyalábot ejtünk egy f fókusztávolságú gyűjtőlencsére oly módon, hogy a nyaláb terjedési iránya a lencse optikai tengelyével θ szöget zár be, akkor a nyaláb a lencse fókuszsíkjában, de az optikai tengelytől Δ=fθ távolságban fókuszálódik le egy pontra. Itt feltételeztük, hogy θ kisebb 5 foknál, mely feltétel rendszerint teljesül a kísérleteknél. Az előbbiekből következik, hogyha egy rövid lézerimpulzust fókuszálunk le a lencsével, és az impulzus spektrális komponensei kissé eltérő irányban haladnak, akkor a lencse fókuszsíkját a spektrális komponensek különböző pontokban érik el. Ennek eredményeképpen egy kör alakú fényfolt helyett egy elnyúlt, elliptikus alakú foltot kapunk. Kvalitatív vizsgálatra már ez is alkalmas, hiszen a folt alakja alapján el tudjuk dönteni, hogy jelentősebb szögdiszerzió fellépett-e. Azonban előfordulhat, hogy olyan kicsi a szögdiszperzió értéke, hogy már nehezen ismerhető fel a fókuszfolt alakjából a szögdiszperzió jelenléte.

Sok esetben nem elég a kvalitatív vizsgálat, a szögdiszperzió pontos értékére is szükségünk van. Tekintettel arra, hogy a spektrális komponensek fókuszfoltjai átfednek, így ahhoz, hogy a terjedésiirány-szögdiszperziót meg tudjuk mérni, a különböző hullámhosszakhoz tartozó fókuszfoltokat egymástól valamilyen módon el kell különítenünk. E feladat egyik megoldása, hogy a lencse után elhelyezünk egy leképező spektrográfot oly módon, hogy a spektrográf optikai rése éppen a lencse fókuszsíkjában van, és a rés nyílása párhuzamos a szögdiszperzió síkjával. A 11.2. ábrán látható a kísérleti elrendezés, amikor az impulzusnak a vízszintes síkbeli terjedésiirány-szögdiszperzióját mérjük. A spektrográf kissé szokatlan helyzetben látható, mert a rése vízszintes, de a fentiekből következik, hogy ez kell ahhoz, hogy a vízszintes síkban fellépő szögdiszperziót mérni tudjuk. Bár a spektrográfok működését általában nem befolyásolja ha ilyen pozícióban használjuk, de sok esetben kényelmesebb lenne, ha nem kellene ilyen helyzetbe állítani. Ezen igény kielégítéséhez egy olyan nyalábforgató eszközt használhatunk, melyet a spektrográf előtt elhelyezve, a spektrográf billentése nélkül lehetővé teszi a vízszintes és a függőleges síkban is az impulzus szögdiszperziójának mérését.

11.2. ábra. Kísérleti elrendezés a vízszintes síkbeli terjedésiirány-szögdiszperzió mérésére.

A következőkben megvizsgáljuk, hogy hogyan lehet meghatározni a mért spektrum alakjából a spektrográf résének síkjában fellépő terjedésiirány-szögdiszperzió értékét. A spektrográf a rés képét állítja elő a kimenetén elhelyezett detektoron, jelen esetben egy CCD chipen. Ha nincs az impulzusban terjedésiirány-szögdiszperzió, azaz mindegyik spektrális komponens ugyanabba az irányba és egymáson haladva terjed, akkor a lencse fókuszsíkjában lévő résen ugyanabba a pontba fókuszálódnak (11.3.a ábra). A spektrográf spektrálisan felbontja a résen még egymáson lévő különböző hullámhosszakhoz tartozó fényfoltokat, így a spektrum a CCD chipen egy vízszintes sáv formájában jelenik meg ( 11.3.b ábra).

11.3. ábra. Ha a terjedésiirány-szögdiszperzió értéke zérus, akkor az impulzus spektruma vízszintes.

Abban az esetben, ha a terjedésiirány-szögdiszperzió értéke nem zérus, azaz az impulzus spektrális komponensei nem azonos irányba haladnak, akkor a különböző hullámhosszú komponensek a rés különböző részeire fókuszálódnak. Például a 11.4.a ábrán a hosszabb hullámhosszú, vörös színű komponens a rés felső, a kisebb hullámhosszú, sárga komponens a rés középső, míg a legkisebb hullámhosszú, kék komponens a rés alsó részére fókuszálódik. Spektrális bontás után ezért dőlt spektrumot kapunk ( 11.4.b ábra).

11.4. ábra. Ha a terjedésiirány-szögdiszperzió értéke nem zérus, akkor a spektrográf kimenetén dőlt spektrum látható.

Ha csak közelítőleg akarjuk a terjedésiirány-szögdiszperzió értékét tudni, akkor nagyon egyszerűen meg tudjuk határozni a spektrum meredekségéből. A spektrum meredeksége és az impulzus szögdiszperziója közötti kapcsolat egyszerű számolás után:

(11.1)

ahol N a leképező spektrográf nagyítása. A (11.1) egyenletből egyszerű átrendezéssel a szögdiszperzió kifejezhető. Vegyük észre, hogy a spektrum meredeksége nemcsak a szögdiszperzióval arányos, hanem a spektrográf nagyításával és a lencse fókusztávolságával is. Ennek alapján azt gondolhatnánk, hogy célszerű minél nagyobb nagyítású spektrográfot és minél nagyobb fókusztávolságú lencsét használnunk. Ami a nagyítást illeti, mivel ebben az esetben leképező spektrográfot használunk, ahol a spektrográf tervezésénél törekedni kell arra, hogy a leképezési hibák minél kisebbek legyenek, ezért a nagyítás rendszerint N=1 körüli érték, néha esetleg az N=2 eset is előfordul. Azaz a nagyítással nem tudjuk a mérőberendezésünk érzékenységét jelentős mértékben megnövelni. A lencse fókusztávolságát sem növelhetjük korlátlanul, ugyanis az f növelésével nő a fókuszfolt mérete is, így egyrészt fényt vesztünk, másrészt a spektrum y' tengely menti szélessége is elkezd nőni, ami a mérési pontosságot egy idő után már nem javítja. Az eddig alkalmazott eszközökben az f = 300-500 mm-es fókusztávolságú akromátlencse alkalmazása tűnt optimális megoldásnak.

Ha a terjedésiirány-szögdiszperzió pontos értékére van szükségünk, akkor a fent említett módszernél összetettebb adatfeldolgozást kell elvégeznünk. Ennek első lépése, hogy oszloponként (hullámhosszanként) veszünk egy-egy metszetet a mért spektrumból, és meghatározzuk a metszeteken a maximális intenzitáshoz tartozó y' értékeket pl. egy Gauss-függvény illesztésével. A spektrális komponensek terjedési irányának az optikai tengellyel bezárt szögét fejtsük Taylor-sorba másodrendig egy önkényesen választott λ₀ referencia hullámhossz körül:

(11.2)

A másodrendig történő sorfejtés a gyakorlatban előforduló esetekben egy megfelelő közelítés. Ekkor a spektrográf kilépési síkjában elhelyezett detektoron a λ hullámhosszú komponens y' koordinátája:

(11.3)

A (11.3) egyenletbe helyettesítve a (11.2) egyenletet, láthatjuk, hogy ha a hullámhosszkülönbség egy másodrendű polinomját illesztjük a függvényre, akkor a polinom együtthatóiból megkapjuk a lineáris és a másodrendű szögdiszperzió értékét is. Ezzel a módszerrel az eddig elért legnagyobb pontosság 0,2 μrad/nm volt, amikor is a vizsgált hullámhossztartomány a 100 nm-t meghaladta [11.1].

A módszernek egy komoly hátránya, hogy egyszerre csak egy síkban tudja a szögdiszperzió értékét mérni. Egy prizmás vagy egy rácsos impulzuskompresszor beállításánál előfordulhat, hogy a kompresszort elhagyó impulzus szögdiszperziójának síkja ferde. Ezt a problémát a fenti módszerrel eddigiekben úgy oldották meg, hogy egy vízszintes (11.5.a,b ábra) és egy függőleges (11.5.c,d ábra) síkbeli mérést végeztek oly módon, hogy vagy a spektrográfot, vagy a nyalábot forgatták el 90 fokkal. Azonban a mérés pontossága erősen függ a detektált spektrum szélességétől. Sajnos, amelyik irányra vonatkozóan a fókuszsíkban kialakuló spektrum vetülete kicsi (11.5.c ábra), a spektrográf kimentén detektált spektrum szélessége is nagyon kicsi lesz (11.5.d ábra), és így a mérési pontosság ebben az irányban eléggé leromlik. Ezt úgy lehetne elkerülni, ha folyamatosan forgatnánk körbe a nyalábot, és amikor legszélesebb a spektrum, akkor abban a síkban végezzük el a mérést. A felmerülő technikai problémák miatt ezzel a megoldással még nem találkozhatunk az irodalomban.

11.5. ábra. A ferde síkú szögdiszperzió mérésének problémája.

Az impulzuskompresszorok beállításánál általában nem annyira a nagy mérési pontosság a fontos, hanem inkább az, hogy lássuk, milyen síkban van még szögdiszperzió. E feladat megoldására egy olyan kísérleti elrendezést alkalmaztak, melynél a lézernyalábot ráfókuszálták egy kétdimenziós detektorra, egy CCD chipre úgy, hogy a nyaláb útjába helyeztek egymás után 4-5 kis sávszélességet átengedő színszűrőt [11.2]. Így a kamerán a 11.6. ábrának megfelelően jól láthatóvá vált a ferde síkú szögdiszperzió.

11.6. ábra. Tetszőleges síkban kialakuló szögdiszperzió mérése.

Nemrég kifejlesztésre került egy olyan eszköz, melynél nem kell cserélni a színszűrőket, hanem helyette egy Fabry-Perot interferométeren küldik keresztül a vizsgálandó lézerimpulzust [11.3]. Ebben az esetben a Fabry-Perot interferométer hullámhossz-szelektív transzmissziója biztosítja, hogy az impulzusnak csak bizonyos spektrális komponensei jutnak át rajta. Így sokkal egyszerűbben, és adott esetben sokkal jobb spektrális felbontásban megkapható a 11.6. ábrán látható, diszkrét pontokból álló spektrum, melyből a terjedésiirány-szögdiszperzió számolható.

Az előbbiekben láttuk, hogy a terjedésiirány-szögdiszperzió méréséhez relatíve egyszerű eszközök használata is elegendő volt, bár a legutóbbi, Fabry-Perot interferométeren alapuló elrendezésre már kevésbé mondható el. A γ _FF fázisfront-szögdiszperzió mérésénél már nem tudjuk elkerülni az összetettebb, a környezeti hatásokra érzékenyebb interferometrikus elrendezések alkalmazását, mivel az impulzust alkotó spektrális komponensek fázisfrontjainak helyzetét csak ilyen típusú eszközökkel tudjuk meghatározni.

Korábban már volt arról szó, hogy ha az impulzus spektrális komponenseinek fázisfrontjai szöget zárnak be egymással, akkor ez az impulzusfront megdőléséhez vezet. Az impulzusfront dőlési szögének tangense a (6.7) egyenlet szerint arányos a γ _FF fázisfront-szögdiszperzió értékével, azaz ha meg tudjuk mérni a front dőlési szögét, akkor abból már a (6.7) egyenlet alapján könnyedén meg tudjuk határozni a fázisfront-szögdiszperzió értékét is.

Az első mérési módszer, amit a fázisfront-szögdiszperzió mérésére kifejlesztettek, éppen az impulzusfront dőlési szögének meghatározásán alapul [11.4]. A méréshez szükséges kísérleti elrendezés sematikus ábrája a 11.7. ábrán látható.

11.7. ábra. A fázisfront-szögdiszperzió mérése az interferenciacsíkok láthatósági maximumának helye alapján.

A dőlt fronttal rendelkező ultrarövid lézerimpulzust egy tükrözött nyalábú Mach-Zehnder interferométerbe vezetjük be. Kihasználjuk azt, hogy ha az impulzus egy síktükörről verődik vissza, akkor a visszaverődés után a jobb és bal oldala felcserélődik. Ezért az interferométert úgy építjük meg, hogy az egyik karjában eggyel több síktükröt helyezünk el, és így az interferométer kimenetén az egyik karból érkező impulzus dőlési szöge éppen ellentétes a másik karból érkező impulzuséval. Az interferométernek szintén fontos eleme még az egyik karjában elhelyezett, állítható időbeli késleltetést okozó lineáris eltoló. Ily módon tudjuk változtatni a két karból érkező impulzusok közötti időkésést, ami azt eredményezi, hogy egyszer az impulzusok terjedési irány szerinti jobb oldalai fednek át időben (a. eset), majd a középső részük (b. eset), végül a bal oldaluk (c. eset). Ha úgy állítjuk be az interferométert, hogy az őt elhagyó két impulzus terjedési iránya kis szöget zárjon be egymással a függőleges síkban, akkor az interferométer után elhelyezett ernyőn vagy egy CCD chipen a nyaláb bizonyos részén vízszintes interferencia csíkokat láthatunk adott késleltetésnél. Változtatva a késleltetést, a csíkrendszer a nyaláb más-más részein lesz látható. Meghatározva az adott késleltetéseknél az interferenciacsíkok láthatósági maximumának helyét, meg tudjuk mérni az impulzusfront dőlési szögét, melyből a fázisfront-szögdiszperzió értékét már ki tudjuk számolni. Mivel a csíkok láthatósági maximumainak helyét nem lehet igazán nagy pontossággal megmérni, így ez a módszer nem alkalmas a fázisfront-szögdiszperzió értékének nagy pontosságú mérésére.

E probléma kiküszöbölésére a 11.7. ábrán látható elrendezést egy spektrográffal egészítették ki (11.8. ábra), ami abban különbözik az előbbi módszertől, hogy nem

11.8. ábra. A fázisfront-szögdiszperzió mérése tükrözött nyalábú, spektrálisan bontott Mach-Zehnder interferométerrel.

közvetlenül az interferométer kimenetét detektálják, hanem egy spektrográffal spektrálisan bontják [11.5]. A mérés elvének magyarázatához az egyszerűbb esetet vesszük, azaz amikor az impulzus spektrális komponensei síkhullámok. Először tételezzük fel, hogy nincs szögdiszperzió a nyalábban, azaz az impulzus spektrális komponenseinek fázisfrontjai egymással párhuzamosak. Mivel az interferométert úgy

11.9. ábra. a) A fázisfrontok helyzete, ha nincs fázisfront-szögdiszperzió. b) Az ennek megfelelő intenzitás az y-tengely mentén. c) A spektrálisan bontott interferenciacsíkok széttartó egyenesek.

állítottuk be, hogy a két karból érkező impulzus terjedési iránya között legyen egy θ₀ szög, így az interferométer kimenetén az interferenciacsíkok periódusa λ/(2θ₀). Mivel a csíkok periódusa arányos a hullámhosszal, így ha összeadjuk a különböző hullámhosszhoz tartozó koszinuszos intenzitáseloszlást, akkor valóban azt kapjuk, hogy a nyalábnak csak egy bizonyos részén láthatók a csíkok, a másik részén egymás hatását kompenzálva elmosódnak. Azonban ha spektrálisan felbontjuk a csíkrendszert, akkor megszüntetjük az átfedést, és a spektrálisan bontott csíkrendszer a teljes tartományon jó láthatóságú. Ebben az esetben a csíkok széttartó egyenesek.

Ha viszont fázisfront-szögdiszperzió van jelen a nyalábban, akkor a csíkok periodicitása nem arányos a hullámhosszal. A spektrálisan bontott

11.10. ábra. a) A fázisfrontok helyzete, ha van fázisfront-szögdiszperzió. b) Az ennek megfelelő intenzitás az y-tengely mentén. c) A spektrálisan bontott interferenciacsíkok görbültté válnak.

csíkrendszer csíkjai ekkor már nem egyenesek. A szögdiszperzió értékének pontos meghatározásához először a spektrálisan bontott csíkrendszerből meghatározzuk a csíkok periódusának hullámhosszfüggését, majd az így kapott θ*(λ) függvényre egy másodfokú polinomot illesztünk. Ezzel a módszerrel 0,2 μrad/nm pontosság érhető el.

Ebben a fejezetben láttuk, hogy a szögdiszperzió mérésére nem áll rendelkezésre olyan sok fajta mérési módszer, mint az optikai elemek spektrális fázisának mérésére. Azonban a kifejlesztett módszerekkel mind a terjedésiirány-, mind a fázisfront-szögdiszperzió a jelenlegi lézeres technológia által igényelt pontossággal mérhető.

[11.1] K. Osvay, A. P. Kovács, Zs. Heiner, G. Kurdi, J. Klebniczki, M. Csatári: Angular dispersion and temporal change of femtosecond pulses from misaligned pulse compressors, Sel. Top. IEEE Quantum.Electron. 10 (2004) 213.

[11.2] M Divoky, P Straka: Simple two-dimensional-imaging spectrograph with wedged narrow band filters, Rev. Sci. Instrum. 79 (2008) 123114

[11.3] A. Borzsonyi, Lucile Mangin-Thro, Gilles Cheriaux, K. Osvay: Real-time Two-dimensional Detection of Angular Dispersion of CPA Laser Beams,CLEO 2012 San Jose, USA 6-8 May 2012 CM1D.6

[11.4] G. Pretzler, A. Kasper, K.J. Witte: Angular chirp and tilted light pulses in CPA lasers, Appl. Phys. B70 (2000) 1

[11.5]K. Varjú, A. P. Kovács, G. Kurdi, K. Osvay: High-precision measurement of angular dispersion in a CPA laser, App Phys. B74 (2002) S259.

Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor megelégszünk azzal, ha csak a vizsgált lézerimpulzus intenzitásának I(t) időbeli függését határozzuk meg, azaz az impulzus fázisszerkezetéről nem lesz információnk [12.1]. E célra a 12.1. ábrán látható kísérleti elrendezést használhatjuk. A mérendő impulzust kettéosztjuk, és a két impulzus között τ időbeli késleltetést hozunk létre. A két impulzust (E(t) és E(t-τ)) ráfókuszáljuk egy nemlineáris kristályra (pl. BBO, KDP), melyből nemcsak az eredeti vivőfrekvenciájú impulzusok lépnek ki a kristály túloldalán, hanem nemlineáris optikai folyamat eredményeképpen keltődik egy kétszeres vivőfrekvenciájú E _sig (t,τ) impulzus is, ha időben átfed a két impulzus. A keltett impulzus intenzitásának nagysága arányos a két keltő impulzus időbeli átfedésével. A keltett impulzust ráfókuszáljuk egy lineáris detektorra.

12.1. ábra. Intenzitás-autokorrelátor sematikus rajza.

Megmutatható, hogy ekkor a detektor I_D jele:

(12.1)

melyet intenzitás-autokorrelációs tagnak hívunk.

12.2. ábra. Egy 10 fs időbeli félértékszélességű, transzformlimitált lézerimpulzus intenzitás-autokorrelációs jele, amikor a két impulzus közötti időbeli késés a) -20 fs, c) 0 fs és e) 20 fs. A b), d), és f) ábrák az a), c) és e) esethez tartozóan a két karból érkező impulzus intenzitásának időbeli lefutását mutatják. A b), d) és f) ábrán a zöld szín a (12.1) integrálban szereplő szorzatfüggvény alakját szemlélteti.

Amikor a két impulzus időbeli átfedési kicsiny (12.2.b,f ábra) (lásd animáció), akkor a nemlináris optikai folyamat hatásfoka nagyon gyenge, így szinte nem keltődik összegfrekvenciájú jel, azaz a késleltetéstől függetlenül zérus vagy ahhoz közeli értékű az intenzitás-autokorrelációs jel (12.2.a,e ábra). Amikor pedig teljesen átfed a két impulzus (12.2.d ábra), akkor maximális nagyságú az összegfrekvenciájú jel, így a detektor jele is ekkor maximális (12.2.c ábra). Látható, hogy ez a módszer háttérmentes mérési módszer.