1) Optikai alapfogalmak, Gauss (vagy paraxiális) közelítés

A távcsövek alapvető funkciói:

• jó minőségű leképezés

• pozícionálás

• követés

Az elkövetkezendő két előadás az optikai leképezéssel foglalkozik, bár az utóbbi két funkció is fontos a jó képalkotásban.

Refrakció, reflexió, diszperzió, jelölési konvenciók

Ha egy fénysugár áthalad két különböző közeg határfelületén, megváltozik az iránya, ezt írja le a Snellius-Descartes törvény:

(1)

A levegőre n=1,00029, gyakorlatilag 1. Mivel sin(ß') nem lehet nagyobb 1-nél, létezik egy kritikus szög, melynek értéke arcsin n'/n,  ennél meredekebben belépő nyaláb teljes reflexiót szenved (l. száloptika, fiber).

A reflexiót (1)-hez nagyon hasonló egyenlet írja le, n'=-n módosítással.

A törésmutató értéke függ a hullámhossztól, ez a diszperzió. A diszperzió (V, Abbe-szám) mértékét különböző speciális hullámhosszakon mért törésmutató értékei határozzák meg. V_d a He ún. d vonalára megadott diszperzió:

(2)

Minél nagyobb az Abbe-szám, annál kisebb a törésmutató különbség a vörös és kék tartományban. Az Abbe-szám 20-90 között, a törésmutató 1,44-1,96 között változik. Ezek alapján katalogizálhatóak az üvegek, és oszthatóak fel két alapvető típusra: korona- és flint üvegekre.

A távolságok és szögek előjeleit jobbsodrású Cartesius-i koordináta rendszer szerint adjuk meg:

• a z tengely egybeesik az optikai tengellyel

• a balról jobbra és alulról felfelé mért távolságok pozitívak

• az objektumból beérkező sugarak haladási iránya balról jobbra tart

• egy felület bal oldalán vessző nélkül, jobb oldalán vesszővel jelöljük a mennyiségeket, az egyes felületeket balról jobbra haladva sorszámozzuk

• a beesés és refrakció szöge az óramutató járásával azonos irányban pozitív

• a tengelyt metsző sugarak meredeksége az óramutató járásával fordított irányban pozitív
  
  
  

Ezek alapján az alábbi ábrán - mely egy szferikus felületen történő fénytörést mutatja - minden jelölt szög és távolság pozitív:

E jelölésrendszer előnye, hogy az n'=-n helyettesítéssel minden későbbiekben levezetett egyenlet átírható refrakcióról reflexióra és viszont.

Paraxiális vagy Gauss közelítés

A paraxiális közelítés lényege, hogy az adott optikai felületet a tengelyhez képest kis szögben és kis magasságban metsző sugarak esetében sin ß = tan ß = ß közelítés alkalmazható a számításokban. Másként a refrakció törvényét sorfejtéssel kiírva (i a beesési szög) az alábi alakból

csak az elsőrendű, lineáris tagokat tartjuk meg. Ezáltal e tárgyalásmód csak a kép méretének és helyzetének leírásához elegendő, a kép minőségéről semmit sem tud mondani. A később tárgyalandó aberrációk a magasabb rendű tagokból erednek, és ez alapján megkülönböztetünk harmad, ötöd, heted, stb. rendű aberrációkat.

Ideális optikai rendszer, fősík, fókusztávolság, lencseegyenlet, nagyítás, szögnagyítás, Lagrange-invariáns

Az ideális optikai rendszer rendelkezik szimmetriatengellyel, mely az optikai elemek középpontján halad át, egy ilyen centrált rendszer sematikus vázlatát mutatja az alábbi ábra:

Elsőként Gauss írta le egy ilyen rendszer képalkotását és vezette be az alapvető fogalmakat, mint a fősíkok és fókusztávolság.
r1 és r2 az opt. tengellyel párhuzamosan, azonos y magasságban, de ellenkező irányból érkező sugarak. F és F' az opt. tengely és r1, r2 metszéspontjai, ezek a fókuszpontok. r1 és r2 metszéspontjai adják a főpontokat és ezek tengelyre vetítése adja a fősíkokat, vagy konjugált síkokat. S rendszer a fősíkokat 1:1 arányban képezi le egymásra.

A P'F'=f' távolság a képoldali fókusztávolság, PF=f az objektum oldali fókusztávolság. Amennyiben n=n' úgy f=f' (ez a távcsövek esetében általában teljesül). F,F',P,P' teljesen leír egy ideális optikai rendszert. A nagyítást a következő formulák adják:

(3)
(4)

F és F' helyett inkább P és P' a kiindulási pont a távolságok mérésénél, bevezetve így s és s'-t

(5)

(3)-ból és (4)-ből kapjuk

(6)

Eliminálva m-et

(7)

amit átírhatunk

(8)

alakba, ami n'=n esetén f=-f' helyettesítéssel a jól ismert lencseegyenlethez vezet:

(9)

A nagyítás

(10)

- vagy azonos törésmutatójú közegek esetén m=s'/s - csillagászati objektumok esetén értelmét veszti, hisz s tart végtelen esetén m tart 0-hoz. Ilyenkor inkább szögnagyításról beszélünk:

(11)

(11)-ben m és M közötti kapcsolat is kifejezésre került, amit a következő formába írva

(12)

látható, hogy a H=(n*eta*tan u) Lagrange-invariánsnak nevezett mennyiség állandó marad a leképezés során, tetszőleges számú optikai elem esetén is. Egy egyenletesen sugárzó fényforrásból egy optikai rendszer által összegyűjtött teljes fluxus arányos H négyzetével, és ez a fentiek szerint a leképezés során állandó marad - ez tulajdonképp az energiamegmaradás következménye.

Vékony- és vastag lencsék, plánparallel lemez, lencsetípusok, tükrök, kúpmetszetek

A paraxiális közelítéssel élve ni=n'i', így a fenti ábrán

(13)

Ezekből i-t kifejezve és beírva a paraxiális közelítéssel egyszerűsített törési törvénybe kapjuk:

(14)

Felhasználva ismét a paraxiális közelítést az ábra alapján a következő kifejezéseket kaphatjuk: FI=y/R, u=y/s, u'=y/s'; beírva ezeket (14)-be és eliminálva y-t kapjuk:

(15)

s' tart végtelen esetén s=f; s tart végtelen esetén s'=f' már ismert kifejezéseket kapjuk. Ezeket felhasználva (15)-öt tovább írhatjuk:

(16)

ahol P a felület ún. erőssége (f-et méterben mérve P a dioptria). Tekintsük most az alábbi ábrát, ahol két, egymástól d távolságra lévő fősík reprezentál egy vastag lencsét.

Legyen n1=n2'=1 és n1'=n2=n. Ezeket (16)-ba írva kapjuk:

(17)

ahol s₂=s₁-d. Amit ki akarunk számítani, az P=1/f', vagyis a két felület együttes, eredő erőssége (vagy másképp az eredő fókusztávolság). Az objektum a végtelenben van, így s1 végtelen, az ábrán látható hasonló háromszögek alapján pedig:

(18)

(17)-ben s₁-et végtelenné téve és s₂=s₁'-d helyettesítéssel, valamint (18)-at felhasználva kapjuk a következőket:

(19)

(19)-ből pedig némi számolás után megkaphatjuk az alábbi eredményt:

(20)

(20)-ból d=0 esetén s2=s1', ekkor kapjuk a vékony lencsékre érvényes képletet, amit tovább is írhatunk (17) felhasználásával, figyelembe véve, hogy s1=s, s2=s'

(21)

Plánparallel üveglemez optikai erőssége nulla ugyan, de összetartó sugarak esetén (pl. szűrő a fókuszsíkba helyezett detektor előtt) hatása van a képalkotásra, az alábbi ábrán látható módon eltolja a képet:

Egyszerűen a refrakció törvényét alkalmazva n1'/s1' = n1/s1, valamint n2'/s2' = n2/s2. A vastag lencséhez hasonlóan levegőbe helyezve a lemezt további egyszerűsítések adódnak: n1=n2'=1 és n1'=n2=n. Az ábráról látható, hogy s2=s1'-d, így:

(22)

A kép eltolásának mértéke s2'-s1+d, vagyis

(23)

(Az eltolás mértéke nem függ az objektum távolságától, csak a lemez vastagságától és törésmutatójától. Paraxiális közelítésben a beérkező sugarak y magasságától sem függ, nagyobb szögek esetében azonban eltérés lehet.)

Az alábbi ábrák a lencsék és tükrök alaptípusait mutatják, illetve különféle lencsetípusokat és fősíkjaik elhelyezkedését szemléltetik.

A következő rajzok a képalkotást mutatják vékony és vastag lencsék esetén.

Egy egyszerű rajz segítségével beláthatjuk, hogy egy sík hullámfrontot (a végtelenből érkező gömb hullámfront, vagyis pl. egy csillagról érkező fény) egy forgási paraboloid segítségével tudunk egy pontba fókuszálni:

A csillagászatban sokszor előfordulnak nem gömbi felületek, amik többnyire kúpmetszetek forgatásával állíthatóak elő, de vannak magasabb rendű felületek is (pl. Schmidt-távcső korrekciós lemeze). A kúpmetszetek rendszerezését szemlélteti az alábbi ábra és táblázat:

Egy ilyen felület matematikai megadása pl. a következő kifejezéssel történhet:

Figyeljük meg a táblázat előtti ábrán, hogy egy f/4-es apertúra milyen kis részét fedi a felületeknek!
Kör és parabola esetén a saggita kifejezése az alábbi formulákra egyszerűsödik:

kör:
parabola:

Egy 200 mm-es, 800 mm fókuszú tükör peremén mérve egy gömb és egy parabola tükör között igen kis különbség van! (0,003 mm)
Magasabb rendű felületek esetén az alábbi kifejezés írja le a felület alakját: