1. Fraunhofer diffrakció, Airy-féle elhajlási kép

Egy hullám amplitúdójának meghatározásához használhatjuk a Huygens-elvet, ami azt mondja, hogy a terjedő hullámfelület előállítható elemi hullámok eredőjeként. Egy hullámfrontot megfigyelve két egymást követő időpillanatban, melyek az időben előbbi minden egyes pontját egy-egy elemi gömbhullám forrásának tekintve, azok együttes eredője (interferenciája) megadja az időben későbbi hullámfrontot.

Egy ernyő egy P pontjában akarjuk meghatározni az amplitúdót, ha ismerjük azt a bal oldali apertúra minden x,y koordinátákkal megadott Q pontjában (az ernyő az apertúrától távol helyezkedik el). A fázistolás P-ben Q-hoz viszonyítva:

(1)

Emlékeztetőül, egy hullámot a következő egyenlettel adhatunk meg:, ahol.
Amennyiben a hullám v sebességgel terjed: , ahol. Ez a kifejezés megoldása a jól ismert hullámegyenletnek, és az Euler-formulák segítségével ebben az alakban is felírható:

Mivel r nagy, feltehetjük, hogy az apertúra minden pontja közel ugyanakkora r távolságra van az ernyő P(x',y') pontjától. E pontban az amplitúdót tehát a hullám exponenciális kifejezésével, a nyílás dS=dxdy felületelemével, valamint az (1) fázisfaktorral a következőképp fejezhetjük ki:

(2)

ahol C tartalmazza a szükséges dimenziós és skálafaktorokat. A Huygens-elv értelmében a teljes amplitúdó az apertúra egyes felületelemeiből származó amplitúdók eredője:

(3)

Mivel r elegendően nagy, A(x,y)-t állandónak tekinthetjük minden (x,y)-ra, és így kiemelve az integrálból C-be olvaszthatjuk:

(4)

Ahol A az ernyőn felvett amplitúdó. (4) az ún. Fraunhofer-féle diffrakciós egyenlet, aminek tehát fontos tulajdonsága, hogy az apertúrától távoli ernyő esetén érvényes. (Fresnel-féle diffrakcióról beszélünk abban az esetben, ha az ernyő közel van a nyíláshoz.)

Tekintsük a fönti ábrán látható kör alakú apertúrát. Legyen a területelem az y tengellyel párhuzamos, dx szélességű és hosszúságú csík.Felhasználva kifejezést, a Fraunhofer-féle diffrakciós egyenlet így írható:

(5)

Ha bevezetjük új változókként-et, akkor (5) így írható:

(6)

Ebben a kifejezésben az integrál így írható:

(7)

A szinuszos tag eltűnik, mivel páratlan függvény a sin, a koszinuszos tagot pedig a szimmetria miatt pedig elegendő [0,1]-on integrálni és venni az eredmény kétszeresét. (7) végeredményeként kapott integrált vagy numerikusan számíthatjuk ki, vagy pedig kifejezhetjük a Bessel-függvények segítségével, melyek definíciója:

(8)

(6) tehát (7) és (8) felhasználásával a következőképp írható:

(9)

 Továbbá a z tengely mentén:

, és ez (8), illetve (7) alapján a következőre vezet:

(10)

aminek segítségével (9)-et egyszerűbb alakra lehet hozni. Az intenzitás ugyanis az amplitúdó négyzetével arányos, , és így az ernyő és a z tengely metszéspontjában mérhető I₀ intenzitás alakban írható, aminek segítségével (9) a következő alakot ölti:

(11)

Ezt a függvényt ábrázolva az alábbi grafikont kapjuk (balra). Ennek térbeli megforgatásával egy pontszerű forrás, vagyis egy csillag képének fókuszsíkban vett intenzitáseloszlását, mint ahogy azt a jobb oldali ábra mutatja. Ez az ún. Airy-féle elhajlási kép, amit távcsőbe nézve a harmadik ábrához hasonlóan láthatunk, ha nagy nagyítással nézünk egy csillagot.

Ideális esetben (kör alakú, teljes apertúra) az elhajlási kép geometriáját, intenzitásviszonyait a következő táblázat és grafikon mutatja (a grafikonon az adott sugáron belül foglalt energia látható a sugár függvényében):

Egy optikai rendszer feloldóképességét is a diffrakciós kép segítségével definiálhatjuk. Tegyük fel, hogy két, egymáshoz kis szögtávolságra lévő pontszerű forrást szeretnénk különválasztani a fókuszsíkban keletkezett képen. Amikor (5) egyenlet átírtuk (6) formájába, bevezettük -t, ezt felhasználva tekintsük az első sötét gyűrű sugarát. Kis szögről lévén szó (az a szög, ami alatt az első sötét gyűrű sugara látszik a fókusztávolságból nézve) , ahol f a fókusztávolság, az első sötét gyűrű sugara. Ha két csillag olyan közel látszik egymáshoz, mint az alábbi ábrán, vagyis az egyik csillag Airy-korongjának középpontja a másik diffrakciós képének első sötét gyűrűjébe esik, akkor a két Airy-korong még nem olvad teljesen egybe, vagyis megkülönböztethető a két csillag. Ekkor a két forrás szögtávolsága, ill. a fókuszsíkban mért lineáris távolsága:

, (12)

A (12) által megadott kifejezések nevezzük feloldóképességnek, mégpedig a Rayleigh-kritérium alapján meghatározott feloldóképességnek.