2. Fourier sorok, Fourier transzformáció és az Airy-kép

Egy tetszőleges egy dimenziós, periodikus f(x) függvény kifejezhető szinusz és koszinusz függvények lináris kombinációjaként, ezt mondja ki a Fourier-tétel:

(1)

ahol A(k) és B(k) amplitúdók kifejezése a következő:

(2)

(2)-t (1)-be történő helyettesítésével kapott kifejezésben felismerhető , vagyis (1) felírható csak koszinuszos tagokból (hiszen ezeket fázisban 90 fokkal eltolva szinuszt kapunk):

(3)

Mivel a koszinusz páros függvény, ezért (3) első integráljának határait átírhatjuk, illetve egyúttal az Euler-formulákat is felhasználva:

(4)

ami alapján a Fourier és inverz Fourier transzformáció képletei:

illetve (5)

A transzformációt kiterjeszthetjük két dimenzióra is:

illetve (6)

Vegyünk most egy kétdimenziós függvényt, pl. egy kör alakú apertúra intenzitáseloszlását:

(7)

A (7) által definiált eloszlást "top hat", vagy kalapfüggvényként is nevezik (l. a kissé lejjebb lévő ábra felső részét). Bevezetve a következő változókat:

, felírhatjuk a kalapfüggvény Fourier-transzformáltját:

(8)

valamint kihasználva a körszimmetriát, vagyis hogy -tól nem függ (8), a következő alakot kapjuk:

(9)

amiben a nulladrendű Bessel-függvény alakját fedezhetjük fel: . Ennek segítségével írva fel (9)-et:

(10)

új változókat bevezetve:

(11)

ami a különböző rendű Bessel-függvényekre vonatkozó sajátság alapján felírható elsőrendű Bessel-függvénnyel ilymódon:

(12)

Ezt a formulát pedig már ismerjük, hiszen a Fraunhofer-féle diffrakciós egyenlet kör alakú apertúrára megoldva ugyanezt a végeredményt, az Airy-féle diffrakciós képet adta. Vagyis ezek szerint egy az apertúrától távol lévő ernyőn egy kivilágított nyílás diffrakciós képe nem más, mint az apertúra síkjában mérhető intenzitáseloszlás Fourier-transzformáltja.