3. Felbontóképesség és átviteli függvény, kontraszt

Felbontóképesség

A Rayleigh-kritériumot már megismertük az Airy-kép levezetése során, itt most csak az eredményre hivatkozunk:

(1)
(2)

(2)-be helyettesítve az 550 nm-es hullámhosszat az amatőrcsillagász körökben közismert 138/D kifejezést kapjuk a feloldóképességre. Figyeljük meg, hogy az tulajdonképpen nem más, mint az Airy-korong sugara, és ez hullámhosszfüggő! Vagyis 656 nm-re már 165/D, 404 nm-re pedig 101/D értéket kapunk. A távcsőben megfigyelhető Airy-kép tehát nem egyetlen gyűrűrendszer, hanem különböző színű és paraméterű gyűrűrendszerek összessége. Az emberi szem azonban 550 nm-en a legérzékenyebb, így az ehhez tartozó kép a legerősebb, tulajdonképp ezt látjuk a relatíve halvány csillagok esetén.
A Rayleigh-kritériumon kívül más feloldási határokat is értelmeztek és használnak, bár nem egyenlő fényességű kettőscsillag-komponensek esetén inkább csak a Rayleigh-kritérium használatos. Az alábbi ábra szemlélteti a Dawes és Sparrow kritériumokat, valamint a teljesen feloldott esetet.

A felbontóképesség fenti értéke azonban csak ideális esetben érvényes. Amint a leképezés aberrációkkal terhelt, vagy központi kitakarása van a leképezőrendszernek, akkor az Airy-kép módosul, és ezzel együtt a feloldóképesség is. Ezt szemlélteti az alábbi ábra.

Amennyiben nem pontszerű forrásokra akarunk feloldóképességet értelmezni, sokkal nehezebb a helyzet. Egy vékony fekete vonal ugyanis világos háttér előtt beszürkül, egy fehér vonal sötét háttér előtt pedig kiszélesedik, legalábbis így látjuk. Egy szabályosan ismétlődő struktúra (vagy egy szabálytalan intenzitáseloszlású kép) esetén nagyon fontos, hogy a felbontani kívánt részletek között mekkora az intezitáskülönbség, ehhez pedig be kell vezessük a kontraszt fogalmát.

Kontraszt, kontrasztátviteli függvény (Modulation Transfer Function)

Nézzük az alábbi ábrát, ahol is a leképezendő objektum egy szinuszosan váltakozó intenzitást mutató vonalrendszer. A kép is hasonló lesz, csakhogy az intenzitásviszonyok megváltoznak.

Az objektum intenzitásértékeit I₀-al, a képét I-vel jelölve a következőképp definiáljuk a kontrasztot:

(3)

A kontrasztátviteli koefficiens azt mutatja meg, hogy az objektum két részlete közötti kontraszt a képen milyen kontraszttal jelenik meg, vagyis:

(4)

Az alábbi ábra 100%-os objektum-kontraszt és ideális optika esetén, aberrációk jelenlétében illetve a távcsövön belüli reflexiók (fényveszteség, szórt fény) esetén mutatja a kontrasztátviteli hányadost, illetve annak megváltozását.

Látható, hogy ahogy az objektum egyre finomabb részleteit akarjuk feloldani (a vízszintes tengelyen jobbra haladunk), úgy egyre inkább csökken a kép kontrasztja (y tengely). Ez azért van, mert az objektum egymáshoz igen közeli egyes képpontjai a képen egymáshoz igen közeli diffrakciós képként jelennek meg, nem pedig képpontokként. A közeli diffrakciós képek fényszegényebb részeire a szomszédos diffrakciós képek szórt fénye kerül, vagyis a diffrakciós képek intenzitáskülönbségei, azaz a kontraszt csökken.
A kontrasztátviteli függvény (Modulation Transfer Function, MTF) a kép felbontásának függvényében mutatja CT változását:

Látható az ábrán, illetve a következő táblázat mutatja, hogy a MTF-t nem csak az aberrációk, de a központi kitakarás is jelentősen módosítja, márpedig a legtöbb távcsőtípus rendelkezik központi kitakarással. Ezért a következőkben pár mondat erejéig visszatérünk a diffrakciós elmélethez.

Központi kitakarás

Tegyük fel, hogy az a sugarú apertúrának a közepén, az átmérő-od részéig terjedő szintén körszimmetrikus kitakarás található. A 2. fejezetben (10) ekkor úgy módosul, hogy nem 0-tól a-ig, hanem a-tól a-ig végezzük el az integrálást:

(5)

A megoldás teljesen hasonló módon történik, a végeredmény is hasonló, pusztán annyi a változás, hogy megjelenik egy negatív előjelű tag:

(6)

(6)-ot ábrázolva látható, hogy növelésével egyre több fény kerül a gyűrűkbe, vagyis a kontrasztátvitel hatékonysága csökken:

Átviteli függvény, konvolúció, PSF

Még egy értelemben beszélhetünk átviteli függvényről, mégpedig az optikai rendszer képátviteli függvényéről. A különféle aberrációk ugyanis módosítják az ideális képet, vagyis a fókuszsíkban nem egy tökéletes Airy-féle kép jelenik meg egy pontszerű forrásról. Jellemezzük az optikai karakterisztikáját S függvénnyel, legyen a képet, illetve az objektumot leíró függvény K, illetve O. Tekintsük mondjuk az Airy-féle képet leíró függvényt O-nak, s egy dimenzióra szorítkozva a konvolúciós integrál:

(7)

Ezt az S fv-t nevezzük pontforrás-eloszlásfüggvénynek (Point-Spread Function, PSF), vagy másképpen fogalmazva, a PSF az optikai rendszer válasza egy impulzusfüggvényre. Amennyiben nem pontszerű a forrás, akkor is a PSF határozza meg a képet:

(8)

A PSF-re, konvolúcióra később még többször visszatérünk, amikor a második félévben a digitális képfeldolgozásról, fotometriáról esik szó.

Hullámfronthiba

Lásd Meteor Csillagászati Évkönyv 2004, Babcsán Gábor cikkét az Amatőr távcsövek teljesítőképességéről.

Innen letölthetõ...