Állapotsűrűség

Egy félvezető anyagban egy elektron kvantumállapotát az elektron $E$ energiájával, a k hullámszámvektorával (amelynek $k$ nagysága megközelítőleg az (1.2)-vel és (1.5)-mal adott kapcsolatban van az $E$-vel) és a spinjével jellemezhető. Az állapot – bizonyos határfeltételeket kielégítő – hullámfüggvénnyel írható le.

A vezetési sáv szélének közelében egy elektron úgy írható le, mint egy $m_{c}$ tömegű részecske, amely egy háromdimenziójú kocka alakú ($d$-méretű), tökéletesen reflektáló falú dobozba, azaz egy háromdimenziós derékszög alakú végtelenül magas potenciálfallal határolt térbe van bezárva. Az állóhullám megoldások megkövetelik, hogy a $\textbf{k}=(k_{x},k_{y},k_{z})$ vektor komponensei diszkrét értékeket vegyenek fel: $\textbf{k}=(q_{1}\pi /d,q_{2}\pi /d,q_{3}\pi /d)$, ahol a $(q_{1},q_{2},q_{3})$ módus számok pozitív egész számokat jelentenek. A k vektor csúcsának olyan rács rácspontjain kell feküdnie, amelynek köbös egységcellája $\pi /d$ dimenziójú. Ennélfogva a k-tér egységnyi térfogatában $(d/\pi )^{3}$ pont található. Azoknak az állapotoknak a számát, amelyek k vektorai 0 és $k$ közötti értékekkel rendelkeznek, úgy határozhatjuk meg, ha a $k$-sugarú gömb pozitív nyolcadrészének ($\approx \left(\frac{1}{8}\right)4\pi k^{3}/3=\pi k^{3}/6$ térfogatának) belsejében fekvő pontokat összeszámoljuk. Mivel az elektron-spinnek két lehetséges értéke van, a $k$-térben mindegyik pontnak két állapot felel meg. Ennélfogva a $d^{3}$ térfogatban megközelítőleg $2(\pi k^{3}/6)/(\pi /d)^{3}=(k^{3}/3\pi ^{2})d^{3}$ ilyen pont van és $(k^{3}/3\pi ^{2})$ pont az egységnyi térfogatban. Ebből következik, hogy a $k$ és $k+\Delta k$ közötti hullámszámmal rendelkező elektronállapotok száma, térfogategységenként:

vagyis az állapotsűrűség:

Ha $\varrho _{c}(E)\Delta E$ reprezentálja a vezetési sáv $E$ és $E+\Delta E$ között fekvő energianívók számát (térfogategységenként) akkor, mivel $E$ és $k$ közötti kapcsolatot az  (1.5) határozza meg, a $\varrho _{c}(E)$ és $\varrho (k)$ közötti összefüggésnek a következőnek kell lennie:

Igy a vezetési sávban a megengedett energiák sűrűsége az alábbi módon írható:

Hasonlóképpen a valenciasávban a megengedett energiák sűrűsége:

ahol $E$-t az (1.6) kifejezés adja. A $dE/dk$ derivált értékének kiszámításához a vezetési- ,illetve a valencia sáv közelében érvényes négyzetes (1.5), illetve (1.6) $E$-$k$ összefüggéseket használjuk fel. Ily módon a következő eredményeket kapjuk:

A négyzetgyökös összefüggés a sávszélek közelében az elektronokra és a lyukakra vonatkozó négyzetes energia-hullámszám összefüggés következménye. Az állapotsűrűség függése az energiától a  3.1 ábrán látható. Értéke nulla a sávszélnél és növekszik tőle távolodva, az elektronok és lyukak effektív tömegeitől függő mértékben. Az $m_{c}$ és $m_{v}$ értékek valójában átlagolt értékek a megfelelő állapotsűrűség kiszámítására.

3.1 Ábra: (a) Az $E$-$k$ diagram keresztmetszete (pl. a $k_{1}$ irányban, rögzített $k_{2}$ és $k_{3}$ mellett). (b) Megengedett energianívók (az összes $k$-nál). (c) Az állapotsűrűség a vezetési- és a valenciasávok széleinek közelében. A $\varrho _{c}(E)dE$ mennyiség az $E$ és $E+dE$ közötti energiával bíró kvantumállapotok száma térfogategységenként, a vezetési sávban. Hasonlóan értelmezzük $\varrho _{v}(E)dE$-t a valenciasávra vonatkozóan.

Állapotok betöltési valószínűsége

Termikus gerjesztés hiányában ($T=0\mathrm {K}$-nél) minden elektron a legalacsonyabb lehetséges energianívókat foglalja el, miközben eleget tesz a Pauli-féle kizárási elvnek. A valenciasáv ekkor teljesen betöltött elektronokkal (nincsenek lyukak) és a vezetési sáv teljesen üres (nem tartalmaz elektronokat). Amikor a hőmérséklet emelkedik, a termikus gerjesztések felemelnek néhány elektront a valenciasávból a vezetési sávba, miközben üres állapotok (lyukak) maradnak vissza a valenciasávban. A statisztikus mechanika törvényei szerint, termikus egyensúlyi feltételek mellett $T$ hőmérsékletnél, annak a valószínűségét, hogy adott $E$ energiájú állapot be van töltve egy elektronnal, a következő Fermi-függvény határozza meg:

ahol $k$ a Boltzmann-állandó ($T=300\mathrm {K}$-nél $kT=0,026\mathrm {eV}$) és $E_{f}$ egy állandó, amelyet Fermi-energiának vagy Fermi-nívónak nevezünk. Ez a függvény Fermi-Dirac eloszlásként is ismeretes. Az egyes $E$ energianívók $f(E)$ valószínűséggel betöltöttek és $[1-f(E)]$ valószínűséggel üresek. Az $f(E)$ és az $[1-f(E)]$ valószínűségek – a  (3.7) szerint – függenek az $E$ energiától. Maga az $f(E)$ függvény nem egy valószínűségi sűrűség (integrálja nem 1), inkább az egymást követő energianívók betöltési valószínűségeinek sorozata.

3.2 Ábra: Az $f(E)$ Fermi-függvény annak a valószínűségét adja, hogy egy $E$ energianívó egy elektronnal töltött; $1-f(E)$ annak a valószínűsége, hogy üres. A valenciasávban $1-f(E)$ annak a valószínűsége, hogy az $E$ energianívó egy lyukkal elfoglalt. $T=0\mathrm {K}$-nél $f(E)=1$, ha $E\le E_{f}$, és $f(E)=0$, ha $E>E_{f}$; ekkor nincsenek elektronok a vezetési sávban és nincsenek lyukak a valenciasávban.

Mivel $f(E_{f})=\frac{1}{2}$ , akármilyen a $T$ hőmérséklet, a Fermi-nívó az az energia, amelyikre vonatkozóan az betöltési valószínűség (ha volna itt megengedett állapot) $\frac{1}{2}$ lenne. A Fermi-függvény az $E$-nek egy monoton csökkenő függvénye (l.  3.2 ábra), $T=0\mathrm {K}$-nél $f(E)=0$, ha $E>E_{f}$ és $f(E)=1$ az $E\le E_{f}$-re. Az $E_{f}$ Fermi-nívó elválasztja a betöltött és a betöltetlen energianívókat, $T=0\mathrm {K}$-nél. Mivel $f(E)$ annak a valószínűsége, hogy az $E$ energianívó el van foglalva, az $1-f(E)$ pedig annak a valószínűsége, hogy üres, azaz hogy egy lyukkal van elfoglalva, ha az $E$ a valenciasávban fekszik. Igy az $E$ energianívóra:

Ezek a függvények szimmetrikusak a Fermi-nívó körül. Ha $E-E_{f}\gg kT$, akkor

ily módon a Fermi-függvény nagy energiájú nyúlványa a vezetési sávban a növekvő energiával exponenciálisan csökken. A Fermi-függvény ekkor arányos a Boltzmann-eloszlással. Szimmetria miatt, ha $E<E_{f}$ és $E_{f}-E\gg kT$, az

ekkor a valenciasávbeli lyukak betöltési valószínűsége exponenciálisan csökken, amint az energia jóval a Fermi-nívó alá csökken.

Töltéshordozók koncentrációja termikus egyensúlyban

Legyen $n(E)\Delta E$ és $p(E)\Delta E$ az elektronok és lyukak térfogategységenkénti száma, az $E$ és $E+\Delta E$ között fekvő energiákra vonatkozóan. Az $n(E)$, illetve a $p(E)$ sűrűségek oly módon nyerhetők, hogy az állapotok sűrűségét az $E$ energianívónál megszorozzuk az $E$ nívó elektronok, illetve lyukak általi betöltési valószínűségével, vagyis

Az elektronok és lyukak $n$ és $p$ koncentrációit (térfogategységenkénti benépesítést) a következő integrálok segítségével nyerjük:

Egy intrinsic (tiszta) félvezetőben, tetszés szerinti hőmérsékleten: $n=p$, mivel termikus gerjesztések mindig elektron-lyuk párokat hoznak létre. Ennélfogva a Fermi-nívónak olyan energia értéknél kell elhelyezkednie, hogy $n=p$ legyen. Olyan anyagokban, amelyekre $m_{v}=m_{c}$ , az $n(E)$ és $p(E)$ függvények szintén szimmetrikusak; úgyhogy $E_{f}$-nek pontosan a tiltott sáv közepén kell elhelyezkednie (l.  3.3 ábra). Az intrinsic félvezetők többségében, a Fermi-nívó valóban a tiltott sáv közepének közelében fekszik.

3.3 Ábra: Elektronok és lyukak $n(E)$ és $p(E)$ koncentrációja, mint az $E$ energia függvénye, intrinsic félvezető esetében. Az elektronok és lyukak teljes koncentrációja; $n$ és $p$.

A  3.4 ábrán és a  3.5 ábrán egy n-típusú és p-típusú adalékolt félvezetőkre vonatkozóan láthatók energiasáv diagramok, Fermi-függvények, elektronok és lyukak egyensúlyi koncentrációi. A donor elektronok energianívója közel van a vezetési sáv aljához, $E_{D}$-vel mélyebben, aminek következtében könnyen feljuthatnak a vezetési sávba. Ha $E_{D}=0,01\mathrm {eV}$, akkor pl. szobahőmérsékleten ($kT=0,026\mathrm {eV}$) a legtöbb donor elektron termikusan gerjesztődni fog a vezetési sávba. Végeredményben a Fermi-nívó [amelyiknél $f(E_{f})=\frac{1}{2}$] a tiltott sáv közepe felett helyezkedik el. Igy p-típusú félvezetőre az akceptor energianívó közel van a valenciasáv széléhez, aminél $E_{A}$-val magasabban helyezkedik el, úgy hogy a Fermi-nívó a tiltott sáv közepe alatt fekszik.

3.4 Ábra: Energiasáv diagram, $f(E)$ Fermi-függvény, mozgékony elektronok és lyukak $n(E)$ és $p(E)$ koncentrációja, egy n-típusú félvezetőben.

3.5 Ábra: Energiasáv diagram, $f(E)$ Fermi-függvény, mozgékony elektronok és lyukak $n(E)$ és $p(E)$ koncentrációja, egy p-típusú félvezetőben.

Irányítsuk figyelmünket közvetlenül az adalékolt félvezetőkben lévő mozgékony töltéshordozókra. Ezek az anyagok természetesen elektromosan semlegesek, feltételezve, hogy a donor és az akceptor ionok helyhez kötöttek:

ahol $N_{A}$ és $N_{D}$ az ionizált akceptorok és donorok száma térfogategységenként.

A tömeghatás törvénye

Ha $(E-E_{f})\gg kT$ , akkor az $f(E)$ Fermi-függvényt (l.  (3.7)) és hasonlóképpen, ha $(E_{f}-E)\gg kT$, akkor az $1-f(E)$ függvényt megközelíthetjük exponenciális függvényekkel. Ezek a feltételek akkor alkalmazhatók, ha a Fermi-nívó a tiltott sávon belül, az energiasáv szélektől legalább néhányszor $kT$ távolságra fekszik (szobahőmérsékleten $kT\approx 0,026\mathrm {eV}$, az $E_{g}$ értéke Si-nál:$1,12\mathrm {eV}$ , GaAs-nél: $1,42\mathrm {eV}$).

Az exponenciális közelítéseket használva, amelyek alkalmazhatók mind az intrinsic, mind az adalékolt félvezetőkre, azt kapjuk, hogy (3.12) és (3.13) formulák a következő kifejezéseket adják:

ahol

és

A (3.17) egyenlet alapján nyilvánvaló, hogy termikus egyensúlyban az

szorzat független attól, hogy a Fermi-nívó és a félvezető adalékolástól származó nívója a tiltott sávon belül hol helyezkedik el, feltéve, hogy az exponenciális közelítés a Fermi-nívóra érvényes. A töltéshordozó koncentrációk szorzatának állandóságát a tömeghatás törvényének nevezzük. Intrinsic félvezetőre:

Ezt az összefüggést kombinálva (3.17)-tel azt kapjuk, hogy

Eszerint az elektronok és lyukak intrinsic koncentrációja a $T$ hőmérséklettel exponenciálisan növekszik. A tömeghatás törvényét ennélfogva a következő alakba írhatjuk:

Az $n_{i}$ értékei különböző anyagokra változó, mivel a tiltott sávok energiái és effektív tömegei különbözőek.

A tömeghatás törvényét felhasználjuk adalékolt félvezetőkben az elektronok és lyukak koncentrációinak a meghatározására. Például egy mérsékelten adalékolt n-típusú anyag $n$ elektron koncentrációja lényegében véve egyenlő az $N_{D}$ donor koncentrációval ($n=N_{D}$). A tömeghatás törvényét használva, a lyuk koncentráció ekkor:

Az $n$ és $p$ ismerete lehetővé teszi – a (3.12) és (3.13) egyenleteken keresztül – a Fermi-nívó meghatározását. Mindaddig, amíg a Fermi-nívó a tiltott sávon belül, a sáv széleitől néhány $kT$-nél nagyobb energiáknál fekszik, a (3.15) és (3.16) megközelítő összefüggések felhasználhatók közvetlenül a Fermi-nívó meghatározására.

Ha a Fermi-nívó a vezetési (vagy a valencia) sáv belsejében fekszik, az anyagra mint degenerált félvezetőre hivatkozunk. Ebben az esetben a Fermi-függvény exponenciális közelítését nem használhatjuk, úgy hogy $np\neq n_{i}^{2}$. Ekkor a töltéshordozók koncentrációját numerikus megoldással kell nyernünk. Nagyon erős adalékolási feltételek mellett donor (akceptor) szennyezési sáv képződik, amely lényegében véve egybeolvad a vezetési (valencia) sávval és mint sáv-nyúlvány vált ismertté. Ez a tiltott sáv effektív csökkenését eredményezi.

Töltéshordozók koncentrációja kvázi-egyensúlyban

Az eddigiek során tekintetbe vett betöltési valószínűségek és töltéshordozó koncentrációk csak termikus egyensúlyban lévő félvezetőre érvényesek. Nem érvényesek, ha a termikus egyensúly perturbált. Vannak azonban olyan helyzetek, amelyekben a vezetési sáv elektronjai egymás között termikus egyensúlyban vannak, ugyanúgy mint a valenciasáv lyukjai, de az elektronok és a lyukak nincsenek egymással termikus kölcsönhatásban. Ez pl. akkor fordul elő, ha egy külső elektromos áram vagy fotonfluxus sávból sávba való átmeneteket indukál. Ez a helyzet, amelyet kvázi-egyensúlyinak nevezünk, akkor jön létre, ha az átmenetekre vonatkozóan a relaxációs (lecsengési) idő a sávok mindegyikének belsejében sokkal rövidebb, mint két sáv közötti átmenetekre vonatkozó relaxációs idő. Tipikusan a sávon belüli relaxációs idő $<10^{-12}\mathrm {s}$ , míg a sugárzásos elektron-lyuk rekombinációs idő: $\approx 10^{-9}\mathrm {s}$.

Ilyen körülmények között célszerű minden sávra különálló Fermi-függvényt használni; a két kapcsolatos, $E_{fc}$-vel és $E_{fv}$-vel jelölt Fermi-nívók, mint kvázi Fermi-nívók ismeretesek (l. 3.6 ábra). Ha $E_{fc}$ és $E_{fv}$ mélyen a vezetési-, ill. a valenciasáv belsejében helyezkednek el, akkor mind az elektronok, mind a lyukak koncentrációja egészen nagy lehet.

3.6 Ábra: Félvezető kvázi-egyensúlyban. Annak a valószínűsége, hogy a vezetési sáv $E$ energianívója egy elektronnal elfoglalt: $f_{c}(E)$, amely egy Fermi-függvény $E_{fc}$ Fermi-nívóval. Annak a valószínűsége pedig, hogy a valenciasáv $E$ energianívója egy lyukkal elfoglalt: $1-f_{v}(E)$, ahol $f_{v}(E)$ egy Fermi-függvény, $E_{fv}$ Fermi-nívóval. Az elektronok és lyukak koncentrációja: $n(E)$ és $p(E)$. Mindkettő nagy lehet.