Optikai jellemzők és állandók

• Az elektromágneses hullám teljes jellemzésére öt, egymástól független mennyiséget szükséges megadni: a terjedés irányát, a frekvenciát, az amplitúdót, a rezgés fázisát és a polarizációt. Mindezek a mennyiségek – ha a hullám két közeget elválasztó határfelületen halad keresztül – általában megváltoznak. Az ebben az esetben keletkező optikai jelenségeket az $R$ reflexióképesség és a $T$ áteresztőképességgel szokás leírni. $R$ a testre eső sugárzási energiának az a tört része, amelyet a test visszaver, $T$ pedig a testre eső sugárzási energiának az a tört része , amelyet a test átereszt. Néha bevezetik az $A$ abszorpcióképesség fogalmát is, amely a mintában a hullám energiacsökkenésének a jellemzésére szolgál, azaz az $A$ a mintára eső sugárzási energiának az a tört része, amelyet a test elnyel, tehát nem ereszt át és nem ver vissza. Nyilvánvaló, hogy $A=1-(R+T)$.

  Számos esetben az optikai jelenségek leírására nemcsak az amplitúdókat kell vizsgálni, hanem a két közeget elválasztó határfelületen a fázisviszonyokat is. Ez utóbbiakkal kapcsolatosak a mintán áthaladó hullám reflexiójánál és transzmissziójánál $\delta _{R}$ és $\delta _{T}$ fáziseltolódások.

  Az R, T, A , $\delta _{R}$ , $\delta _{T}$ mennyiségek összességét a közeg optikai jellemzőinek szokás nevezni. Ezek a mennyiségek függenek az anyag természetétől, a beesés szögétől, a hullámhossztól és a minta vastagságától. Abból a célból, hogy feltárjuk ezeknek a függőségeknek a jellegét, meg kell vizsgálni a fény és a kristály közötti kölcsönhatás mechanizmusait. Az optikai jellemzők és azok szögfüggéseinek a kiszámításánál azonban a Maxwell-egyenleteken alapuló egyszerű fenomenologikus elméletre szorítkozhatunk. Ez összeköti az ismert optikai jelenségeket (a fény törését, reflexióját, abszorpcióját) a fényhullám terjedési körülményeinek a megváltozásával. A terjedés körülményeit három elektromos paraméter együttese határozza meg: az $\varepsilon $ dielektromos állandó, a $\sigma $ elektromos vezetőképesség és a $\mu $ mágneses permeabilitás. Az $\varepsilon $ , $\sigma $ és $\mu $ paraméterek értékeit megadva az elektromágneses hullám viselkedését le lehet írni, tetszőleges közegben. A fényhullámoknak dielektrikumban és vezető közegben való terjedésének alapvető törvényszerűségeit az elektrodinamika tárgyalja részletesen.

• Az elektromágneses sugárzás terjedését félvezető anyagban – ha nincs benne makroszkopikus töltéssűrűség – a

  \begin{equation} rot\boldsymbol{\mathcal{E}}=-\mu _{0}\mu \frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{H}}}{\partial t},\quad div\boldsymbol {\mathcal{E}}=0, \label{max1} \end{equation}

  (1.1)

  \begin{equation} rot\boldsymbol{\mathcal{H}}=\varepsilon _{0}\varepsilon \frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{E}}}{\partial t}+\sigma \boldsymbol{\mathcal{E}},\quad div\boldsymbol{\mathcal{H}}=0 \label{max2} \end{equation}

  (1.2)

  Maxwell-egyenletek megoldásaival írhatjuk le. Az (1.1)-(1.2) egyenletekben $\mathcal{E}$ és $\mathcal{H}$ az elektromos és mágneses térerősség amplitúdói, $\varepsilon _{0}$ a vákuum dielektromos állandó ($\varepsilon _{0}=(4\pi \cdot 9\cdot 10^{9})^{-1}\mathrm {As/Vm}$), $\mu _{0}$ a vákuum mágneses permeabilitása ($\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm {Vs/Am}$), $\sigma $ a fajlagos elektromos vezetőképesség, $\varepsilon $ a dielektromos állandó, $\mu $ a mágneses permeabilitás ($\sigma $ , $\varepsilon $ , $\mu $ az $\omega $ frekvencia függvényei).

  Képezve a $rot\boldsymbol{\mathcal{E}}$-t tartalmazó egyenlet rotációját, a $rot\ rot\boldsymbol{\mathcal{E}}=grad\ div\boldsymbol{\mathcal{E}}-\triangle \boldsymbol{\mathcal{E}}$ azonosság segítségével, továbbá a $grad\ div\boldsymbol{\mathcal{E}}=0$ (l. (1.1)) felhasználásával a következő összefüggést nyerjük:

  \begin{equation} \triangle \boldsymbol{\mathcal{E}}=\mu \mu _{0}\sigma \frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{E}}}{\partial t}+\mu \varepsilon \mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial ^{2}\boldsymbol{\mathcal{E}}}{\partial t^{2}}. \label{wave} \end{equation}

  (1.3)

  Hasonló egyenletet kapunk a $\mathcal{H}$ mágneses térerősség vektorra is. Az $\mathcal{E}$ elektromos térerősség vektorra vonatkozó (1.3) egyenlet lehetséges megoldásainak egyike a következő alakban kereshető:

  \begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{E}}=\boldsymbol{\mathcal{E}}_{0}e^{i\omega \left(t-\frac{z}{v}\right)}, \label{wavesol} \end{equation}

  (1.4)

  amely egy $z$-irányban $v$ sebességgel haladó, $\omega $ frekvenciájú monokromatikus síkhullámot reprezentál. Az (1.4) síkhullám megoldás akkor elégíti ki az (1.3) egyenletet, ha teljesül a következő feltétel:

  \begin{equation} \frac{1}{v^{2}}=\mu \varepsilon \mu _{0}\varepsilon _{0}-i\frac{\sigma \mu \mu _{0}}{\omega }. \label{vel1} \end{equation}

  (1.5)

  Figyelembe véve, hogy $c^{2}=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1}$ , az (1.5) egyenlet az alábbi alakot veszi fel:

  \begin{equation} \frac{1}{v^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\left(\mu \varepsilon -i\frac{\sigma \mu }{\omega \varepsilon _{0}}\right)=\frac{1}{c^{2}}\widetilde{n}^{2}. \label{vel2} \end{equation}

  (1.6)

  Tekintettel arra, hogy azt a tényezőt, amely megadja, hogy az elektromágneses hullám sebessége a közegben hányadrésze a vákuumbeli fénysebességnek, a közeg törésmutatójának nevezzük, ezért (1.6) éppen az

  \begin{equation} \widetilde{n}=n-ik \label{kompn} \end{equation}

  (1.7)

  komplex törésmutatót határozna meg; $n$ a törésmutató valós részét (egyszerűen törésmutatót), $k$ pedig az ún. abszorpciómutatót jelenti. Mivel az optikai tartományban a félvezetők többsége gyenge mágneses tulajdonságokkal rendelkezik, $\mu \approx 1$ értékkel számolhatunk. Ily módon az (1.6) és (1.7) egyenletekből következik, hogy

  \begin{equation} n^{2}-k^{2}=\varepsilon , \end{equation}

  (1.8)

  és

  \begin{equation} 2nk=\frac{\sigma }{\omega \varepsilon _{0}}. \end{equation}

  (1.9)

  A fenti összefüggések segítségével – viszonylag kevés számolással – külön-külön kifejezhetjük $n$-et és $k$-t az $\varepsilon $ dielektromos állandóval és a $\sigma $ fajlagos elektromos vezetőképességgel. Az $\varepsilon $ és $\sigma $ helyett gyakran célszerű bevezetni az

  \begin{equation} \widetilde{\varepsilon }=(n-ik)^{2}=\varepsilon -i\frac{\sigma }{\omega \varepsilon _{0}}=\varepsilon ^{\prime }-i\varepsilon ^{\prime \prime } \label{eps} \end{equation}

  (1.10)

  komplex dielektromos állandót, vagy külön választva a valós és a képzetes részt:

  \begin{equation} \varepsilon ^{\prime }(\omega )=n^{2}-k^{2}, \end{equation}

  (1.11)

  \begin{equation} \varepsilon ^{\prime \prime }(\omega )=\frac{\sigma }{\omega \varepsilon _{0}}=2nk. \end{equation}

  (1.12)

• Az oksági elvből és a komplex változók tulajdonságaiból kiindulva Kramers és Kronig kapcsolatot talált a komplex dielektromos állandó valós és képzetes része között:

  \begin{equation} \varepsilon ^{\prime }(\omega _{0})=(n^{2}-k^{2})_{\omega _{0}}=1+\frac{2}{\pi }\int _{0}^{\infty }\frac{\omega \varepsilon ^{\prime \prime }(\omega )}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}d\omega =1+\frac{2}{\pi }\int _{0}^{\infty }\frac{2nk\omega }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}d\omega . \label{KK1} \end{equation}

  (1.13)

  és

  \begin{equation} \varepsilon ^{\prime \prime }(\omega _{0})=(2nk)_{\omega _{0}}=-\frac{2\omega _{0}}{\pi }\int _{0}^{\infty }\frac{\varepsilon ^{\prime }(\omega )}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}d\omega =-\frac{2\omega _{0}}{\pi }\int _{0}^{\infty }\frac{n^{2}-k^{2}}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}d\omega . \label{KK2} \end{equation}

  (1.14)

  Tehát, pl. az (1.13) formula szerint $\varepsilon ^{\prime }$-t ki lehet számítani a $(0,\infty )$ frekvenciaintervallumban egy tetszés szerinti $\omega _{0}$ frekvenciánál, ha ismerjük az $\varepsilon ^{\prime \prime }(\omega )$-t a $0$ és $\infty $ frekvenciatartományban, és ez természetesen fordítva is igaz.

  Hasonlóképpen közvetlen összefüggés írható fel a törésmutató és az abszorpciómutató között is:

  \begin{equation} n(\omega _{0})=1+\frac{2}{\pi }\int _{0}^{\infty }\frac{\omega k(\omega )}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}d\omega , \end{equation}

  (1.15)

  és

  \begin{equation} k(\omega _{0})=-\frac{2\omega _{0}}{\pi }\int _{0}^{\infty }\frac{n(\omega )}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}d\omega . \end{equation}

  (1.16)

• Helyettesítsük most be az (1.4)-ben szereplő $v$ helyébe a $v=c/\widetilde{n}=c/(n-ik)$ kifejezést. Ekkor

  \begin{equation} \boldsymbol{\mathcal{E}}=\boldsymbol{\mathcal{E}}_{0}e^{i\omega \left(t-\frac{z\widetilde{n}}{c}\right)}=\boldsymbol{\mathcal{E}}_{0}e^{i\omega [t-(n-ik)\frac{z}{c}]}= \boldsymbol{\mathcal{E}}_{0}e^{-\frac{\omega k}{c}z}\cdot e^{i\omega \left(t-\frac{nz}{c}\right)}. \end{equation}

  (1.17)

  Látható, hogy az elektromágneses hullám gyengülésének mértékét a félvezető anyagban a $k$ abszorpciómutató jellemzi. Mivel a kísérletek során közvetlenül nem a hullám amplitúdóját, hanem az energiáját, ill. a fény intenzitását mérjük, amelyet viszont az $[\mathbf{E}\times \mathbf{H}]$ Poynting-vektor periódus szerint átlagolt értéke határoz meg. Mivel, mind az $\mathcal{E}$ , mind a $\mathcal{H}$ amplitúdó arányos $e^{-(\omega k/c)z}$-vel, ezért az intenzitás a távolsággal $e^{-(2\omega k/c)z}$ szerint csökken. Az

  \begin{equation} \alpha =\frac{2\omega k}{c}=\frac{4\pi k}{\lambda } \end{equation}

  (1.18)

  mennyiséget, amely az exponenciális kitevőjében szerepel, abszorpciós együtthatónak nevezzük. Az $\alpha $ jelentését a következőképpen fogalmazhatjuk meg: az $\alpha $ számszerűen annak az anyagréteg-vastagságnak a reciprokát jelenti, amelyben az elektromágneses hullám intenzitása az $e$-ed részére csökken. Ily módon a félvezető anyagot két optikai állandóval jellemezhetjük: vagy az $n$ és $k$, vagy az $n$ és $\alpha $ mennyiségekkel. Segítségükkel leírható a fény reflexiója, törése és abszorpciója a vezető közegben.

Optikai állandók meghatározásának kísérleti módszerei

Mivel az $n$ törésmutató és a $k$ abszorpciómutató (vagy az $\alpha $ abszorpciós együttható) közvetlen kapcsolatban van a kristály mikroszkopikus paramétereivel, ezért az anyag szerkezetének optikai módszerekkel való tanulmányozására mindenekelőtt meg kell határoznunk külön-külön az $n$ és $k$ ; vagy az $n^{2}-k^{2}$ és a $2nk$ mennyiségeket széles hullámhossztartományban és a kristály különböző hőmérsékleténél. Az optikai állandók meghatározásának különböző módszerei két csoportra oszthatók: az elsőben az $n$ és $k$ kiszámítása a reflexióképesség, a másodikban a transzmisszióképesség mérése alapján történik. Az alkalmazandó módszer nagymértékben függ attól, hogy milyen hullámhossztartományban akarjuk a méréseket végezni és, hogy milyen mintavastagság áll a rendelkezésünkre.

• Két különböző törésmutatójú 1-es és 2-es közeg határfelületére az 1-es közeg felől beeső elektromágneses síkhullám egy része az elválasztó határfelületen visszaverődve, az 1-es közegben folytatja útját, míg a másik része megtörik és a 2-es közegben halad tovább (1.1 ábra). Legyen az 1-es közeg vákuum ($n_{1}=1$) és a 2-es közeg pedig dielektrikum ($n_{2}=n$). A beeső $\mathcal{E}$, és a visszavert $\mathcal{E^{\prime }}$, a megtört $\mathcal{E^{\prime \prime }}$ amplitúdók, valamint a $\varphi $ beesési szög, a $\varphi ^{\prime \prime }$ törési szög között az összefüggéseket a Fresnel-féle formulák szolgáltatják:

  \begin{equation} \mathcal{E}_{s}^{\prime }=-\frac{sin(\varphi -\varphi ^{\prime \prime })}{sin(\varphi +\varphi ^{\prime \prime })}\mathcal{E}_{s}, \label{fren1} \end{equation}

  (1.19)

  \begin{equation} \mathcal{E}_{p}^{\prime }=-\frac{tg(\varphi -\varphi ^{\prime \prime })}{tg(\varphi +\varphi ^{\prime \prime })}\mathcal{E}_{p}, \label{fren2} \end{equation}

  (1.20)

  ahol a $p$ és $s$ indexek a beesési síknak és a rá merőleges síknak felelnek meg (l. 1.1 ábra). Az egyenletek bevezetésénél feltételeztük, hogy $\mu _{1}=\mu _{2}=1$.

  

  1.1 Ábra: Az $\mathcal{E}$ beeső-, az $\mathcal{E}^{\prime }$ visszavert- és az $\mathcal{E}^{\prime \prime }$ elektromos térerősség vektorok komponenseinek amplitúdói, két különböző közeg határánál.

  Az (1.19)-(1.20) összefüggések abban az esetben is érvényesek, ha pl. a 2-es közeg törésmutatója komplex. Ekkor azonban a $\varphi ^{\prime \prime }$ törési szög is komplex mennyiség:

  \begin{equation} n-ik=\frac{sin\varphi }{sin\varphi ^{\prime \prime }}. \end{equation}

  (1.21)

  A Fresnel-féle formulák felhasználásával az $R$ visszaverőképességet (reflexióképességet) a következőképpen írhatjuk fel:

  \begin{equation} R_{s}=\left|\frac{\mathcal{E}_{s}^{\prime }}{\mathcal{E}_{s}}\right|^{2}, \end{equation}

  (1.22)

  vagy

  \begin{equation} R_{p}=\left|\frac{\mathcal{E}_{p}^{\prime }}{\mathcal{E}_{p}}\right|^{2}. \end{equation}

  (1.23)

  A Fresnel-formulákból látható, hogy $R_{s}$ és $R_{p}$ bonyolult módon függ a beesés szögétől, $\mathcal{E}$ orientációjától, az $n$ és $k$ optikai állandóktól. Normális beesésnél ($\varphi =\varphi ^{\prime \prime }=0$) a reflexiós együtthatónak az $n$ és $k$ optikai állandókkal való kapcsolata leegyszerűsödik:

  \begin{equation} R=R_{s}=R_{p}=\frac{(n-1)^{2}+k^{2}}{(n+1)^{2}+k^{2}}, \label{3R} \end{equation}

  (1.24)

  azonban ebből az egyenletből mindkét konstansnak ($n$ és $k$) a meghatározása nem lehetséges.

• Az $ n $ és $ k $ meghatározása reflexió- és transzmisszióképesség mérése alapján

  Az $ n^{2}\gg k^{2} $ esetben, vagyis ha abban a spektrumtartományban végzünk pl. reflexiós méréseket, ahol a $k$ abszorpciómutató kicsi az $n$ törésmutatóhoz képest, az (1.24) összefüggés a következő alakot veszi fel:

  \begin{equation} R=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}. \label{RsRp} \end{equation}

  (1.25)

  Ez a formula felhasználható a törésmutató meghatározására, ha merőleges (vagy közel merőleges) fénybeesés esetén mérjük az $R$ reflexióképességet.

  Az (1.25) alapján ugyanis azt írhatjuk, hogy

  \begin{equation} n=\frac{1+\sqrt {R}}{1-\sqrt {R}}. \label{nR} \end{equation}

  (1.26)

  Ha a félvezető kristályból készített $n$ törésmutatójú minta plánparallel alakú lemez, amelyet levegő vesz körül, a $T$ transzmisszióképességet – ha eltekintünk az interferencia jelenségtől és a minta abszorpciójától – a következő formulával adhatjuk meg (l. 1.2 ábra):

  \begin{equation} T=\frac{1}{I_{0}}\sum _{i=1}^{\infty }I_{i}=(1-R)^{2}(1+R^{2}+R^{4}+\cdots )=\frac{1-R}{1+R}=\frac{2n}{n^{2}+1}. \label{Tsum} \end{equation}

  (1.27)

  

  1.2 Ábra: Nem abszorbeáló lemez visszaverő- és áteresztőképességének meghatározása a lemez belsejében való visszaverődés többszörös figyelembevétele és az interferencia elhanyagolása esetén.

  Ily módon a $T$ mérése alapján az $R$ reflexiós együtthatót, az (1.26) figyelembe vételével pedig az $n$ törésmutatót meghatározhatjuk:

  \begin{equation} n=\frac{1+\sqrt {R}}{1-\sqrt {R}}=\frac{1+\sqrt {\frac{1-T}{1+T}}}{1-\sqrt {\frac{1-T}{1+T}}}. \end{equation}

  (1.28)

  Ha a félvezetőből készített $d$ vastagságú, plánparallel lemez $T$ áteresztőképességének meghatározásánál nem kell figyelembe venni az interferencia jelenségét, de számolnunk kell viszonylag gyenge abszorpcióval ($k\neq 0$ vagy $\alpha \neq 0$ és $n^{2}\gg k^{2}$ , azaz $(\alpha \lambda /4\pi n)<1$), akkor az $\frac{1-R}{1+R}>T>0,1$ , vagy $\alpha d<1$ feltételek teljesülése esetén az $\alpha $-t a következő formulákból számíthatjuk ki:

  \begin{equation} T=\frac{(1-R)^{2}e^{-\alpha d}}{1-R^{2}e^{-2\alpha d}}. \end{equation}

  (1.29)

  Ez a formula tovább egyszerűsödik, ha $R^{2}e^{-2\alpha d}\ll 1$ (vagy $0<T<0,1$):

  \begin{equation} T=(1-R)^{2}e^{-\alpha d}, \end{equation}

  (1.30)

  amiből

  \begin{equation} \alpha =\frac{1}{d}\ln \frac{(1-R)^{2}}{T}. \end{equation}

  (1.31)

  Eszerint, ha az adott félvezető kristályból két, $d_{1}$ és $d_{2}$ vastagságú mintát készítünk úgy, hogy teljesüljön az $\alpha d_{1}>1$ és $\alpha d_{2}>1$ (vagy $T_{1},T_{2}<0,1$) feltétel, akkor

  \begin{equation} \alpha =\frac{1}{d_{2}-d_{1}}\ln \frac{T_{1}}{T_{2}}. \end{equation}

  (1.32)

• Gyengén abszorbeáló kristály törésmutatóját meghatározhatjuk az $ R_{p} $ reflexiós együtthatónak(vagy az $ R_{p}/R_{s} $ -nek) a beesési szögtől való függéséből is. Arra a $\varphi _{B}$ szögre (az ún. Brewster-szögre) ugyanis, amelynél $R_{p}$ minimális értékű (l. 1.3 ábra) érvényes a következő összefüggés

  \begin{equation} n=tg\varphi _{B}. \end{equation}

  (1.33)

  

  1.3 Ábra: Tiszta szilícium kristály reflexiós együtthatóira vonatkozó elméleti görbék.
  

  1.4 Ábra: A prizmán keresztülhaladó sugármenet a minimális eltérülési szögnél.
• Nagy áteresztőképességgel rendelkező anyagok törésmutatójának meghatározására szolgál az ún. prizma-módszer. A vizsgált anyagból egy $\varphi $ törőszögű prizmát készítünk, majd meghatározzuk a $\delta _{min}$ minimális eltérítés szögét (1.4 ábra). A $\delta _{min}$-nél a prizmába való fénybelépés szöge megegyezik a kilépés szögével. Ekkor:

  \begin{equation} n=\frac{sin\frac{\varphi +\delta _{min}}{2}}{sin\frac{\varphi }{2}}. \end{equation}

  (1.34)

• Az $ n $ és $ k $ meghatározása az interferenciasávok alapján

  Ha a fény egy olyan nem abszorbeáló síkpárhuzamos (planparallel) félvezető rétegen halad át, amelynek vastagsága összemérhető a fény hullámhosszával, akkor a $T(\lambda )$ transzmissziós spektrumban interferenciasávok keletkeznek. Az 1.5 ábrán egy nem abszorbeáló anyagból készült síkpárhuzamos lemez interferenciás spektruma látható, a fény merőleges beesése esetén.

  

  1.5 Ábra:

  A $T$ áteresztőképességnek a $\lambda $ hullámhossztól, az $n$ törésmutatótól és a minta $d$ vastagságától való függését – (1.27) helyett – a következő formula írja le:

  \begin{equation} T=\frac{(1-R_{12})^{2}}{1+R_{12}^{2}-2R_{12}cos\delta }, \label{intT} \end{equation}

  (1.35)

  ahol $\delta =\frac{4\pi }{\lambda }nd$ és $R_{12}=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}$.

  A réteg reflexióját az

  \begin{equation} R=1-T \end{equation}

  (1.36)

  energiamegmaradás törvénye alapján határozhatjuk meg. Az (1.35) formulából következik, hogy a $T(\lambda )$ spektrumban a

  \begin{equation} \lambda _{max}=\frac{4nd}{m},\quad m=2,4,6,\cdots \end{equation}

  (1.37)

  hullámhosszaknál maximumok figyelhetők meg, míg

  \begin{equation} \lambda _{min}=\frac{4nd}{m},\quad m=1,3,5,\cdots \end{equation}

  (1.38)

  hullámhosszaknál minimumok.

  Amennyiben $n(\lambda )=konst.$ értékkel számolhatunk, akkor a $T(\lambda )$ spektrumban két, szomszédos szélsőértéknek megfelelő $\lambda _{m}$ és $\lambda _{m-1}$ hullámhosszak ismeretében a

  \begin{equation} 2nd=m\lambda _{m}=(m-1)\lambda _{m-1} \end{equation}

  (1.39)

  egyenlőségből az $nd$ szorzatot, $d$ ismeretében a törésmutatót a következőképpen adhatjuk meg:

  \begin{equation} n=\frac{\lambda _{m}\cdot \lambda _{m-1}}{2d(\lambda _{m-1}-\lambda _{m})}. \end{equation}

  (1.40)

• A vékony, gyengén abszorbeáló $( n^{2}\gg k^{2})$, hordozó nélküli plánparallel kristálylemez áteresztőképessége a következő kifejezéssel adható meg:

  \begin{equation} T=\frac{16n^{2}e^{-\alpha d}}{(n+1)^{4}+(n-1)^{4}e^{-2\alpha d}-2(n^{2}-1)^{2}cos\frac{4\pi }{\lambda }nd}. \end{equation}

  (1.41)

  Amennyiben a törésmutató gyengén változik a hullámhosszal, akkor az interferenciasávok maximális és minimális értékeinek, továbbá az ezeknek megfelelő hullámhosszaknak az ismeretében meghatározható az $n(\lambda )$ és az $\alpha (\lambda )$ görbe.

• Az $ n $ és $ k $ meghatározása a poláros fény reflexió utáni polarizációs állapotának analíziséből

  Az $n$ és $k$ optikai konstansokat abban a spektrumtartományban, ahol $n\leq k$ , gyakorlatilag csak reflexióképességre vonatkozó adatok alapján lehetséges meghatározni, mivel nehéz olyan mintákat készíteni, amelyek elegendően vékonyak transzmissziós mérésekhez. Ez a helyzet félvezetőknél pl. alapabszorpciós tartományban (ahol $n\leq k$), vagy erősen szennyezett félvezetőknél és félfémeknél a teljes spektrumtartományban. Ilyen esetekben az optikai konstansok meghatározása céljából oly módon járunk el, hogy a minta felületére különböző szögek alatt beeső lineárisan poláros fény reflexió utáni polarizációs állapotát analizáljuk. A mintára különböző szögek alatt beeső lineárisan poláros fény az anyag felületéről való visszaverődés után elliptikusan polárossá válik, és az ellipszis paraméterei közvetlen kapcsolatban vannak az $n$ és $k$ optikai konstansokkal.