Betöltési- és átmeneti valószínűségek

Határozzuk meg egy tömbi félvezető anyag által emittált vagy abszorbeált $h\nu $ energiájú foton valószínűségi sűrűségét egy direkt sáv-sáv átmenetnél. Az energia- és az impulzus megmaradása (l. (2.4), (2.6) és (2.7)) meghatározza azoknak az elektronoknak és lyukaknak az $E_{1}$ és $E_{2}$ energiáit és $\hbar k$ impulzusát, amelyekkel a foton kölcsönhatásba léphet. A valószínűségi-sűrűségeket három tényező határozza meg:

1. a betöltési valószínűségek,
2. az átmeneti valószínűségek és
3. az optikai kombinált állapotsűrűség.

Az emisszió feltétele: Egy $E_{2}$ energiájú vezetési sávbeli állapot betöltött (egy elektronnal) és az $E_{1}$ energiájú valenciasávbeli állapot üres (azaz egy lyukkal betöltött).

Az abszorpció feltétele: Az $E_{2}$ energiájú vezetési sávbeli állapot üres és az $E_{1}$ energiájú valenciasávbeli állapot betöltött.

Annak a valószínűsége, hogy a betöltési feltételek $E_{2}$ és $E_{1}$ különböző értékeire kielégülnek, meghatározható egy kvázi-egyensúlyban lévő félvezető vezetési- és valenciasávjával kapcsolatos $f_{c}(E)$ és $f_{v}(E)$ Fermi-függvények felhasználásával. Ily módon az $f_{e}(\nu )$ valószínűség, amely az emisszió feltételét kielégíti egy $h\nu $ energiájú fotonra, egyenlő azon valószínűségek szorzatával, hogy a felső állapot betöltött, és, hogy az alsó állapot üres (ezek független események), azaz

Hasonlóképpen kapjuk meg az $f_{a}(\nu )$ valószínűséget, amely az abszorpció feltételét elégíti ki:

Átmeneti valószínűségek. Az emisszió/abszorpció betöltési feltételének teljesülése esetén nem biztos, hogy az emisszió/abszorpció ténylegesen bekövetkezik. Ezeket a folyamatokat a fotonok és az atomi rendszerek közötti kölcsönhatások valószínűségi törvényei irányítják. Ha félvezetőkről van szó, akkor ezek a törvények általában a $\nu $ és $\nu +d\nu $ közötti keskeny frekvenciasávba történő emisszió (vagy frekvenciasávból történő abszorpció) segítségével fejezhetők ki.

Az $E_{1}$ és $E_{2}$ diszkrét energianívók közötti sugárzásos átmenetet a $\sigma (\nu )=(\lambda ^{2}/8\pi t_{sp})g(\nu )$ átmeneti hatáskeresztmetszettel jellemezzük, ahol $\nu $ a frekvencia, $t_{sp}$ a spontán átmenet élettartama, és $g(\nu )$ a vonalalak, amelynek a szélessége $\triangle \nu $ a $\nu _{0}=(E_{2}-E_{1})/h$ átmeneti frekvencia körül, és területegységnyi. Félvezetőkben, a sugárzásos elektron-lyuk rekombináció $\tau _{r}$ élettartama a $t_{sp}$ szerepét játssza, úgy hogy

• Ha a betöltési feltétel ki van elégítve, az (időegységenkénti) valószínűségi sűrűség egy foton spontán emissziójára, a $\nu $ és $\nu +d\nu $ közötti keskeny frekvenciasávban az elérhető sugárzási módusok bármelyikére:

  \begin{equation} P_{sp}(\nu )d\nu =\frac{1}{\tau _{r}}g(\nu )d\nu . \end{equation}

  (3.4)

• Ha az emisszióra érvényes betöltési feltétel teljesül és (fotonok idő, terület és frekvencia egységre vonatkozóan) egy $\Phi _{\nu }$ átlagos spektrális fotonfluxus sűrűség van jelen $\nu $ frekvenciánál, akkor a valószínűségi sűrűség (időegységenként) egy foton $\nu $ és $\nu +d\nu $ közötti keskeny frekvenciasávban a kényszerített emisszióra:

  \begin{equation} W_{i}(\nu )d\nu =\Phi _{\nu }\frac{\lambda ^{2}}{8\pi \tau _{r}}g(\nu )d\nu . \label{stimem} \end{equation}

  (3.5)

• Ha az abszorpcióra érvényes betöltési feltétel ki van elégítve és egy $\Phi _{\nu }$ átlagos spektrális fotonfluxus sűrűség jelen van $\nu $ frekvenciánál, a valószínűségi sűrűséget egy foton abszorpciójára a $\nu $ és $\nu +d\nu $ közötti keskeny frekvenciasávban szintén a (3.5) adja.

Mivel mindegyik átmenet különböző $\nu _{0}$ centrális frekvenciával rendelkezik, és mivel ilyen átmenetek összességét vizsgáljuk, egyértelműen jeleznünk kell az átmenet centrálfrekvenciáját a $g(\nu )$ írásában: $g_{\nu _{0}}(\nu )$. Félvezetőkben a $g_{\nu _{0}}(\nu )$ vonalalakot, amely két energianívó közötti átmenethez tartozik, az elektron-fonon ütközési kiszélesedés határozza meg. Ez pedig tipikusan a Lorentz-vonalalak, amelynek szélessége $\triangle \nu \approx 1/\pi T_{2}$, ahol az elektron-fonon ütközés $T_{2}$ ideje pikoszekundum nagyságrendű. Ha például $T_{2}=1\mathrm {ps}$, akkor $\triangle \nu =318\mathrm {GHz}$, amely megfelel egy $h\triangle \nu \approx 1,3\mathrm {meV}$ energia-szélességnek. A nívók sugárzásos élettartam kiszélesedése elhanyagolható az ütközési kiszélesedés mellett.

Emisszió- és abszorpció átmeneti sebességek

Az $E_{1}$, $E_{2}$ energianívók közötti átmenetekhez ($E_{2}-E_{1}=h\nu _{0}$) tartozó, $h\nu $ energiájú fotonok spontán emissziójának, kényszerített emissziójának és abszorpciójának átmeneti sebességeit az alábbi módon határozhatjuk meg. A megfelelő átmenethez tartozó $P_{sp}(\nu )$ vagy $W_{i}(\nu )$ valószínűség-sűrűségeket megszorozzuk a megfelelő $f_{e}(\nu _{0})$ vagy $f_{a}(\nu _{0})$ betöltési valószínűségekkel, és azoknak az állapotoknak a $\varrho (\nu _{0})$ sűrűségével, amelyek kölcsönhatásba kerülhetnek a fotonnal. Az átmeneti sebességeket megkapjuk, ha $\nu _{0}$ szerint integrálunk.

A spontán emisszió sebessége $\nu $ frekvenciánál például a következő integrállal adható meg:

Ha a $\triangle \nu $ ütközési félértékszélesség lényegesen kisebb, mint az $f_{e}(\nu _{0})g(\nu _{0})$ szorzat szélessége (általában ez a helyzet), a $g_{\nu _{0}}(\nu )$ megközelíthető $\delta (\nu -\nu _{0})$-lal. A stimulált emisszió és az abszorpció sebességeinek a meghatározásánál hasonlóan eljárva, a következő formulákat kapjuk:

Ezek az egyenletek a (2.10), (3.1) és (3.2) egyenletekkel együtt lehetővé teszik a direkt sáv-sáv átmenetekből származó spontán emisszió, stimulált emisszió és az abszorpció sebességének ($\mathrm {fotonok/s}-\mathrm {Hz}-\mathrm {cm^{3}}$) kiszámítását egy $\Phi _{\nu }$ átlagos spektrális fotonfluxus sűrűség ($(\text {fotonok száma})/(\mathrm {s}\times \mathrm {Hz}\times \mathrm {cm^{3}})$) jelenlétében. A $\varrho (\nu )f_{e}(\nu )$ és $\varrho (\nu )f_{a}(\nu )$ szorzatok hasonlítanak a $g(\nu )\mathcal{N}_{2}$ és $g(\nu )\mathcal{N}_{1}$ vonalalak függvénynek és a felső és alsó nívókon lévő atomszám sűrűségeknek a szorzatához.

Az $f_{e}(\nu )$ és $f_{a}(\nu )$ betöltési valószínűségek meghatározása megköveteli az $E_{fc}$ és $E_{fv}$ kvázi Fermi-nívók ismeretét. Ezt a két paramétert például egy p-n átmenetre kapcsolt külső feszültséggel lehet szabályozni, és így módosítani lehet az emisszió és az abszorpció átmeneti sebességeit. Ezen alapul a különböző feladatokra alkalmas félvezető fotonikai eszközök készítése.

A (3.7) egyenlet alapján leírható a fényemissziós dióda (LED) működése, amely egy spontán emisszión alapuló félvezető forrás. A (3.8) alkalmazható félvezető optikai erősítők és lézerdiódák esetében, amelyek működése a stimulált emisszión alapul. A (3.9) formula alkalmazható félvezető detektorokra, amelyekben a foton abszorpció játszik szerepet.

Spontán emisszió spektrális intenzitása termikus egyensúlyban

Termikus egyensúlyban a félvezetőhöz egyetlen Fermi-függvény tartozik, úgy hogy (3.1) a következő alakban írható: $f_{e}(\nu )=f(E_{2})\left[1-f(E_{1})\right]$. Ha a Fermi-nívó a tiltott sáv belsejében fekszik, a sávszélektől legalább néhányszor $kT$ távolságra, akkor a Fermi-függvényekre használhatjuk az exponenciális közelítéseket, $f(E_{2})\approx e^{-(E_{2}-E_{f})/kT}$ és $1-f(E_{1})\approx e^{-(E_{f}-E_{1})/{kT}}$ , és ily módon

azaz

Behelyettesítve $\varrho (\nu )$-re (2.10)-et és $f_{e}(\nu )$-re (3.11)-et, a (3.7)-re azt kapjuk, hogy

ahol

a hőmérséklettel exponenciálisan növekvő paraméter. A spontán emisszió sebességére kapott (3.12) formulát a 3.1 ábrán a $h\nu $ függvényeként láthatjuk. Két tényezőt tartalmaz: az állapotsűrűséggel kapcsolatos függvényt, amely a $h\nu -E_{g}$ négyzetgyökével arányosan növekszik, és a Fermi-függvényből származó, a $h\nu -E_{g}$-vel exponenciálisan csökkenő függvényt.

3.1 Ábra: Direkt sáv-sáv átmenet $r_{sp}(\nu )$ spontán emissziós sebességének (fotonok/$\mathrm {s}-\mathrm {Hz}-\mathrm {cm^{3}}$) egy termikus egyensúlyban lévő félvezetőből származó spektrális intenzitása, $h\nu $ függvényeként. A spektrum egy alacsony frekvenciájú szakadást mutat $\nu =(E_{g}/h)$-nál, és kiterjed megközelítőleg $\ 2\mathrm {kT/\hbar }\ $ szélességű frekvencia tartományra.

A spontán emisszió sebessége megnövelhető az $f_{e}(\nu )$ megnövelésével. A (3.1)-gyel megegyezésében, ez elérhető, ha szándékosan előidézzük, hogy az anyag eltérjen a termikus egyensúlytól oly módon, hogy $f_{c}(E_{2})$ nagy legyen, $f_{v}(E_{1})$ pedig kicsi. Ez biztosítja mind az elektronok, mind a lyukak bőségét, amely egyébként is kívánatos egy LED működéséhez (l. később).

Erősítési tényező kvázi-egyensúlyban

A (3.8) és a (3.9) formulában a stimulált emisszió és az abszorpció sebességei közötti különbségnek megfelelő $\gamma _{0}(\nu )$ tiszta erősítési tényező meghatározásához tekintsünk egy egységnyi alapterületű és $dz$ differenciális hosszúságú hengert (l. 3.2 ábra), és tételezzük fel, hogy az átlagos spektrális fotonfluxus sűrűség a henger tengelyével párhuzamos irányú. Ha $\Phi _{\nu }(z)$, illetve $\Phi _{\nu }(z)+d\Phi _{\nu }(z)$ a hengerbe belépő, illetve az ezt elhagyó átlagos spektrális fotonfluxus sűrűség, akkor a $d\Phi _{\nu }(z)$-nek a henger belsejéből emittált átlagos spektrális fotonfluxus sűrűségnek kell lennie.

3.2 Ábra:

A fotonok idő-, frekvencia- és területegységenkénti növekedési száma egyszerűen az idő-, frekvencia- és térfogategységenként megnövekedett fotonszám $\left[r_{st}(\nu )-r_{ab}(\nu )\right]$ megszorozva a henger $dz$ magasságával. Ily módon $d\Phi _{\nu }(z)=\left[r_{st}(\nu )-r_{ab}(\nu )\right]dz$. Behelyettesítve a (3.8) és (3.9) sebességeket, a következő összefüggést kapjuk:

A tiszta erősítési tényező ennélfogva:

ahol az $f_{g}(\nu )$ Fermi inverziós faktort az alábbi egyenlet írja le:

amint ez (3.1)-ből és (3.2)-ből látható. A (2.10)-et használva, az erősítési tényezőt a következő alakba lehet írni:

ahol

Az $f_{g}(\nu )$ Fermi inverziós faktor előjelét és spektrális alakját $E_{fc}$ és $E_{fv}$ kvázi Fermi-nívók vezérlik, amelyek viszont függenek a félvezetőben lévő töltéshordozók gerjesztési állapotától. Meg lehet mutatni, hogy ez a faktor csak akkor pozitív, ha $E_{fc}-E_{fv}>h\nu $. Ha a félvezető elegendően magas nívóra van felpumpálva egy külső energiaforrás segítségével, akkor ez a feltétel kielégíthető és a tiszta erősítés elérhető. Ez a fizikai értelmezése a félvezető optikai erősítők és a lézerdiódák működésének.

Az abszorpciós koefficiens termikus egyensúlyban

Egy félvezető termikus egyensúlyban csak egyetlen Fermi-nívóval rendelkezik: $E_{f}=E_{fc}=E_{fv}$, úgy hogy

Az inverziós faktor előjele negatív (mivel $E_{2}>E_{1}$ és $f(E)$ monoton módon csökken $E$-vel): $f_{g}(\nu )=f_{c}(E_{2})-f_{v}(E_{1})=f(E_{2})-f(E_{1})<0$, és ennélfogva a $\gamma _{0}(\nu )$ erősítési tényező mindig negatív. Ez bármilyen helyzetű $E_{f}$ Fermi-nívóra igaz. Igy egy félvezető termikus egyensúlyban, akár intrinsic, akár adalékolt, mindig gyengíti a fényt. A gyengítési (abszorpciós) koefficiens, az $\alpha (\nu )=-\gamma _{0}(\nu )$, az alábbi módon írható:

ahol $E_{2}$ és $E_{1}$ a (2.6)-ban és a (2.7)-ben van megadva, $D_{1}$-et pedig a (3.18) formula határozza meg.

Ha $E_{f}$ a tiltott sáv belsejében fekszik, de a sávszélektől legalább néhányszor $kT$ energia távolságra, akkor $f(E_{1})\approx 1$ és $f(E_{2})\approx 0$, úgy hogy $\left[f(E_{1})-f(E_{2})\right]\approx 1$. Ebben az esetben a direkt sáv-sáv átmenet hozzájárulása az abszorpciós koefficienshez:

A (3.21) egyenletet illusztrálja a 3.3 ábra GaAs-re, az ábrázoláshoz a következő paramétereket használtuk: $n=3,6$, $m_{c}=0,07 m_{0}$, $m_{v}=0,50 m_{0}$, $m_{0}=9,1\cdot 10^{-31}\mathrm {kg}$, az adalékolási nívó pedig olyan, hogy $\tau _{r}=0,4\mathrm {ns}$ (ez különbözik a 4.1 táblázatban megadottól, mivel más az adalékolt nívó), $E_{g}=1,42\mathrm {eV}$, és a hőmérséklet olyan, hogy $\left[f(E_{1})-f(E_{2})\right]\approx 1$. Amint a hőmérséklet növekszik, $f(E_{1})-f(E_{2})$ az egység alá csökken, és az abszorpciós koefficiens (3.20) szerint csökken.

3.3 Ábra: A direkt sáv-sáv átmenetekből származó, számított $\alpha (\nu )(\mathrm {cm^{-1}})$ abszorpciós koefficiens, a $h\nu (\mathrm {eV})$ fotonenergia, illetve a $\lambda _{0}(\mathrm {\mu m})$ hullámhossz függvényében, GaAs-re. Ez az eredmény összehasonlítandó a 2.3 ábrán látható kísérleti eredménnyel, amely minden abszorpciós mechanizmust magába foglal.

A (3.21) formula szerint egy direkt tiltottsávú félvezetőben a sávszél közelében az abszorpció a $\sqrt {h\nu -E_{g}}$ függvény szerint változna. Az abszorpció meredek kezdete $h\nu =E_{g}$-nél azonban egy idealizált helyzetet tükröz. A 2.3 ábrán látható kísérleti görbéből látszik, hogy direkt tiltott sávú félvezetőkben általában megjelenik egy exponenciális abszorpciós nyúlvány – ez Urbach szabályként ismeretes – amelynek szélessége $\approx kT$, és amely kissé benyúlik a tiltott sávba. Ez a kristály termikus, valamint sztatikus rendezetlenségeitől, hibáitól származik, mint pl. a fononok keltéséből az abszorpció során, valamint az adalékolt atomok véletlenszerű eloszlásából, illetve az anyagi összetétel változásaiból.

Indirekt tiltott sávú félvezetőkben (Ge, Si és GaP) a sávszél közeli abszorpció általában a $(h\nu -E_{g})^{2}$ alakot követi, a négyzetgyök alatti összefüggés a direkt tiltott sávú félvezetőkre alkalmazható.

Foton kölcsönhatások kvantumosan korlátozott struktúrákban

Multikvantum-gödör (MQW) és szuperrács struktúrákat korábban már tanulmányoztunk. Ezekben a struktúrákban a fotonkölcsönhatások meglehetősen hasonlítanak a tömbi félvezetőkben fellépő kölcsönhatásokhoz. Néhány mechanizmus fontos szerepet játszik kvantumosan korlátozott struktúrák abszorpciójában és emissziójában:

• Sávok közötti (sáv-sáv) átmenetek
• Exciton átmenetek
• Alsávok közötti átmenetek
• Minisáv átmenetek

Ezeket az átmeneteket illusztráljuk a 3.4 ábrán.

• Sávok közötti (sáv-sáv) átmenetek. Sávok közötti emisszió és abszorpció megy végbe a valencia- és a vezetési sávok állapotai között (3.4 (a) ábra). A kvantum-korlátozás miatt azonban a $\varrho (\nu )=(2m_{r})^{2/3}\cdot \sqrt {h\nu -E_{g}}/\pi h^{2}\quad (h\nu \ge E_{g})$ optikai kombinált állapotsűrűséget egy másik állapotsűrűséggel kell helyettesíteni (l. (2.12)). A sávok közötti átmenetek a felelősek a fényemittáló diódák, a szuperlumineszcencia diódák, és a lézerdióda, valamint az MQW elektroabszorpciós modulátorok működéséért.
• Exciton átmenetek. A töltéshordozók bezáródása, korlátozása 1-dimenziós MQW struktúrába, az exciton kötési energiájában növekedést eredményez. Ez erős exciton átmenetekhez vezet (3.4 (b) ábra) még $T=300\mathrm {K}$-nél is. Az exciton átmenetek fontos szerepet játszanak számos kvantum korlátozott készülékben, beleértve az MQW elektroabszorpciós modulátorokat is.

• Alsávok közötti átmenetek. Azokat az átmeneteket, amelyek egy MQW struktúra egyetlen sávján belüli energianívók között (3.4 (c) ábra) jönnek létre, alsávok közötti átmeneteknek hívjuk. A sávon belüli átmenetek alapján működő eszközök közé tartoznak pl. az ún. kvantum-gödör kvantum-kaszkád lézerek, valamint a kvantum-gödör infravörös fotodetektorok. Az utóbbi készülékekben egy foton abszorpciója okoz egy átmenetet egy kötött energianívóról a kontinuumba. A töltéshordozók pikoszekundumos dinamikája nagy sávszélességeket nyújt.

• Minisáv átmenetek. Szuperrácsokban az MQW diszkrét energianívói minisávokká szélesednek, amelyeket mini tiltott sávok választanak el egymástól. Ilyen mini sáv átmenetek (3.4 (d) ábra) kritikus szerepet játszanak a szuperrács kvantum kaszkád lézerek működésében. Ilyen átmenetek, éppen úgy mint az alsávok közötti átmenetek gyors relaxációt és jelentős nemlinearitást mutatnak, és ennélfogva reményt kínálnak olyan alkalmazásokra mint az optikai kapcsolók.