Optikai állandók

- Optikai jellemzők és állandók
- Optikai állandók meghatározásának kísérleti módszerei
Optikai jellemzők és állandók
-
Az elektromágneses hullám teljes jellemzésére öt, egymástól független mennyiséget szükséges megadni: a terjedés irányát, a frekvenciát, az amplitúdót, a rezgés fázisát és a polarizációt. Mindezek a mennyiségek – ha a hullám két közeget elválasztó határfelületen halad keresztül – általában megváltoznak. Az ebben az esetben keletkező optikai jelenségeket az R reflexióképesség és a T áteresztőképességgel szokás leírni. R a testre eső sugárzási energiának az a tört része, amelyet a test visszaver, T pedig a testre eső sugárzási energiának az a tört része , amelyet a test átereszt. Néha bevezetik az A abszorpcióképesség fogalmát is, amely a mintában a hullám energiacsökkenésének a jellemzésére szolgál, azaz az A a mintára eső sugárzási energiának az a tört része, amelyet a test elnyel, tehát nem ereszt át és nem ver vissza. Nyilvánvaló, hogy A=1−(R+T).
Számos esetben az optikai jelenségek leírására nemcsak az amplitúdókat kell vizsgálni, hanem a két közeget elválasztó határfelületen a fázisviszonyokat is. Ez utóbbiakkal kapcsolatosak a mintán áthaladó hullám reflexiójánál és transzmissziójánál δR és δT fáziseltolódások.
Az R, T, A , δR , δT mennyiségek összességét a közeg optikai jellemzőinek szokás nevezni. Ezek a mennyiségek függenek az anyag természetétől, a beesés szögétől, a hullámhossztól és a minta vastagságától. Abból a célból, hogy feltárjuk ezeknek a függőségeknek a jellegét, meg kell vizsgálni a fény és a kristály közötti kölcsönhatás mechanizmusait. Az optikai jellemzők és azok szögfüggéseinek a kiszámításánál azonban a Maxwell-egyenleteken alapuló egyszerű fenomenologikus elméletre szorítkozhatunk. Ez összeköti az ismert optikai jelenségeket (a fény törését, reflexióját, abszorpcióját) a fényhullám terjedési körülményeinek a megváltozásával. A terjedés körülményeit három elektromos paraméter együttese határozza meg: az ε dielektromos állandó, a σ elektromos vezetőképesség és a μ mágneses permeabilitás. Az ε , σ és μ paraméterek értékeit megadva az elektromágneses hullám viselkedését le lehet írni, tetszőleges közegben. A fényhullámoknak dielektrikumban és vezető közegben való terjedésének alapvető törvényszerűségeit az elektrodinamika tárgyalja részletesen.
- Az elektromágneses sugárzás terjedését félvezető anyagban – ha nincs benne makroszkopikus töltéssűrűség – a
rotE=−μ0μ∂H∂t,divE=0, (1.1) rotH=ε0ε∂E∂t+σE,divH=0 (1.2) Maxwell-egyenletek megoldásaival írhatjuk le. Az (1.1)-(1.2) egyenletekben E és H az elektromos és mágneses térerősség amplitúdói, ε0 a vákuum dielektromos állandó (ε0=(4π⋅9⋅109)−1As/Vm), μ0 a vákuum mágneses permeabilitása (μ0=4π⋅10−7Vs/Am), σ a fajlagos elektromos vezetőképesség, ε a dielektromos állandó, μ a mágneses permeabilitás (σ , ε , μ az ω frekvencia függvényei).
Képezve a rotE-t tartalmazó egyenlet rotációját, a rot rotE=grad divE−△E azonosság segítségével, továbbá a grad divE=0 (l. (1.1)) felhasználásával a következő összefüggést nyerjük:
△E=μμ0σ∂E∂t+μεμ0ε0∂2E∂t2. (1.3) Hasonló egyenletet kapunk a H mágneses térerősség vektorra is. Az E elektromos térerősség vektorra vonatkozó (1.3) egyenlet lehetséges megoldásainak egyike a következő alakban kereshető:
E=E0eiω(t−zv), (1.4) amely egy z-irányban v sebességgel haladó, ω frekvenciájú monokromatikus síkhullámot reprezentál. Az (1.4) síkhullám megoldás akkor elégíti ki az (1.3) egyenletet, ha teljesül a következő feltétel:
1v2=μεμ0ε0−iσμμ0ω. (1.5) Figyelembe véve, hogy c2=(μ0ε0)−1 , az (1.5) egyenlet az alábbi alakot veszi fel:
1v2=1c2(με−iσμωε0)=1c2˜n2. (1.6) Tekintettel arra, hogy azt a tényezőt, amely megadja, hogy az elektromágneses hullám sebessége a közegben hányadrésze a vákuumbeli fénysebességnek, a közeg törésmutatójának nevezzük, ezért (1.6) éppen az
˜n=n−ik (1.7) komplex törésmutatót határozna meg; n a törésmutató valós részét (egyszerűen törésmutatót), k pedig az ún. abszorpciómutatót jelenti. Mivel az optikai tartományban a félvezetők többsége gyenge mágneses tulajdonságokkal rendelkezik, μ≈1 értékkel számolhatunk. Ily módon az (1.6) és (1.7) egyenletekből következik, hogy
n2−k2=ε, (1.8) és
2nk=σωε0. (1.9) A fenti összefüggések segítségével – viszonylag kevés számolással – külön-külön kifejezhetjük n-et és k-t az ε dielektromos állandóval és a σ fajlagos elektromos vezetőképességgel. Az ε és σ helyett gyakran célszerű bevezetni az
˜ε=(n−ik)2=ε−iσωε0=ε′−iε′′ (1.10) komplex dielektromos állandót, vagy külön választva a valós és a képzetes részt:
ε′(ω)=n2−k2, (1.11) ε′′(ω)=σωε0=2nk. (1.12) - Az oksági elvből és a komplex változók tulajdonságaiból kiindulva Kramers és Kronig kapcsolatot talált a komplex dielektromos állandó valós és képzetes része között:
ε′(ω0)=(n2−k2)ω0=1+2π∫∞0ωε′′(ω)ω2−ω20dω=1+2π∫∞02nkωω2−ω20dω. (1.13) és
ε′′(ω0)=(2nk)ω0=−2ω0π∫∞0ε′(ω)ω2−ω20dω=−2ω0π∫∞0n2−k2ω2−ω20dω. (1.14) Tehát, pl. az (1.13) formula szerint ε′-t ki lehet számítani a (0,∞) frekvenciaintervallumban egy tetszés szerinti ω0 frekvenciánál, ha ismerjük az ε′′(ω)-t a 0 és ∞ frekvenciatartományban, és ez természetesen fordítva is igaz.
Hasonlóképpen közvetlen összefüggés írható fel a törésmutató és az abszorpciómutató között is:
n(ω0)=1+2π∫∞0ωk(ω)ω2−ω20dω, (1.15) és
k(ω0)=−2ω0π∫∞0n(ω)ω2−ω20dω. (1.16) - Helyettesítsük most be az (1.4)-ben szereplő v helyébe a v=c/˜n=c/(n−ik) kifejezést. Ekkor
E=E0eiω(t−z˜nc)=E0eiω[t−(n−ik)zc]=E0e−ωkcz⋅eiω(t−nzc). (1.17) Látható, hogy az elektromágneses hullám gyengülésének mértékét a félvezető anyagban a k abszorpciómutató jellemzi. Mivel a kísérletek során közvetlenül nem a hullám amplitúdóját, hanem az energiáját, ill. a fény intenzitását mérjük, amelyet viszont az [E×H] Poynting-vektor periódus szerint átlagolt értéke határoz meg. Mivel, mind az E , mind a H amplitúdó arányos e−(ωk/c)z-vel, ezért az intenzitás a távolsággal e−(2ωk/c)z szerint csökken. Az
α=2ωkc=4πkλ (1.18) mennyiséget, amely az exponenciális kitevőjében szerepel, abszorpciós együtthatónak nevezzük. Az α jelentését a következőképpen fogalmazhatjuk meg: az α számszerűen annak az anyagréteg-vastagságnak a reciprokát jelenti, amelyben az elektromágneses hullám intenzitása az e-ed részére csökken. Ily módon a félvezető anyagot két optikai állandóval jellemezhetjük: vagy az n és k, vagy az n és α mennyiségekkel. Segítségükkel leírható a fény reflexiója, törése és abszorpciója a vezető közegben.
Optikai állandók meghatározásának kísérleti módszerei
Mivel az n törésmutató és a k abszorpciómutató (vagy az α abszorpciós együttható) közvetlen kapcsolatban van a kristály mikroszkopikus paramétereivel, ezért az anyag szerkezetének optikai módszerekkel való tanulmányozására mindenekelőtt meg kell határoznunk külön-külön az n és k ; vagy az n2−k2 és a 2nk mennyiségeket széles hullámhossztartományban és a kristály különböző hőmérsékleténél. Az optikai állandók meghatározásának különböző módszerei két csoportra oszthatók: az elsőben az n és k kiszámítása a reflexióképesség, a másodikban a transzmisszióképesség mérése alapján történik. Az alkalmazandó módszer nagymértékben függ attól, hogy milyen hullámhossztartományban akarjuk a méréseket végezni és, hogy milyen mintavastagság áll a rendelkezésünkre.
-
Két különböző törésmutatójú 1-es és 2-es közeg határfelületére az 1-es közeg felől beeső elektromágneses síkhullám egy része az elválasztó határfelületen visszaverődve, az 1-es közegben folytatja útját, míg a másik része megtörik és a 2-es közegben halad tovább (1.1 ábra). Legyen az 1-es közeg vákuum (n1=1) és a 2-es közeg pedig dielektrikum (n2=n). A beeső E, és a visszavert E′, a megtört E′′ amplitúdók, valamint a φ beesési szög, a φ′′ törési szög között az összefüggéseket a Fresnel-féle formulák szolgáltatják:
E′s=−sin(φ−φ′′)sin(φ+φ′′)Es, (1.19) E′p=−tg(φ−φ′′)tg(φ+φ′′)Ep, (1.20) ahol a p és s indexek a beesési síknak és a rá merőleges síknak felelnek meg (l. 1.1 ábra). Az egyenletek bevezetésénél feltételeztük, hogy μ1=μ2=1.
1.1 Ábra: Az E beeső-, az E′ visszavert- és az E′′ elektromos térerősség vektorok komponenseinek amplitúdói, két különböző közeg határánál.Az (1.19)-(1.20) összefüggések abban az esetben is érvényesek, ha pl. a 2-es közeg törésmutatója komplex. Ekkor azonban a φ′′ törési szög is komplex mennyiség:
n−ik=sinφsinφ′′. (1.21) A Fresnel-féle formulák felhasználásával az R visszaverőképességet (reflexióképességet) a következőképpen írhatjuk fel:
Rs=|E′sEs|2, (1.22) vagy
Rp=|E′pEp|2. (1.23) A Fresnel-formulákból látható, hogy Rs és Rp bonyolult módon függ a beesés szögétől, E orientációjától, az n és k optikai állandóktól. Normális beesésnél (φ=φ′′=0) a reflexiós együtthatónak az n és k optikai állandókkal való kapcsolata leegyszerűsödik:
R=Rs=Rp=(n−1)2+k2(n+1)2+k2, (1.24) azonban ebből az egyenletből mindkét konstansnak (n és k) a meghatározása nem lehetséges.
- Az n és k meghatározása reflexió- és transzmisszióképesség mérése alapján
Az n2≫k2 esetben, vagyis ha abban a spektrumtartományban végzünk pl. reflexiós méréseket, ahol a k abszorpciómutató kicsi az n törésmutatóhoz képest, az (1.24) összefüggés a következő alakot veszi fel:
R=(n−1n+1)2. (1.25) Ez a formula felhasználható a törésmutató meghatározására, ha merőleges (vagy közel merőleges) fénybeesés esetén mérjük az R reflexióképességet.
Az (1.25) alapján ugyanis azt írhatjuk, hogy
n=1+√R1−√R. (1.26) Ha a félvezető kristályból készített n törésmutatójú minta plánparallel alakú lemez, amelyet levegő vesz körül, a T transzmisszióképességet – ha eltekintünk az interferencia jelenségtől és a minta abszorpciójától – a következő formulával adhatjuk meg (l. 1.2 ábra):
T=1I0∞∑i=1Ii=(1−R)2(1+R2+R4+⋯)=1−R1+R=2nn2+1. (1.27) 1.2 Ábra: Nem abszorbeáló lemez visszaverő- és áteresztőképességének meghatározása a lemez belsejében való visszaverődés többszörös figyelembevétele és az interferencia elhanyagolása esetén.Ily módon a T mérése alapján az R reflexiós együtthatót, az (1.26) figyelembe vételével pedig az n törésmutatót meghatározhatjuk:
n=1+√R1−√R=1+√1−T1+T1−√1−T1+T. (1.28) Ha a félvezetőből készített d vastagságú, plánparallel lemez T áteresztőképességének meghatározásánál nem kell figyelembe venni az interferencia jelenségét, de számolnunk kell viszonylag gyenge abszorpcióval (k≠0 vagy α≠0 és n2≫k2 , azaz (αλ/4πn)<1), akkor az 1−R1+R>T>0,1 , vagy αd<1 feltételek teljesülése esetén az α-t a következő formulákból számíthatjuk ki:
T=(1−R)2e−αd1−R2e−2αd. (1.29) Ez a formula tovább egyszerűsödik, ha R2e−2αd≪1 (vagy 0<T<0,1):
T=(1−R)2e−αd, (1.30) amiből
α=1dln(1−R)2T. (1.31) Eszerint, ha az adott félvezető kristályból két, d1 és d2 vastagságú mintát készítünk úgy, hogy teljesüljön az αd1>1 és αd2>1 (vagy T1,T2<0,1) feltétel, akkor
α=1d2−d1lnT1T2. (1.32) - Gyengén abszorbeáló kristály törésmutatóját meghatározhatjuk az Rp reflexiós együtthatónak(vagy az Rp/Rs -nek) a beesési szögtől való függéséből is. Arra a φB szögre (az ún. Brewster-szögre) ugyanis, amelynél Rp minimális értékű (l. 1.3 ábra) érvényes a következő összefüggés
n=tgφB. (1.33) 1.3 Ábra: Tiszta szilícium kristály reflexiós együtthatóira vonatkozó elméleti görbék.1.4 Ábra: A prizmán keresztülhaladó sugármenet a minimális eltérülési szögnél. - Nagy áteresztőképességgel rendelkező anyagok törésmutatójának meghatározására szolgál az ún. prizma-módszer. A vizsgált anyagból egy φ törőszögű prizmát készítünk, majd meghatározzuk a δmin minimális eltérítés szögét (1.4 ábra). A δmin-nél a prizmába való fénybelépés szöge megegyezik a kilépés szögével. Ekkor:
n=sinφ+δmin2sinφ2. (1.34) - Az n és k meghatározása az interferenciasávok alapján
Ha a fény egy olyan nem abszorbeáló síkpárhuzamos (planparallel) félvezető rétegen halad át, amelynek vastagsága összemérhető a fény hullámhosszával, akkor a T(λ) transzmissziós spektrumban interferenciasávok keletkeznek. Az 1.5 ábrán egy nem abszorbeáló anyagból készült síkpárhuzamos lemez interferenciás spektruma látható, a fény merőleges beesése esetén.
1.5 Ábra:A T áteresztőképességnek a λ hullámhossztól, az n törésmutatótól és a minta d vastagságától való függését – (1.27) helyett – a következő formula írja le:
T=(1−R12)21+R212−2R12cosδ, (1.35) ahol δ=4πλnd és R12=(n−1n+1)2.
A réteg reflexióját az
R=1−T (1.36) energiamegmaradás törvénye alapján határozhatjuk meg. Az (1.35) formulából következik, hogy a T(λ) spektrumban a
λmax=4ndm,m=2,4,6,⋯ (1.37) hullámhosszaknál maximumok figyelhetők meg, míg
λmin=4ndm,m=1,3,5,⋯ (1.38) hullámhosszaknál minimumok.
Amennyiben n(λ)=konst. értékkel számolhatunk, akkor a T(λ) spektrumban két, szomszédos szélsőértéknek megfelelő λm és λm−1 hullámhosszak ismeretében a
2nd=mλm=(m−1)λm−1 (1.39) egyenlőségből az nd szorzatot, d ismeretében a törésmutatót a következőképpen adhatjuk meg:
n=λm⋅λm−12d(λm−1−λm). (1.40) - A vékony, gyengén abszorbeáló (n2≫k2), hordozó nélküli plánparallel kristálylemez áteresztőképessége a következő kifejezéssel adható meg:
T=16n2e−αd(n+1)4+(n−1)4e−2αd−2(n2−1)2cos4πλnd. (1.41) Amennyiben a törésmutató gyengén változik a hullámhosszal, akkor az interferenciasávok maximális és minimális értékeinek, továbbá az ezeknek megfelelő hullámhosszaknak az ismeretében meghatározható az n(λ) és az α(λ) görbe.
- Az n és k meghatározása a poláros fény reflexió utáni polarizációs állapotának analíziséből
Az n és k optikai konstansokat abban a spektrumtartományban, ahol n≤k , gyakorlatilag csak reflexióképességre vonatkozó adatok alapján lehetséges meghatározni, mivel nehéz olyan mintákat készíteni, amelyek elegendően vékonyak transzmissziós mérésekhez. Ez a helyzet félvezetőknél pl. alapabszorpciós tartományban (ahol n≤k), vagy erősen szennyezett félvezetőknél és félfémeknél a teljes spektrumtartományban. Ilyen esetekben az optikai konstansok meghatározása céljából oly módon járunk el, hogy a minta felületére különböző szögek alatt beeső lineárisan poláros fény reflexió utáni polarizációs állapotát analizáljuk. A mintára különböző szögek alatt beeső lineárisan poláros fény az anyag felületéről való visszaverődés után elliptikusan polárossá válik, és az ellipszis paraméterei közvetlen kapcsolatban vannak az n és k optikai konstansokkal.

˜n=n−ik | (1.42) |
és az
˜n2=ε−σωε0 | (1.43) |
összefüggések felhasználásával. Feltételezzük, hogy μ=1.

T+R¨o=1. | (1.44) |

Az animáció segítségével felidézhetjük a prizmáról mint optikai elemről tanultakat. Hosszas számítások nélkül felfedezhetjük a minimális eltérítés szögére vonatkozó összefüggést. A prizma törőszöge és törésmutatója csúszkák segítségével beállítható, majd a beesési szöget változtatva függvény grafikonról is leolvashatjuk, hogy mely szögnél térül le legkevésbé a fénysugár eredeti irányától. |
Licensed under the Creative Commons Attribution 3.0 License
Félvezető optika