Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Optikai állandók

IDevice Icon Bevezetés:
  • Optikai jellemzők és állandók
  • Optikai állandók meghatározásának kísérleti módszerei

Optikai jellemzők és állandók

  • Az elektromágneses hullám teljes jellemzésére öt, egymástól független mennyiséget szükséges megadni: a terjedés irányát, a frekvenciát, az amplitúdót, a rezgés fázisát és a polarizációt. Mindezek a mennyiségek – ha a hullám két közeget elválasztó határfelületen halad keresztül – általában megváltoznak. Az ebben az esetben keletkező optikai jelenségeket az R reflexióképesség és a T áteresztőképességgel szokás leírni. R a testre eső sugárzási energiának az a tört része, amelyet a test visszaver, T pedig a testre eső sugárzási energiának az a tört része , amelyet a test átereszt. Néha bevezetik az A abszorpcióképesség fogalmát is, amely a mintában a hullám energiacsökkenésének a jellemzésére szolgál, azaz az A a mintára eső sugárzási energiának az a tört része, amelyet a test elnyel, tehát nem ereszt át és nem ver vissza. Nyilvánvaló, hogy A=1(R+T).

    Számos esetben az optikai jelenségek leírására nemcsak az amplitúdókat kell vizsgálni, hanem a két közeget elválasztó határfelületen a fázisviszonyokat is. Ez utóbbiakkal kapcsolatosak a mintán áthaladó hullám reflexiójánál és transzmissziójánál δR és δT fáziseltolódások.

    Az R, T, A , δR , δT mennyiségek összességét a közeg optikai jellemzőinek szokás nevezni. Ezek a mennyiségek függenek az anyag természetétől, a beesés szögétől, a hullámhossztól és a minta vastagságától. Abból a célból, hogy feltárjuk ezeknek a függőségeknek a jellegét, meg kell vizsgálni a fény és a kristály közötti kölcsönhatás mechanizmusait. Az optikai jellemzők és azok szögfüggéseinek a kiszámításánál azonban a Maxwell-egyenleteken alapuló egyszerű fenomenologikus elméletre szorítkozhatunk. Ez összeköti az ismert optikai jelenségeket (a fény törését, reflexióját, abszorpcióját) a fényhullám terjedési körülményeinek a megváltozásával. A terjedés körülményeit három elektromos paraméter együttese határozza meg: az ε dielektromos állandó, a σ elektromos vezetőképesség és a μ mágneses permeabilitás. Az ε , σ és μ paraméterek értékeit megadva az elektromágneses hullám viselkedését le lehet írni, tetszőleges közegben. A fényhullámoknak dielektrikumban és vezető közegben való terjedésének alapvető törvényszerűségeit az elektrodinamika tárgyalja részletesen.

  • Az elektromágneses sugárzás terjedését félvezető anyagban – ha nincs benne makroszkopikus töltéssűrűség – a
      rotE=μ0μHt,divE=0,   (1.1)
      rotH=ε0εEt+σE,divH=0   (1.2)

    Maxwell-egyenletek megoldásaival írhatjuk le. Az (1.1)-(1.2) egyenletekben E és H az elektromos és mágneses térerősség amplitúdói, ε0 a vákuum dielektromos állandó (ε0=(4π9109)1As/Vm), μ0 a vákuum mágneses permeabilitása (μ0=4π107Vs/Am), σ a fajlagos elektromos vezetőképesség, ε a dielektromos állandó, μ a mágneses permeabilitás (σ , ε , μ az ω frekvencia függvényei).

    Képezve a rotE-t tartalmazó egyenlet rotációját, a rot rotE=grad divEE azonosság segítségével, továbbá a grad divE=0 (l. (1.1)) felhasználásával a következő összefüggést nyerjük:

      E=μμ0σEt+μεμ0ε02Et2.   (1.3)

    Hasonló egyenletet kapunk a H mágneses térerősség vektorra is. Az E elektromos térerősség vektorra vonatkozó (1.3) egyenlet lehetséges megoldásainak egyike a következő alakban kereshető:

      E=E0eiω(tzv),   (1.4)

    amely egy z-irányban v sebességgel haladó, ω frekvenciájú monokromatikus síkhullámot reprezentál. Az (1.4) síkhullám megoldás akkor elégíti ki az (1.3) egyenletet, ha teljesül a következő feltétel:

      1v2=μεμ0ε0iσμμ0ω.   (1.5)

    Figyelembe véve, hogy c2=(μ0ε0)1 , az (1.5) egyenlet az alábbi alakot veszi fel:

      1v2=1c2(μεiσμωε0)=1c2˜n2.   (1.6)

    Tekintettel arra, hogy azt a tényezőt, amely megadja, hogy az elektromágneses hullám sebessége a közegben hányadrésze a vákuumbeli fénysebességnek, a közeg törésmutatójának nevezzük, ezért (1.6) éppen az

      ˜n=nik   (1.7)

    komplex törésmutatót határozna meg; n a törésmutató valós részét (egyszerűen törésmutatót), k pedig az ún. abszorpciómutatót jelenti. Mivel az optikai tartományban a félvezetők többsége gyenge mágneses tulajdonságokkal rendelkezik, μ1 értékkel számolhatunk. Ily módon az (1.6) és (1.7) egyenletekből következik, hogy

      n2k2=ε,   (1.8)

    és

      2nk=σωε0.   (1.9)

    A fenti összefüggések segítségével – viszonylag kevés számolással – külön-külön kifejezhetjük n-et és k-t az ε dielektromos állandóval és a σ fajlagos elektromos vezetőképességgel. Az ε és σ helyett gyakran célszerű bevezetni az

      ˜ε=(nik)2=εiσωε0=εiε   (1.10)

    komplex dielektromos állandót, vagy külön választva a valós és a képzetes részt:

      ε(ω)=n2k2,   (1.11)
      ε(ω)=σωε0=2nk.   (1.12)
  • Az oksági elvből és a komplex változók tulajdonságaiból kiindulva Kramers és Kronig kapcsolatot talált a komplex dielektromos állandó valós és képzetes része között:
      ε(ω0)=(n2k2)ω0=1+2π0ωε(ω)ω2ω20dω=1+2π02nkωω2ω20dω.   (1.13)

    és

      ε(ω0)=(2nk)ω0=2ω0π0ε(ω)ω2ω20dω=2ω0π0n2k2ω2ω20dω.   (1.14)

    Tehát, pl. az (1.13) formula szerint ε-t ki lehet számítani a (0,) frekvenciaintervallumban egy tetszés szerinti ω0 frekvenciánál, ha ismerjük az ε(ω)-t a 0 és frekvenciatartományban, és ez természetesen fordítva is igaz.

    Hasonlóképpen közvetlen összefüggés írható fel a törésmutató és az abszorpciómutató között is:

      n(ω0)=1+2π0ωk(ω)ω2ω20dω,   (1.15)

    és

      k(ω0)=2ω0π0n(ω)ω2ω20dω.   (1.16)
  • Helyettesítsük most be az (1.4)-ben szereplő v helyébe a v=c/˜n=c/(nik) kifejezést. Ekkor
      E=E0eiω(tz˜nc)=E0eiω[t(nik)zc]=E0eωkczeiω(tnzc).   (1.17)

    Látható, hogy az elektromágneses hullám gyengülésének mértékét a félvezető anyagban a k abszorpciómutató jellemzi. Mivel a kísérletek során közvetlenül nem a hullám amplitúdóját, hanem az energiáját, ill. a fény intenzitását mérjük, amelyet viszont az [E×H] Poynting-vektor periódus szerint átlagolt értéke határoz meg. Mivel, mind az E , mind a H amplitúdó arányos e(ωk/c)z-vel, ezért az intenzitás a távolsággal e(2ωk/c)z szerint csökken. Az

      α=2ωkc=4πkλ   (1.18)

    mennyiséget, amely az exponenciális kitevőjében szerepel, abszorpciós együtthatónak nevezzük. Az α jelentését a következőképpen fogalmazhatjuk meg: az α számszerűen annak az anyagréteg-vastagságnak a reciprokát jelenti, amelyben az elektromágneses hullám intenzitása az e-ed részére csökken. Ily módon a félvezető anyagot két optikai állandóval jellemezhetjük: vagy az n és k, vagy az n és α mennyiségekkel. Segítségükkel leírható a fény reflexiója, törése és abszorpciója a vezető közegben.

Optikai állandók meghatározásának kísérleti módszerei

Mivel az n törésmutató és a k abszorpciómutató (vagy az α abszorpciós együttható) közvetlen kapcsolatban van a kristály mikroszkopikus paramétereivel, ezért az anyag szerkezetének optikai módszerekkel való tanulmányozására mindenekelőtt meg kell határoznunk külön-külön az n és k ; vagy az n2k2 és a 2nk mennyiségeket széles hullámhossztartományban és a kristály különböző hőmérsékleténél. Az optikai állandók meghatározásának különböző módszerei két csoportra oszthatók: az elsőben az n és k kiszámítása a reflexióképesség, a másodikban a transzmisszióképesség mérése alapján történik. Az alkalmazandó módszer nagymértékben függ attól, hogy milyen hullámhossztartományban akarjuk a méréseket végezni és, hogy milyen mintavastagság áll a rendelkezésünkre.

  • Két különböző törésmutatójú 1-es és 2-es közeg határfelületére az 1-es közeg felől beeső elektromágneses síkhullám egy része az elválasztó határfelületen visszaverődve, az 1-es közegben folytatja útját, míg a másik része megtörik és a 2-es közegben halad tovább (1.1 ábra). Legyen az 1-es közeg vákuum (n1=1) és a 2-es közeg pedig dielektrikum (n2=n). A beeső E, és a visszavert E, a megtört E amplitúdók, valamint a φ beesési szög, a φ törési szög között az összefüggéseket a Fresnel-féle formulák szolgáltatják:
      Es=sin(φφ)sin(φ+φ)Es,   (1.19)
      Ep=tg(φφ)tg(φ+φ)Ep,   (1.20)

    ahol a p és s indexek a beesési síknak és a rá merőleges síknak felelnek meg (l. 1.1 ábra). Az egyenletek bevezetésénél feltételeztük, hogy μ1=μ2=1.

    \includegraphics[width=300px]{6-1-Abra.png}
    1.1 Ábra: Az E beeső-, az E visszavert- és az E elektromos térerősség vektorok komponenseinek amplitúdói, két különböző közeg határánál.

    Az (1.19)-(1.20) összefüggések abban az esetben is érvényesek, ha pl. a 2-es közeg törésmutatója komplex. Ekkor azonban a φ törési szög is komplex mennyiség:

      nik=sinφsinφ.   (1.21)

    A Fresnel-féle formulák felhasználásával az R visszaverőképességet (reflexióképességet) a következőképpen írhatjuk fel:

      Rs=|EsEs|2,   (1.22)

    vagy

      Rp=|EpEp|2.   (1.23)

    A Fresnel-formulákból látható, hogy Rs és Rp bonyolult módon függ a beesés szögétől, E orientációjától, az n és k optikai állandóktól. Normális beesésnél (φ=φ=0) a reflexiós együtthatónak az n és k optikai állandókkal való kapcsolata leegyszerűsödik:

      R=Rs=Rp=(n1)2+k2(n+1)2+k2,   (1.24)

    azonban ebből az egyenletből mindkét konstansnak (n és k) a meghatározása nem lehetséges.

  • Az n és k meghatározása reflexió- és transzmisszióképesség mérése alapján

    Az n2k2 esetben, vagyis ha abban a spektrumtartományban végzünk pl. reflexiós méréseket, ahol a k abszorpciómutató kicsi az n törésmutatóhoz képest, az (1.24) összefüggés a következő alakot veszi fel:

      R=(n1n+1)2.   (1.25)

    Ez a formula felhasználható a törésmutató meghatározására, ha merőleges (vagy közel merőleges) fénybeesés esetén mérjük az R reflexióképességet.

    Az (1.25) alapján ugyanis azt írhatjuk, hogy

      n=1+R1R.   (1.26)

    Ha a félvezető kristályból készített n törésmutatójú minta plánparallel alakú lemez, amelyet levegő vesz körül, a T transzmisszióképességet – ha eltekintünk az interferencia jelenségtől és a minta abszorpciójától – a következő formulával adhatjuk meg (l. 1.2 ábra):

      T=1I0i=1Ii=(1R)2(1+R2+R4+)=1R1+R=2nn2+1.   (1.27)
    \includegraphics[width=375px]{6-2-Abra.png}
    1.2 Ábra: Nem abszorbeáló lemez visszaverő- és áteresztőképességének meghatározása a lemez belsejében való visszaverődés többszörös figyelembevétele és az interferencia elhanyagolása esetén.

    Ily módon a T mérése alapján az R reflexiós együtthatót, az (1.26) figyelembe vételével pedig az n törésmutatót meghatározhatjuk:

      n=1+R1R=1+1T1+T11T1+T.   (1.28)

    Ha a félvezetőből készített d vastagságú, plánparallel lemez T áteresztőképességének meghatározásánál nem kell figyelembe venni az interferencia jelenségét, de számolnunk kell viszonylag gyenge abszorpcióval (k0 vagy α0 és n2k2 , azaz (αλ/4πn)<1), akkor az 1R1+R>T>0,1 , vagy αd<1 feltételek teljesülése esetén az α-t a következő formulákból számíthatjuk ki:

      T=(1R)2eαd1R2e2αd.   (1.29)

    Ez a formula tovább egyszerűsödik, ha R2e2αd1 (vagy 0<T<0,1):

      T=(1R)2eαd,   (1.30)

    amiből

      α=1dln(1R)2T.   (1.31)

    Eszerint, ha az adott félvezető kristályból két, d1 és d2 vastagságú mintát készítünk úgy, hogy teljesüljön az αd1>1 és αd2>1 (vagy T1,T2<0,1) feltétel, akkor

      α=1d2d1lnT1T2.   (1.32)
  • Gyengén abszorbeáló kristály törésmutatóját meghatározhatjuk az Rp reflexiós együtthatónak(vagy az Rp/Rs -nek) a beesési szögtől való függéséből is. Arra a φB szögre (az ún. Brewster-szögre) ugyanis, amelynél Rp minimális értékű (l. 1.3 ábra) érvényes a következő összefüggés
      n=tgφB.   (1.33)
    \includegraphics[width=375px]{6-3-Abra_2.png}
    1.3 Ábra: Tiszta szilícium kristály reflexiós együtthatóira vonatkozó elméleti görbék.
    \includegraphics[width=375px]{6-4-Abra.png}
    1.4 Ábra: A prizmán keresztülhaladó sugármenet a minimális eltérülési szögnél.
  • Nagy áteresztőképességgel rendelkező anyagok törésmutatójának meghatározására szolgál az ún. prizma-módszer. A vizsgált anyagból egy φ törőszögű prizmát készítünk, majd meghatározzuk a δmin minimális eltérítés szögét (1.4 ábra). A δmin-nél a prizmába való fénybelépés szöge megegyezik a kilépés szögével. Ekkor:
      n=sinφ+δmin2sinφ2.   (1.34)
  • Az n és k meghatározása az interferenciasávok alapján

    Ha a fény egy olyan nem abszorbeáló síkpárhuzamos (planparallel) félvezető rétegen halad át, amelynek vastagsága összemérhető a fény hullámhosszával, akkor a T(λ) transzmissziós spektrumban interferenciasávok keletkeznek. Az 1.5 ábrán egy nem abszorbeáló anyagból készült síkpárhuzamos lemez interferenciás spektruma látható, a fény merőleges beesése esetén.

    \includegraphics[width=375px]{6-5-Abra.png}
    1.5 Ábra:

    A T áteresztőképességnek a λ hullámhossztól, az n törésmutatótól és a minta d vastagságától való függését – (1.27) helyett – a következő formula írja le:

      T=(1R12)21+R2122R12cosδ,   (1.35)

    ahol δ=4πλnd és R12=(n1n+1)2.

    A réteg reflexióját az

      R=1T   (1.36)

    energiamegmaradás törvénye alapján határozhatjuk meg. Az (1.35) formulából következik, hogy a T(λ) spektrumban a

      λmax=4ndm,m=2,4,6,   (1.37)

    hullámhosszaknál maximumok figyelhetők meg, míg

      λmin=4ndm,m=1,3,5,   (1.38)

    hullámhosszaknál minimumok.

    Amennyiben n(λ)=konst. értékkel számolhatunk, akkor a T(λ) spektrumban két, szomszédos szélsőértéknek megfelelő λm és λm1 hullámhosszak ismeretében a

      2nd=mλm=(m1)λm1   (1.39)

    egyenlőségből az nd szorzatot, d ismeretében a törésmutatót a következőképpen adhatjuk meg:

      n=λmλm12d(λm1λm).   (1.40)
  • A vékony, gyengén abszorbeáló (n2k2), hordozó nélküli plánparallel kristálylemez áteresztőképessége a következő kifejezéssel adható meg:
      T=16n2eαd(n+1)4+(n1)4e2αd2(n21)2cos4πλnd.   (1.41)

    Amennyiben a törésmutató gyengén változik a hullámhosszal, akkor az interferenciasávok maximális és minimális értékeinek, továbbá az ezeknek megfelelő hullámhosszaknak az ismeretében meghatározható az n(λ) és az α(λ) görbe.

  • Az n és k meghatározása a poláros fény reflexió utáni polarizációs állapotának analíziséből

    Az n és k optikai konstansokat abban a spektrumtartományban, ahol nk , gyakorlatilag csak reflexióképességre vonatkozó adatok alapján lehetséges meghatározni, mivel nehéz olyan mintákat készíteni, amelyek elegendően vékonyak transzmissziós mérésekhez. Ez a helyzet félvezetőknél pl. alapabszorpciós tartományban (ahol nk), vagy erősen szennyezett félvezetőknél és félfémeknél a teljes spektrumtartományban. Ilyen esetekben az optikai konstansok meghatározása céljából oly módon járunk el, hogy a minta felületére különböző szögek alatt beeső lineárisan poláros fény reflexió utáni polarizációs állapotát analizáljuk. A mintára különböző szögek alatt beeső lineárisan poláros fény az anyag felületéről való visszaverődés után elliptikusan polárossá válik, és az ellipszis paraméterei közvetlen kapcsolatban vannak az n és k optikai konstansokkal.

IDevice Icon 1.1 Feladat
Határozzuk meg az ε dielektromos állandójú, a σ vezetőképességű vezető n törésmutatóját és k abszorpciómutatóját, mint az ε és σ függvényét (n=n(ε,σ) , k=k(ε,σ)), az
  ˜n=nik   (1.42)

és az

  ˜n2=εσωε0   (1.43)

összefüggések felhasználásával. Feltételezzük, hogy μ=1.


IDevice Icon 1.2 Feladat
Az 1.2 ábra segítségével mutassuk meg, hogy a nem abszorbeáló vékony lemez T áteresztőképességének és R¨o reflexióképességének az összege, az energiamegmaradás törvényének megfelelően, 1-gyel egyenlő:
  T+R¨o=1.   (1.44)

IDevice Icon 1.1 Animáció

\includegraphics[width=140px]{prism_anim.png}

Az animáció segítségével felidézhetjük a prizmáról mint optikai elemről tanultakat. Hosszas számítások nélkül felfedezhetjük a minimális eltérítés szögére vonatkozó összefüggést. A prizma törőszöge és törésmutatója csúszkák segítségével beállítható, majd a beesési szöget változtatva függvény grafikonról is leolvashatjuk, hogy mely szögnél térül le legkevésbé a fénysugár eredeti irányától.
http://www.wontu.fr/animation-prism.htm


Licensed under the Creative Commons Attribution 3.0 License

Félvezető optika