Foton-kölcsönhatások tömbi félvezetőkben

Tömbi félvezetőkben számos, a fotonok abszorpcióját és emisszióját eredményező folyamat játszódhat le. Ezek közül a legfontosabbak a következők:

• Sáv-sáv (sávok közötti) átmenetek:

  Egy a valenciasávban lévő elektron egy fotont abszorbeálva felgerjesztődhet a vezetési sávba, ezáltal egy elektron-lyuk pár keletkezik (l. 2.1 (a) ábra). Egy elektron-lyuk rekombináció pedig egy foton emisszióját eredményezheti. A sáv-sáv átmeneteket egy vagy több fonon keltődése kísérheti. Egy fonon az anyagban az atomok molekuláris vagy akusztikus rezgéseivel kapcsolatos rácsrezgéseknek egy kvantuma.

  

  2.1 Ábra: Példák a fotonok abszorpciójára és emissziójára tömbi félvezetőkben. (a) GaAs-ben sávok közötti átmeneteket hozhat létre a $\lambda _{0}<\lambda _{g}=hc_{0}/E_{g}=0,87\mathrm {\mu m}$ hullámhosszú fotonok abszorpciója vagy emissziója. (b) Egy $\lambda _{A}=hc_{0}/E_{A}=14\mathrm {\mu m}$ hullámhosszú foton abszorpciója a valenciasávban átmenetet hozhat létre a Hg-nyal adalékolt Ge (Ge:Hg) akceptor nívójára. (c) Szabad töltéshordozó átmenetek a Ge vezetési sávján belül.
• Átmenetek a szennyezési nívók és a sávok között.

  Egy abszorbeált foton átmenetet eredményezhet egy donor (vagy akceptor) nívó és egy sáv között az adalékolt félvezetőben. Egy p-típusú anyagban pl. egy alacsony energiájú foton egy elektront gerjeszthet fel a valenciasávból az akceptor nívóra, ahol egy akceptor atom befogja (csapdázza) (l. 2.1 (b) ábra). A valenciasávban egy lyuk keletkezik és az akceptor atom ionizálódik. Vagy egy lyuk befogódhat egy ionizált akceptor atom által; eredményül azt kapjuk, hogy az elektron eltűnik az akceptor nívóról: rekombinálódik egy lyukkal. Az energia felszabadulhat kisugárzással (egy emittált foton formájában) vagy nem kisugárzással (fononok formájában). Az átmenet létrejöhet defekt állapotú csapdák közreműködésével is, amint ezt a ábrán illusztráltuk.

• Szabad töltéshordozó (sávon belüli) átmenetek.

  Egy abszorbeált foton az energiáját egy adott sávban lévő elektronnak is átadhatja, és ezáltal az elektront a sávon belül magasabbra juttathatja. A vezetési sávban egy elektron pl. abszorbeálhat egy fotont és ennek hatására a vezetési sávon belül egy magasabb energianívóra kerül (l. 2.1 (c) ábra). Ezt követi egy termalizációs folyamat, ami által az elektron a vezetési sáv alja felé relaxál miközben leadja energiáját fononok formájában. A szabad töltéshordozók abszorpciójának erőssége arányos a töltéshordozók sűrűségével; a foton-energiával hatványtörvény szerint csökken.

• Fonon átmenetek.

  A hosszúhullámú fotonok átadhatják energiájukat közvetlenül rácsrezgések gerjesztése, azaz fononok keltése révén is.

• Exciton átmenetek.

  Egy foton abszorpciója létrehozhat egy exciton formációt. Ennek lényege nagyon hasonlít egy hidrogén atoméhoz, amelyben a proton szerepét egy lyuk játssza. A lyuk és az elektron a Coulomb-kölcsönhatással vannak egymáshoz kötve. Egy foton emittálódhat az elektron és lyuk rekombinációjának eredményeképpen, miközben az exciton megsemmisül.

Az abszorpciós együttható változása a fotonenergiával; kísérleti eredmények

Az előzőekben felsorolt átmenetek mindegyike hozzájárulást ad a teljes abszorpciós együtthatóhoz, amelyet Si-ra és GaAs-re a 2.2 ábra mutat be, és több félvezető anyagra – jelentősebb nagyításban – a 2.3 ábra illusztrál.

Az $E_{g}$ tiltottsáv szélességnél nagyobb fotonenergiákra az abszorpcióban a sáv-sáv átmenetek dominálnak, ami számos fotonikus készülék alapját képezi. Azt a spektrális tartományt, ahol az anyag a viszonylag áteresztőtől ($h\nu <E_{g}$) az erősen abszorbeálóig ($h\nu >E_{g}$) változik, abszorpciós élnek nevezzük. A direkt tiltottsávú félvezetők abszorpciós éle hirtelenebb változást mutat, mint az indirekt tiltottsávú félvezetőké (l. 2.2 ábra és 2.3 ábra).

2.2 Ábra: Az észlelt $\alpha $ optikai abszorpciós együttható mint a fotonenergia és a hullámhossz függvénye Si-ra és GaAs-re vonatkozóan, $T=300\mathrm {K}$ termikus egyensúlynál. A tiltottsáv $E_{g}$ szélessége Si-ra $1,12\mathrm {eV}$ és GaAs-re $1,42\mathrm {eV}$. A Si viszonylag áteresztő a $\lambda _{0}\approx 1,1-12\mathrm {\mu m}$ tartományban, míg az intrinsic GaAs viszonylag áteresztő a $\lambda _{0}\approx 0,87-12\mathrm {\mu m}$ tartományban.

2.3 Ábra: Az abszorpciós együttható, mint a fotonenergia és a hullámhossz függvénye Ge, Si, GaAs, GaN és néhány más III-V binér félvezetőre $T=300\mathrm {K}$-nál, logaritmikus skálán ábrázolva.

A direkt sáv-sáv abszorpció és emisszió csak olyan frekvenciáknál következhet be, amelyekre a fotonenergia nagyobb, mint a tiltottsáv szélessége: $h\nu >E_{g}$. Az ehhez szükséges minimális $\nu $ frekvencia: $\nu _{g}=E_{g}/h$ , úgy hogy a megfelelő maximális hullámhossz: $\lambda _{g}=c_{0}/\nu _{g}=hc_{0}/E_{g}$. Ha a tiltottsáv $E_{g}$ szélességét $\mathrm {eV}$-ban adjuk meg, a tiltottsáv szélességnek megfelelő hullámhosszt ($\lambda _{g}=hc_{0}/eE_{g}$) $\mathrm {\mu m}$-ben állítjuk elő:

A $\lambda _{g}$ (maximális) hullámhosszat levágási (vagy tiltottsáv) hullámhossznak nevezzük.

A 2.1 és 2.2 táblázatban a $\lambda _{g}$ levágási hullámhosszak és a velük kapcsolatos $E_{g}$ tiltottsáv szélességek értékei láthatók, a fotonikában fontos félvezető anyagokra vonatkozóan. A különböző összetételű, III-V. oszlopbeli félvezetők a tiltottsávnak megfelelő hullámhosszak lényeges tartományát hidalják át, a közép-infravöröstől a közép-ultraibolyáig, amint ez a 2.4 ábrán látható.

2.4 Ábra: A $\lambda _{g}$ levágási hullámhossz és a megfelelő $E_{g}$ tiltottsáv energia Si-ra, Ge-ra és néhány két-, három- és négykomponensű III-V félvezető anyagra. A felülről induló és egymást követő sorok az AlInGaN, AlGaN, InGaN, InGaAsP, InGaP, AlGaAs, InGaAs és GaAsSb félvezető anyagokat reprezentálják. Az árnyalt tartományok azokat az összetételeket jelzik, amelyekre az anyagok direkt tiltottsávú félvezetők.

Az abszorpció és az emisszió létrejöttének feltételei

Egy elektront a valenciasávból a vezetési sávba gerjeszthetünk egy megfelelő energiájú foton ($h\nu >E_{g}$ vagy $\lambda < \lambda _{g}$) abszorpciója révén. Ekkor egy elektron-lyuk pár keletkezik (2.5 (a) ábra). Ez hozzáadódik a mozgékony töltéshordozók koncentrációjához, és ezáltal növekszik az anyag vezetőképessége. Az anyag úgy viselkedik, mint egy fotovezető, amelynek vezetőképessége arányos a foton-fluxussal. Ezt az effektust felhasználjuk a fény detektálására.

Az elektron ,,legerjesztése" a vezetési sávból a valenciasávba (elektron-lyuk rekombináció) egy $h\nu >E_{g}$ energiájú foton spontán emisszióját (2.5 (b) ábra), vagy egy foton stimulált emisszióját (2.5 (c) ábra) eredményezheti, feltéve, hogy egy $h\nu >E_{g}$ energiájú foton kezdetben jelen van. A spontán emisszió jelensége a fényemittáló dióda működésének az alapjául szolgál (l. később). Az indukált emisszió a felelős a félvezető optikai erősítők és lézerdiódák működéséért (l. később).

Tekintsük át most azokat a feltételeket, amelyek mellett az abszorpció és az emisszió létrejöhet:

• Az energia megmaradása. Egy $h\nu $ energiájú foton abszorpciója vagy emissziója megköveteli, hogy a kölcsönhatásban résztvevő energiák (mondjuk a valenciasávban $E_{1}$ és a vezetési sávban $E_{2}$ , amint ezt a 2.5 ábrán jeleztük) $h\nu $-vel legyenek egymástól elválasztva. Ily módon, az elektron-lyuk rekombinációja révén keletkező foton emisszióra, pl. az $E_{2}$ energianívót elfoglaló elektronnak, az $E_{1}$ energianívót elfoglaló lyukkal kell kölcsönhatásba kerülni úgy, hogy az energia megmaradjon:

  \begin{equation} E_{2}-E_{1}=h\nu . \label{atmenfrek} \end{equation}

  (2.2)

• Az impulzus megmaradása. Az impulzusnak meg kell maradnia a foton emisszió / abszorpció folyamatában úgy, hogy $p_{2}-p_{1}=h\nu /c=h/\lambda $ vagy $k_{2}-k_{1}=2\pi /\lambda $. A fotonimpulzus $h/\lambda $ nagysága azonban nagyon kicsi, összehasonlítva az elektronok és lyukak feltételezhető impulzus értékeinek a tartományával. A félvezető $E$-$k$ diagramja a $2\pi /a$ nagyságrendű $k$ értékekig terjed ki. Az $a$ rácskonstans sokkal kisebb, mint a $\lambda $ hullámhossz úgy, hogy $2\pi /\lambda \ll 2\pi /a$. A kölcsönhatásban résztvevő elektron és lyuk impulzusának – ennélfogva – közel egyenlőnek kell lennie. A $k_{2}\approx k_{1}$ feltételt k-kiválasztási szabálynak nevezzük. Azok az átmenetek, amelyek ennek a szabálynak engedelmeskednek, az $E$-$k$ diagramban függőleges vonalakkal reprezentáljuk, jelezve, hogy a változás $k$-ban elhanyagolható a diagram skáláján (ún. vertikális átmenetek).
  

  2.5 Ábra: (a) Egy foton abszorpciója egy elektron-lyuk pár generációját okozza. Ezt a folyamatot használjuk fel a fény fotodetektálásában. (b) Egy elektron-lyuk pár rekombinációja egy foton spontán emisszióját eredményezi. A fényemissziós diódák (a LED-ek) működnek ezen az alapon. (c) Az elektron-lyuk rekombináció indukálódhat egy foton révén is. Az eredmény: egy ugyanolyan foton stimulált emissziója. Ez szolgál alapul a félvezető lézerdiódák működéséhez.
• Egy fotonnal kölcsönható elektron és lyuk energiája és impulzusa. Amint az a 2.5 ábrából kitűnik, az energia és az impulzus megmaradása megköveteli, hogy a $\nu $ frekvenciájú foton olyan speciális energiájú és impulzusú elektronokkal és lyukakkal lépjen kölcsönhatásba, amelyeket a félvezető $E$-$k$ sávszerkezete határoz meg. A keresett reláció közelítő meghatározásához a direkt tiltottsávú félvezetőre az (1.5) és (1.6) parabolákat használva és $E_{c}-E_{v}=E_{g}$-t figyelembe véve a (2.2) a következő alakban adható meg:

  \begin{equation} E_{2}-E_{1}=\frac{\hbar ^{2}k^{2}}{2m_{v}}+E_{g}+\frac{\hbar ^{2}k^{2}}{2m_{c}}=h\nu , \end{equation}

  (2.3)

  amelyből

  \begin{equation} k^{2}=\frac{2m_{r}}{\hbar ^{2}}(h\nu -E_{g}), \label{mr} \end{equation}

  (2.4)

  ahol

  \begin{equation} \frac{1}{m_{r}}=\frac{1}{m_{v}}+\frac{1}{m_{c}}.\label{mrmvmc} \end{equation}

  (2.5)

  Behelyettesítve (2.4)-et (1.5)-be, azt kapjuk, hogy az $E_{1}$ és $E_{2}$ energianívók, amelyekkel a foton kölcsönhatásba kerül, a következőképpen írhatók:

  \begin{equation} E_{2}=E_{c}+\frac{m_{r}}{m_{c}}(h\nu -E_{g}), \label{mrmc} \end{equation}

  (2.6)

  \begin{equation} E_{1}=E_{v}-\frac{m_{r}}{m_{v}}(h\nu -E_{g})=E_{2}-h\nu . \label{mrmv} \end{equation}

  (2.7)

  Speciális esetben, amikor $m_{c}=m_{v}$ , azt kapjuk, hogy

  \begin{equation} E_{2}=E_{c}+\frac{1}{2}(h\nu -E_{g}), \end{equation}

  (2.8)

  amint ezt a szimmetria megköveteli.

• Optikai kombinált állapotsűrűség. Határozzuk most meg azoknak az állapotoknak a $\varrho (\nu )$ állapotsűrűségét, amelyekkel egy $h\nu $ energiájú foton kölcsönhat egy direkt tiltott sávú félvezetőben, az energia és az impulzus megmaradásának feltételei mellett. Ezt a mennyiséget, amely magába foglalja mind a vezetési- mind a valenciasáv állapotsűrűségét optikai kombinált állapotsűrűségnek nevezzük. Az $E_{2}$ és $\nu $ közötti összefüggést magába foglaló (2.6) lehetővé teszi számunkra, hogy könnyen kapcsolatba hozzuk $\varrho (\nu )$-t a vezetési sávban lévő $\varrho _{c}(E_{2})$ állapotsűrűséggel, ha felhasználjuk a $\varrho _{c}(E_{2})dE_{2}=\varrho (\nu )d\nu $ összefüggést, amelyből:

  \begin{equation} \varrho (\nu )=\frac{hm_{r}}{m_{c}}\varrho _{c}(E_{2}). \label{rhonu} \end{equation}

  (2.9)

  Alkalmazva a (3.6) és (2.6) összefüggéseket, végül is a térfogategységre és az egységnyi frekvenciára jutó állapotok számát kapjuk:

  \begin{equation} \varrho (\nu )=\frac{(2m_{r})^{3/2}}{\pi \hbar ^{2}}\sqrt {h\nu -E_{g}},\quad h\nu \ge E_{g},\label{rhonu2} \end{equation}

  (2.10)

  amelyet a 2.6 ábra illusztrál.

  

  2.6 Ábra: Azoknak az állapotoknak az állapotsűrűsége, amelyekkel a $h\nu $ energiájú foton kölcsönhat, a $(h\nu -E_{g})$-vel a négyzetgyökös törvénnyel megegyezésben növekszik.

  Az $E_{1}$ és a (2.7)-ben szereplő $\nu $ közötti összefüggés a $\varrho _{v}(E_{1})$-gyel (l. (3.6)) együtt, a $\varrho (\nu )$-re (2.9)-cel azonos kifejezést ad.

• A foton emisszió nem valószínű, hogy létrejön indirekt tiltott sávú félvezetőben. Sugárzásos elektron-lyuk rekombináció nem valószínű, hogy létrejön indirekt tiltott sávú félvezetőben. Ennek az az oka, hogy az emittált foton túl kicsi impulzusával nem lehet biztosítani az impulzus megmaradását, amelynek változása az indirekt átmenet következtében szükségszerűen föllép és $2\pi /a$ nagyságrendű. Az impulzus azonban megmaradhat, ha a kölcsönhatásban fononok is részt vesznek. A fononok viszonylag nagy impulzust szállíthatnak, de kicsiny energiákkal rendelkeznek ($\approx 0,01-0,1\mathrm {eV}$ , l. 2.2 ábra), így az átmeneteik az $E$-$k$ diagramon (2.7 ábra) vízszintesen jelennek meg. Mivel a fonon asszisztál, az emisszió három részecske részvételét foglalja magában (elektron, foton és fonon), előfordulásuk valószínűsége egészen kicsiny.
  

  2.7 Ábra: Foton emisszió egy indirekt tiltottsávú félvezetőben. A vezetési sáv aljának közeléből származó elektronnak a valenciasáv tetejének közelében lévő lyukkal való rekombinációja megköveteli az energia és az impulzus változását. Az energia szállítódhat egy foton által, de egy vagy több fonon szükséges az impulzus megmaradásához. A sokrészecske kölcsönhatásnak ez a típusa ennélfogva valószínűtlen.
  
  

  Ily módon a Si, amely indirekt tiltottsávú félvezető, jelentősen alacsonyabb sugárzási rekombinációs együtthatóval rendelkezik, mint a GaAs, amely direkt tiltott sávú félvezető. Ennélfogva a szilícium nem hatékony, míg a GaAs hatékony fényemitter.

• A foton-abszorpció nem valószínűtlen, hogy létrejön indirekt tiltott sávú félvezetőben. A foton-abszorpció szintén megköveteli az energia és az impulzus megmaradását egy indirekt tiltott sávú félvezetőben és ez könnyen teljesíthető, de csak egy kétlépcsős folyamat segítségével (2.8 ábra).

  Az elektron először a vezetési sávon belül egy magas energiájú nívóra gerjesztődik egy $k$-megmaradó vertikális átmenet révén. Ezután gyorsan relaxál a vezetési sáv aljáig egy termalizációnak nevezett folyamat által, amelyben az impulzusa átadódik a fononoknak. A generált lyuk hasonlóan viselkedik. Mivel a folyamat egymás után fordul elő, a három részecskének nem szükséges az egyidejű jelenléte. A szilícium ennélfogva hatásos foton-detektor, amint a GaAs is.

  

  2.8 Ábra: Foton abszorpció egy indirekt tiltottsávú félvezetőben egy $k$-megmaradó függőleges átmenetnél. A foton generál egy gerjesztett elektront a vezetési sávba, miközben egy lyuk keletkezik a valenciasávban. Az elektron és a lyuk gyors átmenetet végeznek a vezetési- és a valenciasávokban a legalacsonyabb és a legmagasabb lehetséges nívókra, átváltoztatva energiájukat fononok alakjába. Mivel a folyamatnak nem szükséges egyidejűleg végbemenni, hanem egymás után is végbemehet, létrejötte nem valószínűtlen.