Energiasávok félvezetőkben: megengedett és tiltott sávok

A szilárd állapotú anyagok atomjai között meglehetősen erős kölcsönhatások működnek, éppen ezért nem lehet őket úgy tekinteni, mint individuális egységeket. Az atomok vezetési elektronjai nem kötődnek szorosan az egyes atomokhoz, hanem inkább az atomok összességéhez, mint egészhez tartoznak. A Schrödinger-egyenlet megoldása a kristályrács atomjainak az összessége által létesített periodikus potenciáltérben lévő elektron energiájára vonatkozóan, az atomi energianívók felhasadására és energiasávok képződésére vezet.

Mindegyik energia sáv sűrűn elhelyezkedő, diszkrét energianívók nagy számát tartalmazza, amelyek egymáshoz közel elhelyezkedve megközelítőleg folytonosan (kvázifolytonosan) töltik ki az energia sávot. Amint az 1.1 ábra mutatja, a vegyértékkötési (valencia) sávot, és a vezetési (vagy kondukciós) sávot az $E_{g}$ nagyságú energiasáv un. energiarés választja el egymástól. Ez a sáv fontos szerepet játszik az anyag elektromos és optikai tulajdonságainak a meghatározásában.

1.1 Ábra: Energiasávok Si-ban és GaAs-ben. A valencia- és a vezetési sávokat elválasztó $E_{g}$ energiasáv nagysága Si-ra: $1,12 \mathrm {eV}$, GaAs-re: $1,42\mathrm {eV}$, szobahőmérsékleten.

Az energiasávok keletkezését illusztrálhatjuk a Kronig-Penney modell segítségével. Ebben az egyszerű elméletben a kristályrács potenciálját – amelynek egydimenziós változatát az 1.2 (a) ábra mutatja – periodikusan ismétlődő, négyszögalakú, potenciálgátak sorozatával (1.2 ábra) közelíthetjük.

1.2 Ábra: (a) Az $a$ rácsállandójú az atomok végtelen egydimenziós együttesével kapcsolatos kristályrács potenciálja. (b) A Kronig-Penney modellben alkalmazott idealizált, négyszögalakú ($V_{0}$ magasságú) potenciálgátak.

Ilyen potenciáltérre a megfelelő Schrödinger-egyenlet megoldása a következő eredményre vezet: az energiaspektrum megengedett energiasávokból áll, amelyeket tiltott energiasávok választanak el egymástól. A megengedett energiaértékeknek megfelelő sajátfüggvények rácsperiodikusan modulált síkhullámokat reprezentálnak, míg a tiltott energiaértékeknek megfelelő hullámfüggvények exponenciálisan lecsengő, nem haladó hullámokat jelentenek, és így az elektronok mozgása nem megengedett. Megmutatható, hogy a nyert eredmények általános érvényűek, és háromdimenziós esetre is alkalmazhatóak. A kristályrács periodicitásával rendelkező sík hullámú sajátfüggvényeket Bloch-függvényeknek nevezzük.

Megjegyezzük, hogy a Kronig-Penney modellre vonatkozó számítások, illetve példák az . pont végén találhatóak.

A sávszerkezet két egyszerű, háromdimenziós modellje közül az egyik modell – majdnem szabad elektronok modellje – a kristályban mozgó elektronok sávszerkezetét, a szabad elektronok felől közelítve mutatja be, amikor is a kristályrács periodikus potenciálját perturbációnak tekinti. A másik modell – szoros kötésű közelítés modellje – az elektronok állapotát az atomokhoz kötött elektronok hullámfüggvényeiből kiindulva próbálja leírni, a többi ion hatását perturbációként véve figyelembe.

Töltéshordozók félvezetőkben: elektronok és lyukak

Egy félvezetőben az elektronok hullámfüggvényei átfedik egymást úgy, hogy a Pauli-féle kizárási elv érvényes. Ez az elv előírja, hogy két elektron nem foglalhat el azonos kvantumállapotot és, hogy a rendelkezésre álló energianívók közül először a legalacsonyabbak töltődnek be. Az elemi félvezetők, amilyen a Si és a Ge, a vegyértékkötések kialakításához atomonként négy vegyérték-elektronnal rendelkeznek. $T=0\mathrm {K}$-nél, a valenciasávban elhelyezkedő kvantumállapotok teljesen betöltöttek, míg a vezetési sáv teljesen üres. Az anyag – ilyen feltételek mellett – elektromosan nem vezethet.

A hőmérséklet növekedésével azonban néhány elektron a valenciasávból termikusan felgerjesztődhet a vezetési sávba, ahol nagy számban vannak betöltetlen állapotok (l. 1.3 ábra). A vezetési sávban termikusan generált elektronok külső elektromos tér hatására a kristályrácson keresztül mozognak, és ily módon elektromos áramot hoznak létre. A valenciasávból távozó elektron maga mögött hagy egy betöltetlen kvantumállapotot, ami lehetővé teszi a valenciasávban visszamaradt elektronok számára, hogy – külső tér hatására – helyet cseréljenek egymással és ily módon a valenciasávban maradó elektronok összessége az elektromos térrel ellenkező irányú mozgást végezzen. Ez – a mozgást illetően – ekvivalens lehet a valenciasávból eltávozó elektron által visszahagyott lyuknak az ellenkező irányba – az elektromos térrel megegyező irányban – történő mozgásával, vagyis a lyuk úgy viselkedik, mintha $\mathbf{+e}$ töltéssel rendelkezne.

1.3 Ábra: Elektronok a vezetési sávban és lyukak a valenciasávban, $T > 0\mathrm {K}$-nél.

Végeredményül azt kaptuk, hogy minden egyes elektron-gerjesztés létrehoz egy “szabad “elektront a vezetési sávban és egy “szabad” lyukat a valenciasávban. Mind a két töltéshordozó szabadon áramlik az alkalmazott elektromos tér hatására és ily módon elektromos áram keletkezik. Az anyag úgy viselkedik, mint egy félvezető, amelynek a vezetőképessége gyorsan növekszik a hőmérséklettel, amint egyre több töltéshordozó keletkezik termikus generálás útján.

Az energia és az impulzus közötti összefüggés

A hullámmechanika szerint egy szabad elektron $E$ energiája és $\mathbf{p}$ impulzusa között – állandó potenciálú térben (hasonlóan, mint szabad térben) – az alábbi összefüggés áll fenn:

ahol $p$ az impulzus nagysága, $k$ a

hullámszámvektor nagysága, és $m_{0}$ az elektron tömege:

Szabad elektronra tehát az $E\text {-}k$ összefüggés egy egyszerű parabolát ír le.

Megjegyezzük, hogy ezzel szemben az energia impulzus közötti összefüggés egy szabad foton esetében lineáris:

ahol a $c$ a fény terjedési sebessége az anyagban.

Az elektron mozgását egy félvezető anyagban szintén a Schrödinger-egyenlet írja le, az anyag periodikus kristályrácsában lévő töltések által létrehozott potenciál segítségével. Az a konstrukció – a Kronig-Penney modellhez hasonlóan – megengedett energiasávokat eredményez, amelyeket tiltott sávok választanak el egymástól. Az $E\text {-}k$ összefüggéseket elektronokra és lyukakra, a vezetési illetve a valenciasávra vonatkozóan az 1.4 ábra illusztrálja Si és GaAs esetében. Az $E$ energia a $\mathbf{k}$ hullámszámvektor $(k_{1},k_{2},k_{3})$ komponenseinek periodikus függvénye $(\pi /a_{1},\pi /a_{2},\pi /a_{3})$ periódussal, ahol $a_{1},a_{2},a_{3}$ a kristály rácsállandói. Az 1.4 ábra ennek az összefüggésnek a keresztmetszetit mutatja a hullámszámvektor két speciális iránya mentén. A $k$ értékek tartományát a $[-\pi /a, \pi /a]$ intervallumban, az első Brillouin-zónaként definiáljuk.

1.4 Ábra: Az $E\text {-}k$ függvény keresztmetszete Si-ra és GaAs-re vonatkozóan, két kristálytani irányban: balra az $[111]$ irány mentén, jobbra az $[100]$ irány mentén.

Ily módon egy elektron energiája a vezetési sávban nemcsak az impulzus nagyságától függ, hanem attól az iránytól is, amelyik irányban a kristályban mozog.

Az effektív tömeg

Az 1.4 ábrából látható, hogy a vezetési sáv aljának közelében az $E\text {-}k$ összefüggés megközelíthető az alábbi parabola segítségével:

ahol $E_{c}$ az energiát jelenti a vezetési sáv aljánál. A $k$-t attól a hullámszámvektortól mérjük, ahol $E$-nek minimuma van. Az (1.5) összefüggés azt mondja számunkra, hogy egy vezetési sávbeli elektron hasonlóan viselkedik, mint egy $m_{c}$ tömegű szabad elektron. Az $m_{c}$-t az elektron (vezetési sávbeli) effektív tömegének nevezzük, amely különbözik a szabad elektron $m_{0}$ tömegétől. Ily módon a rács ionjainak a hatását a vezetési sávbeli elektron mozgására vonatkozóan az $m_{c}$ effektív tömeg foglalja magában. Ezt a viselkedést emeli ki az 1.5 ábra.

1.5 Ábra: A Si-ra és GaAs-re vonatkozó $E$-$k$ diagramok, amelyek jól megközelíthetőek – a vezetési sáv aljánál és a valencia sáv tetejénél – parabolákkal.

Hasonlóképpen, a valenciasáv tetejénél azt írhatjuk, hogy

ahol $E_{v}=E_{c}-E_{g}$ az energiát jelenti a valenciasáv tetejénél, és $m_{v}$ a lyuk (valenciasávbeli) effektív tömege (1.5 ábra). A rács ionjainak hatását egy valenciasávbeli lyuk mozgására, az $m_{v}$ effektív tömeggel vesszük figyelembe. Az effektív tömeg függ az anyag kristályszerkezetétől és a rácsra vonatkozóan a terjedési iránytól, mivel az atomok közti távolság változik a kristálymorfológiai iránnyal. Az effektív tömeg függ még a vizsgált sáv speciális sajátosságaitól is. Az 1.1 táblázatban az átlagolt effektív tömegeknek $(m_{c},m_{v})$ a szabad elektron tömegéhez $(m_{0})$ viszonyított tipikus arányait tüntettük fel Si-ra, GaAs-re és GaN-re vonatkozóan.

Direkt és indirekt tiltott sávú félvezetők

Azokat a félvezetőket, amelyekre vonatkozóan a vezetési sáv minimális energiája $(E_{c,min})$ és a valenciasáv maximális energiája $(E_{v,max})$ a $k$ hullámszámnak (vagy $p$ impulzusnak) ugyanazon értékénél található $(k_{c,min}=k_{v,max})$, direkt-tiltott sávú anyagoknak nevezzük. Azokat a félvezetőket pedig, amelyekre ez a megállapítás nem érvényes $(k_{c,min}\neq k_{v,max})$, indirekt-tiltott sávú anyagoknak hívjuk. Amint az 1.5 ábra alapján látható, a GaAs direkt-tiltott sávú félvezető, míg a Si indirekt-tiltott sávú félvezető. A megkülönböztetés lényeges, mivel a vezetési sáv alja és a valenciasáv teteje közötti átmenet során, indirekt tiltott sávú félvezető esetében, az elektron impulzusában egy jelentős változásnak kell bekövetkeznie. Később majd megmutatjuk, hogy a direkt-tiltott sávú félvezetők , mint amilyen a GaAs, hatékony fotoemitterek, míg az indirekt-tiltott sávú félvezetők, mint amilyen a Si, rendes körülmények között, nem szolgálnak fényemitterekként.