Töltéshordozók keltése, rekombinációja és injekciója félvezetőkben
Bevezetés:
- Töltéshordozók keltése és rekombinációja termikus egyensúlyban
- Elektron-lyuk injekció
- Belső kvantum-hatásfok
Töltéshordozók keltése és rekombinációja termikus egyensúlyban
Elektronok termikus gerjesztése a valenciasávból a vezetési sávba elektron-lyuk generálást eredményez. Termikus egyensúly esetén ezt a generálási folyamatot egyidejűleg egy – a gerjesztéssel ellenkező irányú – folyamat kíséri. Ez a folyamat – amelyet elektron-lyuk rekombinációnak hívunk – akkor jön létre, ha egy a vezetési sávból származó elektron betölt egy lyukat a valenciasávban Az elektronátmenet energiája emittált foton energiájaként jelenhet meg. Ebben az esetben a folyamatot sugárzásos rekombinációnak hívjuk.
Sugárzásnélküli rekombináció jöhet létre számos, egymástól független és egymással konkuráló folyamaton keresztül, beleértve energiaátadást a rácsrezgéseknek (létrehozva egy vagy több fonont) vagy más szabad elektronnak (Auger-folyamat). A rekombináció végbemehet felületeknél is és indirekt módon csapdákon vagy hibahely centrumokon keresztül, amelyek energianívói a tiltott sáv belsejében találhatók és szennyezésekkel vagy szemcsehatárokkal, diszlokációkkal vagy más rácshibákkal kapcsolatosak. Egy szennyezési vagy defekt állapot, mint egy rekombinációs centrum hathat, ha képes csapdázni egy elektront és egy lyukat is, ennélfogva növekszik a rekombináció valószínűsége A szennyezés által segített rekombináció lehet sugárzásos vagy sugárzásnélküli.
Mivel mind az elektron, mind a lyuk rekombinációja előfordul, a rekombináció sebessége arányos az elektronok és lyukak koncentrációinak szorzatával, azaz:
| \begin{equation} \text{a rekombináció sebessége}=rnp, \label{rekombseb} \end{equation} | (4.1) |
ahol $r(\mathrm {cm^{3}/s})$ a rekombinációs együttható, amely függ az anyag jellemzőitől, beleértve az anyag összetételét és defektusainak sűrűségét, továbbá $r$ függ még a hőmérséklettől, valamint – viszonylag gyengén – az adalékolás mértékétől is.
Az elektronok és lyukak $n_{0}$ és $p_{0}$ egyensúlyi koncentrációi akkor meghatározottak, ha a generálási és rekombinációs sebességek egyensúlyban vannak. Stacionárius állapotban a rekombinációs sebességnek egyenlőnek kell lennie a generálás sebességével. Ha $G_{0}$ a termikus elektron-lyuk generálás sebessége egy adott hőmérsékletnél, akkor termikus egyensúlyban
| \begin{equation} G_{0}=rn_{0}p_{0}. \end{equation} | (4.2) |
Az elektron- és lyuk koncentráció szorzata, az $n_{0}p_{0}=G_{0}/r$, megközelítőleg ugyanaz marad, akár n-típusú, p-típusú vagy intrinsic az anyag. Igy $n_{i}^{2}=G_{0}/r$ , amely közvetlenül az $n_{0}p_{0}=n_{i}^{2}$ tömeghatás törvényéhez vezet. Ez a törvény tehát a generálás és a rekombináció közötti egyensúly következménye, termikus egyensúlyban.
Elektron-lyuk injekció
Egy félvezető termikus egyensúlyban, az $n_{0}$ és $p_{0}$ töltéshordozó koncentrációval egyenlő generálási és rekombinációs sebességgel rendelkezik: $G_{0}=rn_{0}p_{0}$. Generáljunk most további elektron-lyuk párokat $R$ stacionárius sebességnél (a párok száma térfogat- és időegységenként) egy külső (nem termikus) injekciós mechanizmus, pl. az anyagra ráeső fény segítségével. Egy új stacionárius állapotot fogunk elérni, amelyben a koncentrációk: $n=n_{0}+\Delta n$ , és $p=p_{0}+\Delta p$. Világos azonban, hogy $\Delta n=\Delta p$, mivel az elektronok és lyukak párosával keletkeznek. A generálás és rekombináció új sebességeinek egyenlőségére azt írhatjuk, hogy
| \begin{equation} G_{0}+R=rnp. \label{genre} \end{equation} | (4.3) |
Behelyettesítve $G_{0}=rn_{0}p_{0}$ mennyiséget (4.3)-ba, a következő egyenletet nyerjük:
| \begin{equation} R=r(np-n_{0}p_{0})=r(n_{0}\Delta n+p_{0}\Delta n+\Delta n^{2})=r\Delta n(n_{0}+p_{0}+\Delta n), \end{equation} | (4.4) |
amelyet az alábbi alakba írhatunk:
| \begin{equation} R=\frac{\Delta n}{\tau }, \end{equation} | (4.5) |
ahol
| \begin{equation} \tau =\frac{1}{r[(n_{0}+p_{0})+\Delta n]}. \label{rekombido} \end{equation} | (4.6) |
Olyan injekciós sebességre, amelyikre $\Delta n\ll n_{0}+p_{0}$ , azt írhatjuk, hogy
| \begin{equation} \tau \approx \frac{1}{r(n_{0}+p_{0})}. \label{rekombido2} \end{equation} | (4.7) |
Egy n-típusú anyagban, ahol $n_{0}\gg p_{0}$, a $\tau $ rekombinációs élettartam: $\tau \approx 1/rn_{0}$, fordítva arányos az elektron koncentrációval. Hasonlóképpen egy p-típusú anyagban, ahol $p_{0}\gg n_{0}$, azt kapjuk, hogy $\tau \approx 1/rp_{0}$. Ez az egyszerű formula nem alkalmazható akkor, ha a folyamatokban a csapdák fontos szerepet játszanak.
A $\tau $ paramétert úgy lehet tekinteni, mint az injektált felesleg elektron-lyuk párok elektron-lyuk rekombinációs élettartamát. Az injektált töltéshordozó koncentrációt ugyanis a következő ráta egyenlet irányítja:
| \begin{equation} \frac{d(\Delta n)}{dt}=R-\frac{\Delta n}{\tau }. \end{equation} | (4.8) |
Stacionárius állapotban $d(\Delta n)/dt=0$. Ha az injekciós forrást $t_0$ időpillanatban hirtelen eltávolítjuk ($R$ értéke nullává válik), akkor $\Delta n$ a $\tau $ időállandóval exponenciálisan eltűnik, azaz
| \begin{equation} \Delta n(t)=\Delta n(t_{0})e^{-\frac{(t-t_{0})}{\tau }}. \end{equation} | (4.9) |
Másrészről, erős injekció jelenlétében $\tau $ maga is függvénye $\Delta n$-nek, amint az a (4.6)-ból nyilvánvaló, úgy hogy a ráta egyenlet nemlineáris, és a lecsengés többé már nem exponenciális.
Ha az $R$ injekciós ráta ismert, a stacionárius állapotú injektált koncentráció meghatározható a következő összefüggésből:
| \begin{equation} \boxed {\Delta n=R\tau ,} \end{equation} | (4.10) |
ami lehetővé teszi az $n=n_{0}+\Delta n$ és $p=p_{0}+\Delta p$ teljes koncentrációk meghatározását. Továbbá, ha kvázi-egyensúlyt feltételezünk, a (3.12) - (3.13) egyenleteket felhasználhatjuk a kvázi Fermi-nívók meghatározására. A kvázi-egyensúly nincs ellentmondásban a fenti analízisben feltételezett generálási és rekombinációs egyensúllyal; egyszerűen csak az szükséges, hogy a sávon belüli egyensúlyi idő a $\tau $ rekombinációs időhöz viszonyítva rövid legyen.
Ez a fenti elemzés hasznos lesz, amikor ismertetjük a félvezető fényemittáló diódák és a félvezető lézerdiódák elméletét. Az említett eszközök működése ugyanis a töltéshordozó injektálása által felerősített fényemisszión alapulnak.
Belső kvantum-hatásfok
Egy félvezető anyag $\boldsymbol{\eta _{i}}$ belső kvantum-hatásfokát úgy definiáljuk, mint a sugárzásos elektron-lyuk rekombinációs együtthatónak a teljes (sugárzásos és sugárzásnélküli) rekombinációs együtthatóhoz való arányát. Ez a paraméter fontos, mivel meghatározza egy félvezető anyagban a fény generálás hatásfokát. A rekombináció teljes sebességét a (4.1) adja meg. Ha az $r$ rekombinációs együttható $r_{r}$ sugárzásos és $r_{nr}$ sugárzásnélküli rész összegére oszlik: $r=r_{r}+r_{nr}$ , akkor a belső kvantum-hatásfok a következőképpen írható:
| \begin{equation} \eta _{i}=\frac{r_{r}}{r}=\frac{r_{r}}{r_{r}+r_{nr}}.\label{etai} \end{equation} | (4.11) |
A belső kvantum-hatásfok a rekombinációs élettartam segítségével is kifejezhető, mivel $\tau $ fordítva arányos $r$-rel (l. (4.7)). A $\tau _ r$ sugárzásos élettartam és a $\tau _{nr}$ sugárzásnélküli élettartam meghatározása a következő összefüggésre vezet:
| \begin{equation} \frac{1}{\tau }=\frac{1}{\tau _{r}}+\frac{1}{\tau _{nr}}. \end{equation} | (4.12) |
A belső kvantum-hatásfok ekkor:
| \begin{equation} \frac{r_{r}}{r}=\frac{1/\tau _{r}}{1/\tau }, \end{equation} | (4.13) |
vagy
| \begin{equation} \boxed {\eta _{i}=\frac{\tau }{\tau _{r}}=\frac{\tau _{nr}}{\tau _{r}+\tau _{nr}}.}\label{etai2} \end{equation} | (4.14) |
A foton abszorpció és emisszió sebességét a sugárzásos rekombináció $\tau _{r}$ élettartama vezérli (l. később). Az értéke függ a töltéshordozók koncentrációitól és az $r_{r}$ anyagi paramétertől. Kis, illetve mérsékelt injekciós sebességekre:
| \begin{equation} \boxed {\tau _{r}\approx \frac{1}{r_{r}(n_{0}+p_{0})},} \end{equation} | (4.15) |
(4.7)-nek megfelelően. A sugárzásnélküli rekombinációs élettartamra hasonló egyenlet érvényes. Azonban, ha sugárzásnélküli rekombináció történik a tiltott sávban lévő hibacentrumokon keresztül, $\tau _{nr}$ érzékenyebb ezeknek a centrumoknak a koncentrációjára, mint az elektron- és lyuk-koncentrációkra.
A 4.1 táblázat néhány félvezető rekombinációs együtthatóira és élettartamaira vonatkozó tipikus értékeket tartalmaz. Nagyságrendi értékeket adtunk meg az $r_{r}$ sugárzásos rekombinációs együtthatókra; a $\tau _{r}$ sugárzásos-, a $\tau _{nr}$ sugárzásnélküli- és a $\tau $ teljes rekombinációs élettartamokra; valamint az $\eta _{i}$ belső kvantum-hatásfokokra.
|
Anyag |
$r_ r(\mathrm {cm^3/s})$ |
$\tau _ r$ |
$\tau _{nr}$ |
$\tau $ |
$\eta _ i$ |
|
Si |
$10^{-15}$ |
$10\mathrm {ms}$ |
$100\mathrm {ns}$ |
$100\mathrm {ns}$ |
$10^{-5}$ |
|
GaAs |
$10^{-10}$ |
$100\mathrm {ns}$ |
$100\mathrm {ns}$ |
$50\mathrm {ns}$ |
$0,5$ |
|
GaN |
$10^{-8}$ |
$20\mathrm {ns}$ |
$0,1\mathrm {ns}$ |
$0,1\mathrm {ns}$ |
$0,005$ |
Tömbi Si-ra a sugárzásos élettartam nagyságrendekkel hosszabb, mint a teljes élettartam, elsősorban azért, mivel a Si indirekt tiltott sávú félvezető. Ez kicsiny belső kvantum-hatásfokot eredményez. Másrészről, a GaAs-re és a GaN-re a lebomlás főképpen a sugárzásos átmeneteken keresztül történik (ezek az anyagok direkt tiltott sávú félvezetők), következésképpen a belső kvantum-hatásfok nagy. Ezért a direkt tiltott sávú anyagok alkalmasak fényemittáló szerkezetek készítésére, az indirekt tiltott sávúak viszont nem.
4.1 Feladat
Elektron-lyuk pár injekció GaAs-ben.
Tegyük fel, hogy elektron-lyuk párokat injektálunk n-típusú GaAs-be ($E_{g}=1,42\mathrm {eV}$ , $m_{c}\approx 0,07\ m_{0}$ , $m_{v}\approx 0,50\ m_{0}$), $R=10^{23}$ sebességgel. Az elektronok termikus egyensúlyi koncentrációja: $n_{0}=10^{16}\mathrm {cm}^{-3}$, a rekombinációs együttható értéke: $r=10^{-11}\mathrm {cm^{3}/s}$ és $T=300\mathrm {K}$. Határozzuk meg
- a lyukak $p_{0}$ egyensúlyi koncentrációját!
- a stacionárius állapot $\Delta n$ többlet-koncentrációját!
- a $\tau $ rekombinációs élettartamot!
- a kvázi Fermi-nívók közötti $E_{fc}-E_{fv}$ különbséget, feltételezve, hogy $T=0\mathrm {K}$!
Licensed under the Creative Commons Attribution 3.0 License
Félvezető optika