2. Elektromágneses hullámok. Hullámegyenlet.

Legyen a tér töltés- és árammentes, azaz ρ = 0 és J = 0. Tegyük fel, hogy a közeg lineáris és izotróp, azaz 1.3. és az 1.7. anyagegyenletek érvényesek és az ε relatív permittivitás és a μ relatív permeabilitás skalárok. Ha a közeg inhomogén, akkor ezek helytől függő folytonosan változó vagy szakaszonként állandó bizonyos felületeknél ugró függvények.

Ha az M-2 egyenlet rotációját vesszük és helyettesítjük az 1.7. anyagegyenletet, akkor a

formulához jutunk, ahol a szimbólumok feletti a pont szokásos módon az idő szerinti deriválást jelöli. Alkalmazzuk az E vektor rotációját tartalmazó tagra az azonosságokat, míg a H vektor idő szerinti deriváltját tartalmazó tagra az azonosságot, ahol A tetszőleges vektor értékű, a α skalár értékű függvények, valamint Δ a Laplace-operátor. Ezek alapján

egyenletet adódik. Ezen egyenlet bal oldalán a H vektort tartalmazó tagokat visszavezethetjük az E vektorra, ugyanis a tartalmazó első tagot az M-2 egyenlet és az 1.7. anyagegyenlet segítségével E rotációjával, míg a tartalmazó tagot az M-1 egyenlet idő szerinti deriválásával és az 1.3. anyagegyenlettel E idő szerinti második deriváltjával fejezhetjük ki. Ez alapján egyszerű átalakításokkal

összefüggést nyerjük. Ha a jobb oldali utolsó tagba behelyettesítjük az M-3, az 1.3. egyenletből és az azonosságból következő kifejezést, akkor

(2.1)

parciális differenciálegyenlet kapjuk, melyben már csak E vektor az ismeretlen.

Teljesen hasonló módon adódik a Maxwell-egyenletekből és az anyagegyenletekből a

(2.2)

 parciális differenciálegyenlet, amelyben már csak H vektor az ismeretlen.

Vizsgáljuk meg a gyakorlatban sokszor előforduló és egyszerűbb esetet, a (szakaszonként) homogén közeg esetét. Ilyenkor ε és μ (szakaszonként) állandó, így  és és ezért - 2.1. egyenletből kifolyólag - az elektromos térerősség a

(2.3)

lineáris (hiperbolikus) parciális differenciálegyenletnek, hullámegyenletnek  tesz eleget, ahol

.

(2.4)

Mechanikából vagy hullámtanból is ismert, hogy a hullámegyenlet bizonyos megoldásai c sebességgel terjedő zavart (hullámot) írnak le, vagyis az egyenletben megjelenő c állandó a hullám terjedési sebessége, esetünkben a közegbeli fénysebesség.

Nyilván, 2.2. egyenlet miatt, ugyanilyen egyenlet vonatkozik a H mágneses térerősségre is. Azaz a Maxwell-egyenletből kiindulva megmutattuk, hogy adott feltételek teljesülése esetén a térerősségek eleget tesznek a hullámegyenletnek, amiből arra következtethetünk, hogy az elektromágneses mezőben keltett zavar hullámszerűen c sebességgel tovaterjedhet. Ezeket a hullámokat elektromágneses hullámoknak nevezzük. Érdemes megjegyezni, hogy abból, hogy E és H külön-külön eleget tesznek a 2.3. hullámegyenletnek, még nem feltétlenül következik, hogy a Maxwell-egyenleteknek is a megoldásai. Ehhez gyakran további feltételek szükségesek. Például síkhullámok esetén látni fogjuk, hogy a Maxwell-egyenletek megkövetelik majd a hullámok transzverzális természetét, továbbá E és H egymásra merőleges és nagyságuk sem független egymástól.

Ha a közeg vákuum, amire ε = 1 és μ = 1, akkor a vákuumbeli terjedési sebesség

(2.5)

amely - ha behelyettesítjük a vákuum permittivitásának és permeabilitásának értékét, - pontosan a vákuumbeli fénysebességgel egyezik meg. Ez a tény is arra utal, hogy a fény is elektromágneses hullám. A 2.4. és 2.5. egyenletekből

(2.6)

összefüggéshez jutunk, amely Maxwell-féle relációként ismert. Az alapozó Hullámtan és optika kurzusból is ismert, hogy a 2.6. egyenletbeli n mennyiség a közeg abszolút törésmutatója.