Fresnel-féle sebességi egyenletek
Az elektromos eltolás vektort kifejezhetjük az ε (relatív) dielektromos tenzor segítségével az 1.3. anyagegyenlettel adott formában, továbbá a Maxwell-féle egyenletekből beláttuk, hogy az eltolás és a térerősség között fennáll a 11.13. egyenlet. Ezek alapján az
![]() |
(11.30) |
összefüggés teljesül. Ezt dielektromos főtengelyrendszerben koordinátákkal felírva és rendezve az
|
(11.31) |
egyenletekhez jutunk , amely egy homogén és lineáris egyenletrendszer a térerősség Ej komponenseire. Ha jobb oldalon lévő törtet a
értékkel bővítjük, akkor az
|
(11.32) |
összefüggéseket kapjuk, ahol a fázissebesség és
|
(11.33) |
a εj fődilektromos állandókból számolt ún. fősebességek . A 11.32. egyenletet a j = 1, 2, 3 indexekre sj-vel szorozva, és az így nyert három egyenletet összeadva
adódik. Amiből látható, hogy a zárójelben lévő összeg egységnyi. Így kihasználva, hogy s egységvektor, fennáll a
reláció. Ezt zérusra rendezve és a feltételt kihasználva az
|
(11.34) |
összefüggést kapjuk, amely a Fresnel-féle sebességi egyenlet, vagy a Fresnel-féle normális egyenlet néven ismert. A 11.34. egyenletet megkaphattuk volna a 11.32. homogén és lineáris egyenletrendszer determinánsának a nulla voltából is, amely a triviálistól különböző megoldás létezésének a feltétele.
![]() |
|
11.3. ábra. A Fresnel-féle sebességi egyenlet (11.34) bal oldalán álló u = f(v) függvény grafikonja. A fősebességeket a nagyságuk szerinti sorrendben indexeltük. |
A kristályban terjedő s egységvektorral adott irányhoz tartozó vp fázissebességet a 11.34. sebességi egyenletek gyöke szolgáltatja. Könnyen belátható, hogy pozitív értékeket tekintve általában két gyök van. Indexeljük a fősebességeket nagyság szerinti sorrendben, és jelölje a 11.34. egyenlet bal oldalán lévő összeg tagjait f1, f2 és f3. Az fi tagnak vi helyen (i = 1, 2, 3) pólusa van , és vi előtt negatív, utána pozitív. Így v1 előtt az összeg negatív, majd v1 értéket éppen átlépve - az első tag miatt - biztosan pozitív lesz. Viszont közvetlenül v2 előtt - a középső tag miatt - biztosan megint negatív. Ezért az f(v) függvény folytonossága miatt a v1 és v2 között biztosan van zérushely, ahol az előjelváltás bekövetkezik. Mivel az összegben az egyes tagok monoton módon változnak, csak egy zérushely van ezen az intervallumon. Teljesen hasonlóan magyarázható a v2 és v3 közötti gyök megléte.
Mivel egy adott s egységvektorral megadott terjedési irányhoz a Fresnel-féle sebességi egyenletnek általában két gyöke van, a kristályban egy adott irányhoz két vp fázissebesség tartozik. Az adott fázissebességhez tartozó térerősséget a 11.32. homogén lineáris egyenlet határozza meg. Mivel a homogén egyenlet megoldásának állandószorosa szintén megoldás, így a 11.32 egyenlet csak az arányokat határozza meg. Ugyancsak a 11.32 egyenlet alapján ezek az arányok valósak, így a térerősség lineárisan poláros rezgést végez. A 11.18. egyenlet miatt
arányok szintén valósak, ami azt jelenti, hogy a D elektromos eltolás is lineárisan poláros. Hamarosan meg fogjuk mutatni, hogy a két fázissebességhez tartozó polarizációs irány egymásra merőleges.
A dualitás-szabályt a 11.32. egyenletre alkalmazva kapjuk a
|
(11.35) |
duális egyenletet. Ebből közvetlenül, vagy még egyszerűbben a 11.34. összefüggésre a dualitás-szabály alkalmazva kapható a
|
(11.36) |
a sugársebességre vonatkozó Fresnel-féle sebességi egyenletet, vagy a Fresnel-féle sugárirány egyenletet, amelyből az adott t sugárirányhoz tartozó két sugársebesség számítható ki.
A sugárirány és a hullámnormális egymástól nem független. Az egyik már meghatározza a másikat. A közöttük lévő kapcsolat felderítése céljából tekintsük a 11.2. ábrát, melyről könnyen látható, hogy és
. A 11.13. és az utóbbi két egyenlet felhasználva
összefüggést adódik. Az és a
formulákat az előzőbe helyettesítve
|
(11.37) |
képletet nyerjük. A 11.32. egyenletet ε0·εj értékkel szorozva és a 11.8, a 11.35. és 11.37. egyenleteket összevetve az
|
(11.38) |
relációkat kapjuk. A 11.33. egyenletből következő összefüggést behelyettesítve és rendezve az
|
(11.39) |
formulák adódnak . Ebből már egyszerűen származtathatók a
|
(11.40) |
egyenletek. A indexekre a 11.40. egyenletet négyzetre emelve, továbbá kihasználva a t és s vektorok egységnyi hosszát és a
összefüggést a
|
(11.41) |
formulát kapjuk. Ebből a relációból következik, hogy
|
(11.42) |
ahol az első egyenlőség a definíció, míg a második már a 11.41 relációból adódik. Az egyenletből látható, hogy . A 11.42. egyenlettel definiált mennyiséget felhasználva a 11.39. egyenlet a
|
(11.43) |
alakba írható át. Mivel általában egy bizonyos s hullámnormálishoz két vp fázissebesség tartozik, így egy ehhez a hullámnormálishoz szintén két t sugárirány tartozik. Kéttengelyű kristályokban van két olyan szinguláris irány, amelyre 11.43. egyenletben a zárójelbeli tört nevezője nullává válik. Megmutatható, hogy a szinguláris s irányhoz végtelen sok t sugárirány tartozik, melyek s körül egy kúppaláston helyezkednek el. Hasonlóan kéttengelyű kristályokban van két szinguláris t sugárirány, melyhez szintén végtelen sok t körüli kúppaláston lévő s hullámnormális tartozik. Ezek az érdekes szinguláris irányokkal kapcsolatos a belső és külső kúpos törés jelensége [1], melyet a Fresnel-féle elmélet alapján W. R. Hamilton jósolt meg és kísérletileg H. Lloyd mutatott ki először.