Monokromatikus síkhullámok anizotróp közegben

Keressük a Maxwell-egyenleteknek az s egységvektor által megadott irányba terjedő ω körfrekvenciájú monokromatikus síkhullám megoldásait anizotróp közeget feltételezve. Ekkor komplex formalizmust használva

és     ,	(11.10)
és     ,

ahol c a vákuumbeli fénysebesség, valamint c/n az s irányhoz tartozó fázissebesség, és így n a törésmutató az s irányra vonatkozólag. A 11.10. kifejezéseket az M-1 egyenletbe helyettesítve és a J = 0 feltételt kihasználva, egyszerű - az izotróp esethez hasonló számolással - a

(11.11)

összefüggést kapjuk. Ugyanilyen módon az M-2 egyenletből és az 1.7. anyagegyenletből

(11.12)

egyenlet adódik, amely megegyezik az izotróp esetre vonatkozó 3.5. egyenlettel, mert mágneses szempontból izotróp a közeg (csak most a vákuumbeli fénysebességet c₀ helyett c jelöli). A 11.12. összefüggést a 11.11. kifejezésbe helyettesítve, és ismert vektor azonosságokat alkalmazva

(11.13)

egyenlethez jutunk, ahol

és

(11.14)

	11.1. ábra. Az elektromágneses tér jellemzőinek (B, H, E és D) egymáshoz viszonyított iránya anizotróp közegben terjedő monokromatikus síkhullám esetén.

az elektromos térerősség s vektorral párhuzamos illetve arra merőleges komponense, továbbá az átalakítások során kihasználtuk az  relációt és s vektor egységnyi hosszát. Az elektromágneses tér jellemzőinek egymáshoz viszonyított állását a 11.1. ábra szemlélteti. Mivel a közeg mágneses szempontból izotróp B és H azonos irányú. A 11.11. egyenlet szerint D merőleges az s és a H vektorokra. A 11.12. egyenlet alapján H merőleges az s és E vektorokra. Ebből következőleg s, E és D vektorok azonos, a H vektorra merőleges síkba esnek. Az animáción az s hullámnormális sötét zöld, az elektromos térerősség világos vörös, az s irányba eső komponense világos zöld, az E és a H vektorokra merőleges Poynting-vektor irányába mutató, szintén az s , E és a D vektorok síkjában fekvő

(11.15)

egységvektort sötét vörös szín jelöl. A H és a D vektorok transzverzálisak az s terjedési irányra, az E vektor viszont nem. A (D, H, s) és a (E, H, t) mindegyike jobbsodrású páronként merőleges vektorhármast alkotnak. Mivel a középső H elem közös, ezért az D és E valamint az s és t által bezárt, az ábrán kék ívvel jelölt, szögek azonosak. Továbbra is érvényes az izotróp esetben tett megállapítás, hogy az elektromos és mágneses energiasűrűség egyenlő (). Ugyanis 11.11. egyenletet és a vegyesszorzat elemeinek ciklikus permutációjára vonatkozó invarianciáját felhasználva

(11.16)

adódik az elektromos tér energiasűrűségére, továbbá teljesen hasonló módon a 11.12. és a 1.7. egyenletek alapján

(11.17)

a mágneses tér energiasűrűsége. Melyekből látható, hogy a két energiasűrűség valóban egyenlő, valamint a teljes energiasűrűségre

(11.18)

a kifejezést kapjuk.

Az s és a t egységvektorok eltérő iránya miatt, anizotróp közegben az energia a hullámfelületekre merőleges s iránytól eltérő t irányba terjed. Anizotróp közegben az energiaáramlás sebessége irányban és nagyságban is különbözik a fázissebességtől. A fázissebesség c/n nagyságú és a hullámfelületre merőleges, amit vektoriálisan a

(11.19)

formulával írhatunk le, ahol . Az energiaáramláshoz tartozó áramsűrűséget, a Poynting-vektort, az

(11.20)

alakba felírva bevezethetjük a

(11.21)

ún. sugársebességet, amely az energia terjedésének az irányába mutat és nagysága megadja erre az irányra merőleges elemi felületen az energiaáramlás sebességét. A 11.18. egyenletből

(11.22)

következik, ahol α az s és t egységvektorok által bezárt szög (és így cosα = t·s). A 11.22. formula azt mutatja, hogy a sugársebesség a hullámnormális irányba eső vetülete a fázissebességgel egyenlő. A törésmutató mintájára bevezethetjük a

(11.23)

ún. sugárindexet (vagy energiaindexet). A és a 11.22. összefüggéseket felhasználva

(11.24)

egyenletet kapjuk.