Koherencia

Az otthonunkban használt fényforrásaink, például izzólámpa fényével általában nem tapasztalunk interferenciát. Ha azt szeretnénk, hogy a szobánkban világosabb legyen, akkor a csillárban több izzót kapcsolunk fel. Ha interferencia lépne fel, akkor előfordulhatna az a szokatlan eset, hogy újabb izzót felkapcsolva sötétebb lenne a szobában. A környezetünkben többnyire azt tapasztaljuk, hogy fénynyalábok találkozásánál az intenzitások egyszerűen összeadódnak. Ezt a viselkedést a fényforrásban lévő elemi fénykibocsátási folyamatok tulajdonságai és a forrás kiterjedt volta okozzák.

Láttuk, hogy az interferencia szempontjából a fényhullámok fáziskülönbsége a meghatározó mennyiség. Ahhoz, hogy megfigyelhető interferencia alakuljon ki, a hullámok közötti fáziskülönbségnek a megfigyelési időtartamra vonatkozólag állandónak, vagy legfeljebb nagyon lassan változónak kell lennie, különben fáziskülönbségtől függő, pozitív és negatív értékeket felvevő interferenciatag átlagos értéke zérus lesz. Ennek következtében az elemi szinten mindig meglévő interferencia nem észlelhető. Szigorúan állandó fáziskülönbség azonban csak monokromatikus hullámok esetén alakulhat ki. Minél inkább különbözik a találkozó hullámok frekvenciája, annál gyorsabban változik a fáziskülönbségük időben. Ennek megfelelően makroszkopikusan megfigyelhető interferenciára monokromatikus vagy kvázi-monokromatikus fény esetén számíthatunk. A hétköznapi fényforrásaink pedig többnyire nem ilyenek. Ráadásul a fényforrásaink kiterjedtek, továbbá a bennük lévő elemi fényforrások (gerjesztett atomok, vagy molekulák) egymástól teljesen függetlenül sugároznak. Az ilyen fényforrásokban az elemi fénykibocsátások ún. spontán emisszióval történnek. Ennek megfelelően a kisugárzott, már eleve nem-monokromatikus, így térben és időben véges hosszúságú elemi hullámvonulatok fázisa, és ezzel a fáziskülönbségük is véletlenszerűen és nagyon gyorsan változik. Ezért az elemi szinten mindig meglévő interferencia a makroszkopikus megfigyelési időintervallumban nem megfigyelhető. Atomfizikából tudjuk, hogy a fénykibocsátásnak van egy másik fajtája is, az ún. indukált emisszió. Indukált emisszió során a gerjesztett atom vagy molekula külső fényhullám hatására sugároz. A kisugárzott fény frekvenciája megegyezik a sugárzást kikényszerítő fény frekvenciájával, továbbá a fázisát a beeső fény fázisa határozza meg. Ennek megfelelően, ilyen fénykibocsátás esetén interferencia megjelenésére számíthatunk. Így egyáltalán nem meglepő, hogy a mai interferencia kísérleteknél sokszor lézert használunk, mert a lézerben a fénynyaláb indukált emisszió útján keletkezik.

Ha a fénynyalábok találkozásánál interferenciát tapasztalunk, akkor a két fénynyalábot kölcsönösen koherensnek nevezzük. A fénnyel megvilágított tartomány minden pontjában egy elektromágneses rezgés van jelen. Minél inkább monokromatikus a fény, annál inkább tekinthetjük egy bizony időintervallumban harmonikus rezgésnek ezeket a regéseket. Koherenciaidőnek nevezzük azt az időbeli hosszat, melyre ezek a rezgések harmonikusnak tekinthetők. A koherenciaidőn belül egy adott helyen a rezgések fázisa lineárisan függ az időtől. Két valószínűségi változó lineáris kapcsolatának mértékét a korrelációs együtthatóval szokás jellemezni. Koherens fény esetén a rezgések fázisa között szoros korreláció van. Ha egy adott helyen a különböző időpontokban vizsgált fázisok korreláltak, akkor időbeli koherenciáról, ha a tér különböző pontjaiban jelen lévő rezgések egyidejű fázisa korrelált, akkor térbeli koherenciáról beszélünk. Ez alapján azt mondhatjuk, hogy az interferencia a találkozó hullámok fázisának a korreláltságát jelzi.

Jelölje t_c a koherenciaidőt. Az ebből származtatott

(9.13)

mennyiséget koherenciahossznak nevezzük, ahol c a fénysebesség. Kvázi-monokromatikus fény esetén, Fourier-féle előállítást használva, megmutatható, hogy

(9.14)

formában fejezhető ki, ahol λ₀ az átlagos hullámhossz (vagy központi hullámhossz) és Δλ a spektrális sávszélesség [1]. Amennyiben az optikai úthosszkülönbség meghaladja a koherenciahosszt, akkor a találkozó hullámok fázisa közötti nincs korreláció. Ez alapján világos, hogy megfigyelhető interferencia kialakulásához az optikai úthosszkülönbségnek kisebbnek kell lennie, mint a koherenciahossz.

Az  elektromos térerősségű fényhullám koherencia tulajdonságait kvantitatívan a

(9.15)

formulával definiált (komplex) kölcsönös koherencia-függvénnyel vagy más néven a keresztkorrelációs függvénnyel jellemezhetjük, ahol Z a közeg hullámimpedanciája és a statisztikai sokaságra vonatkozó átlagot jelöli, amely sokszor időbeli átlaggal is kiszámolható. A mezőt stacionáriusnak nevezzük, ha a statisztikus tulajdonságokat kifejező Γ az időbeli eltolásnál változatlan marad. Ekkor Γ - az időváltozókat tekintve - csak a τ változótól függ. A definícióból látható, hogy  az  pontbeli intenzitást adja meg. Amennyiben , akkor  az pontbeli autokorrelációs függvény vagy önkoherencia-függvény az időbeli koherenciára jellemző. A térbeli koherenciát pedig az térbeli koherencia-függvény vagy kölcsönös intenzitás jellemzi. A koherencia mértékét kvantitatív módon az úgy nevezett

(9.16)

(komplex) kölcsönös koherenciafokkal jellemezzük, amely mint látható a kölcsönös koherencia-függvény normált változata. Megmutatható, ennek komplex számnak az abszolút értéke 0 és egy közé esik, azaz

.

(9.17)

Ha , akkor a fényt teljesen koherensnek mondjuk, továbbá esetén (teljesen) inkoherens (vagy nem-koherens), a két szélső eset közötti γ értéknél pedig részlegesen koherens fényről beszélünk. A bevezetőben említett koherencia időt a

(9.18)

összefüggéssel szokás definiálni.

Két, az és  elektromos térerősségekkel adott fényhullám találkozásakor a monokromatikus esetet leíró egyenlettel analóg módon az

(9.19)

egyenlet adja meg a találkozás következtében létrejövő intenzitást, ahol

és

(9.20)

a két találkozó nyaláb intenzitása, továbbá a   interferenciatagot a

(9.21)

kölcsönös koherencia-függvény adja meg. Ha bevezetjük ennek is a normált, 

(9.22)

egyenlettel definiált változatát, akkor az intenzitást a

(9.23)

egyenlet adja meg. A γ₁₂ normált kölcsönös koherencia-függvény nyilván függ a megfigyelési helytől. Így a koherencia mértékét leíró függvény abszolút értéke is függ a megfigyelési helytől. Az adott helyen a két nyaláb teljesen koherens, ha  , (teljesen) inkoherens, ha és részlegesen koherens a két szélső eset között . Monokromatikus nyaláb esetén

,

(9.24)

ahol δ a két nyaláb közötti fáziskülönbség a megfigyelési helyen. Így a 9.24. és a 9.23. egyenlet együtt nyilván a 9.10. egyenletre vezet.

Az interferencia jelenség kontrasztja általában akkor nagy - azaz jól látható -, ha minimális intenzitás jól megkülönböztethető a maximálistól. Ez leginkább akkor valósul meg, mikor a minimumok gyakorlatilag intenzitás zérushelyek. Ekkor a még a fényszegény interferenciajelenség is jól látható. A jelenség kontrasztját a

(9.25)

láthatóságnak nevezett, 0 és 1 közé eső mennyiséggel szokás jellemezni. A definíció alapján V = 0 esetén I_max = I_min, és V = 1 esetén I_min = 0. Amiből nyilvánvaló, hogy V = 1 esetén legjobb a láthatóság, és V csökkenésével a kontraszt romlik. Az interferencia láthatósága és a γ₁₂ komplex koherenciafok között szoros kapcsolat van, ugyanis fennáll a

(9.26)

összefüggés. Speciálisan, ha két intenzitás azonos (I₁ = I₂), akkor a láthatóság egyenlő a komplex koherenciafok abszolút értékével. A 9.26. összefüggés azt mutatja, hogy koherenciafok csökkenése a láthatóság romlásával jár.