Diszperziós relációk

A 8.5. egyenlettel definiált komplex szuszceptibilitásnak, és így a belőle származtatott komplex dielektromos állandónak van egy különösen érdekes tulajdonsága: hamarosan látni fogjuk, hogy a valós és a képzetes részük nem függetlenek egymástól. Valójában elegendő az egyiket megadni, a másikat ez már meghatározza.

A kauzalitás 8.2. feltétele miatt a 8.5. egyenletbeli integrálnál az integrandus zérus negatív t értékekre, ezért 

.

(8.22)

Ez a függvény a valós számegyenesen van értelmezve, de az 8.22. integrál alapján kiterjeszthető a komplex síkra. Ha , akkor

,

(8.23)

amelyből következik, hogy az ω₂ ≤ 0 alsó komplex félsíkon holomorf (vagy másképp mondva analitikus, azaz az ω a komplex változó szerint differenciálható). Legyen ω₀ tetszőleges valós körfrekvencia, és tekintsük a

(8.24)

	8.2. ábra. Az integrálási útvonal. Az integrandus valós tengelyen lévő pólusát egy δ sugarú félköríven kerüljük ki.

függvényt. Az elmondottak szerint h függvény is holomorf az alsó komplex félsíkon kivéve a valós tengelyen fekvő ω₀ pontot. Ezért a komplex függvénytan Cauchy-féle integráltétele szerint h bármely az előbbi tartományban fekvő zárt görbére vonatkozó integrálja zérus, így nulla a 8.2. ábrán látható C görbére vonatkozólag is, azaz

.

(8.25)

Az integrálási útvonal a valós tengelyen lévő (–R, ω₀ – δ) és a (ω₀ + δ, R) egyenes szakaszokból és egy δ > 0 és egy R > 0 sugarú K_δ és K_R félkörívekből áll, a görbe körbejárási irányát a nyíl mutatja. Az integrált felbonthatjuk ezekre a szakaszokra, így

.

 A félköríveket a ψ és a φ szögekkel paraméterezve

      

ahol és  és a két integrál utolsó átalakításánál az integrálszámítás (folytonos függvényekre) vonatkozó középértéktételét használtuk fel. Vizsgáljuk meg, hogy miként viselkednek a félkörívekre vonatkozó integrálok δ → +0 illetve R → ∞ esetén. A  függvény folytonossága miatt

áll fenn. A 8.23. egyenlet következtében, mivel  az alsó komplex félsíkon van, így ha R → ∞, valamint amennyiben R → ∞. Ezeket figyelembe véve

.

A fentieket mind figyelembe véve 8.25. egyenletből

(8.26)

az összefüggés következik, ahol a P szimbólum az integráljel előtt a Cauchy-féle főértékre utal. Ha

előállítást behelyettesítjük és az egyenlet két oldalán a valós és a képzetes részeket egyenlővé tesszük, akkor

és

(8.27)

úgy nevezett diszperziós relációkhoz, vagy más néven a Kramers-Kronig-integrálokhoz jutunk. Ha a komplex dielektromos állandót is a már látott

alakba írjuk fel, akkor a összefüggés miatt és áll fenn, és így a 8.27. Kramers-Kronig-integrálok integráloknak a dielektromos állandóra vonatkozó alakja

és        .

(8.28)

Közvetlen számolással ellenőrizhető, hogy a Lorentz-féle modellből adódó 8.10. függvények teljesítik ezeket az összefüggéseket, azaz a a Lorentz-féle modell Kramers-Kronig konzisztens. Kihasználva, hogy páros, páratlan függvények, azaz és tulajdonságok állnak fenn, a 8.28. integrálok könnyen átírhatók az

és

(8.29)

alakba, amelyben már csak a fizikai jelentéssel rendelkező nem negatív körfrekvenciákra kell integrálni.

A 8.28. vagy a 8.29. Kramers-Kronig-integrálok a dielektromos állandóra vonatkoznak. A levezetésnél előírt feltételeket azonban gyakran nem csak , hanem az komplex törésmutató is teljesíti. Ezért, ha analitikus az alsó komplex félsíkon és ezen a tartományon zérushoz tart a végtelenben (, ha és ), akkor n és κ szintén Kramers-Kronig konzisztensek, azaz teljesítik a Kramers-Kronig- integrálokat.

A szakirodalomban szintén gyakran használják a monokromatikus hullámok időfüggésére az kifejezést, az általunk használt  helyett. Ekkor a dielektromos állandót az , a törésmutatót pedig és az alakban szokták felírni, és a Fourier-traszformáció formulái is az exponens előjelében különböznek. Ilyenkor a a felső komplex félsíkon analitikus, és mivel az integrálási útvonalnak a holomorfia tartományban kell lennie, a 8.2. ábrán látható görbének valós tengelyre vonatkozó tükörképét kell a levezetésnél használni.