Polarizációs tulajdonságok

A 3.15. egyenletekből az elektromos térerősséget az

(3.18)

alakban írhatjuk fel, ahol

.

(3.19)

Ebből kiindulva a monokromatikus vektorhullámok polarizációjáról elmondottakat közvetlenül alkalmazhatjuk. Egyszerűen beláthatók a következő összefüggések:

(3.20)

Ezeket a 2.52. egyenletbe helyettesítve és a trigonometrikus azonosságokat felhasználva, az ellipszis féltengelyeinek a hosszára

(3.21a-b)

adódik, ahol δ = φ_x − φ_y = α_y − α_x a két komponens közötti fáziskülönbség. A 3.21 egyenleteit összeadva, valamint az elsőből a másodikat kivonva és négyzetre emelve, egyszerű számolással az

(3.22a-b)

formulákat nyerjük.

	3.1. ábra. A polarizációs ellipszis.

A 2.50. és a 3.20. egyenletekből következik, hogy

(3.23)

Ebből megmutatható, hogy 

.

(3.24)

Így - a polarizáltság irányáról elmondottak szerint - balra elliptikusan poláros esetben B iránya az η tengellyel egyező, míg jobbra elliptikusan poláros esetben ellentétes irányú. Ezért a 2.46. egyenlet alapján a 3.1. ábrán ábrázolt polarizációs ellipszis tengelyeinek az irányában álló (ξ, η) koordináta-rendszerben

,

(3.25a-b)

ahol a felső előjel a balra, míg az alsó előjel a jobbra polaritás irányra vonatkozik. Határozzuk meg a 3.1. ábrán ábrázolt polarizációs ellipszis helyzetét megtározó ψ szöget! Jegyezzük meg, hogy a 2.54. egyenlettel adott szöget - eltérően a mostani jelöléstől - az a vektortól mértük. Azonban alkalmazásoknál célszerűbb lehet egy szabadon választott iránytól (mondjuk az x tengelytől) is meghatározni a helyzetet megadó szöget. Az E vektor (x, y) koordináta-rendszerbeli és a ψ szöggel elforgatott (ξ, η) koordináta-rendszerbeli koordinátáit az

(3.26a-b)

forgatási transzformáció köti össze. A 3.15. egyenletekből a térerősség komponenseit behelyettesítve és a cos függvény addíciós képletét felhasználva, továbbá a a 3.25. egyenlettel összevetve, és a cos ωt és sin ωt együtthatóit egyenlővé téve a következő egyenlethez jutunk:

.

(3.27a-d)

Az előző egyenletekből az első és a harmadik, valamint a második és a negyedik szorzata egy előjelben különbözik csak. Ez egy egyenletet szolgáltat a keresett ψ szögre, amely a trigonometrikus azonosságok többszöri alkalmazásával a

(3.28)

eredményt adja. A 3.27. egyenletekből szintén megkaphatók a 3.22. összefüggések. Ha az egyenletek négyzeteit összeadjuk és a trigonometrikus azonosságokat alkalmazzuk, akkor 3.22a formulát kapjuk. Hasonlóan a 3.27. második és harmadik egyenletének szorzatából kivonva az első és a negyedik szorzatát, trigonometrikus átalakításokkal 3.22b képlethez jutunk, melyben a felső előjel vonatkozik balra, míg az alsó előjel jobbra polarizált esetre.

Az egyenletek egyszerűbb alakba történő írása végett célszerű bevezetni a

, illetve a

(3.29a-b)

definíciókkal a 0 ≤ β < π/2 és a -π/4 ≤ χ ≤ π/4 segédszögeket. Látható, hogy χ szög nagysága az ellipszis lapultságára jellemző. Előjelével kapcsoltban, megállapodás szerint negatív illetve pozitív a balra illetve jobbra polarizált fényre vonatkozólag. A β segédszöggel, a összefüggést felhasználva, a 3.28. egyenlet a

(3.30)

alakba írható át. A 3.22. második összefüggését 2-vel szorozva és az elsővel elosztva

(3.31)

adódik, ahol a jobb oldalon 3.29b egyenlettel definiált χ szöggel fejeztük ki.  Hasonló módon a bal oldalt 3.29a egyenlettel értelmezett β szöggel átalakítva

(3.32)

formulához juthatunk.