Monokromatikus hullámok

A 2.7. hullámegyenlet azon megoldásait, melyek

(2.17)

alakba írhatók, monokromatikus (azaz egyszínű) megoldásoknak szokás nevezni, mivel egy spektroszkóppal spektrumszínekre bontott fénysugárzás ilyen képlettel írható le. Az A(r) függvény a hullám amplitúdója, míg ωt − φ(r) a hullám  fázisa, ω a hullám körfrekvenciája, és φ(r) a fázis térfüggő része  A jobb oldalon lévő  szimbólum a komplex szám valós részét jelöli. U(r) a hullám komplex amplitúdója, amely a valós amplitúdót és a fázist is magába foglalja, az Euler-formulák alapján . Mivel 2.17. kifejezés egy adott (rögzített) pontban egy harmonikus rezgést ír le, ezért a monokromatikus hullámok azok a hullámok, melyeknél a tér minden pontjában a hullámban rezgő mennyiség egy adott ω körfrekvenciájú harmonikus rezgést végez.

Az optikában, mint ahogy az elektrodinamikában is, igen elterjedt az úgynevezett komplex formalizmus használata, mikor az egyenletek megoldásánál a 2.17. egyenletbeli valós hullámzó mennyiség helyett a hullám

(2.18)

komplex alakjával számolunk. A komplex végeredmény valós része szolgáltatja a keresett valós végeredményt. Ez az eljárás akkor megengedett, ha az egyenletek és az alkalmazott műveletek lineárisak. Ez az eljárás sok előnnyel jár, mert általában a komplex számok használatával a számolás egyszerűbb. A későbbiek során többnyire ezen komplex formalizmust fogjuk alkalmazni.

Könnyen megmutatható, - a hullámegyenletbe való helyettesítéssel - hogy a 2.18. formulával adott (komplex) monokromatikus hullám akkor és csak akkor megoldás, ha az U komplex amplitúdó kielégíti a

(2.19)

Helmholtz-féle egyenletet, ahol k = ω/c. A koszinusz függvény addíciós képletét alkalmazva 2.17. egyenletbeli függvény

(2.20a)

alakba írható át, ahol

és      .

(2.20b-c)

Könnyen megmutatható, - szintén a hullámegyenletbe való helyettesítéssel - hogy 2.20a (és így 2.17) egyenlet akkor és csak akkor megoldása a hullámegyenletnek, ha az a és b amplitúdók kielégítik a 2.19. Helmholtz-egyenletet.