Az energia terjedése. Intenzitás
Energia-tétel
Ha egy elektromágneses térben egy q töltésű, m tömegű részecske tartózkodik, akkor a rá az Lorentz-féle erő hat, és a mozgását az
mozgásegyenlet határozza meg, amit - mivel az anyag folytonos eloszlású - célszerű a
![]() |
differenciális alakba felírni, ahol v a részecske sebessége, ρm a tömeg-, ρ a töltéssűrűség, J = ρv az áramsűrűség, E az elektromos térerősség, B a mágneses indukció. Az 1.17. egyenletet a sebességgel skalárisan megszorozva, egyszerű átalakítással az
![]() |
(1.19) |
egyenletet kapjuk, ahol wk a kinetikai energia sűrűsége. Az M-1 egyenletet E-vel, az M-2 egyenletet H-val skalárisan szorozva az
![]() |
(1.20a) |
![]() |
(1.20b) |
képletekhez jutunk. Az 1.20b egyenletből az 1.20a egyenletet kivonva, valamint az 1.19. egyenletet és a azonosságot alkalmazva az
![]() |
(1.21) |
összefüggés adódik. Az 1.3. és 1.7. lineáris anyagegyenletek fennállta esetén
és az
teljesülnek. Így az 1.19. egyenletet is figyelembe véve, 1.21. egyenletet az
![]() |
(1.22) |
alakra hozhatjuk, ahol
(1.23) |
az úgy nevezett Poynting-féle vektor és
(1.24) |
az elektromágneses mező energiasűrűségeként értelmezhető. Ugyanis az 1.22. egyenlet formailag teljesen megegyezik a töltés-megmaradást kifejező kontinuitási egyenlettel, és így töltés megmaradásához hasonlóan, az energiamegmaradását fejezi ki lokális alakban. Most is az 1.22. egyenletet egy adott V térfogatra integrálva és Gauss-tételével a divergenciát tartalmazó tagot tartomány felületére vonatkozó integrálra átírva
|
(1.25) |
összefüggéshez jutunk, ahol F a V térfogat felületét jelöli. A bal oldalon lévő integrál a t időpontban a V térfogatban lévő energiát adja meg, amely két tagból az elektromágneses mező energiájából és a töltött anyag mozgási energiájából tevődik össze. Ebből az egyenletből kiolvasható a Pointing-vektor jelentése: a felület kicsiny Δf nagyságú felületén kicsiny Δt idő alatt ΔW = S·n·Δf·Δt energia áramlik keresztül, ahol n a kifelé mutató felületre merőleges egységvektor. Ahol S felületre merőleges komponense kifelé mutat, az energia áramlik ki, míg ahol befelé mutat, az energia áramlik be a térfogatba. Azaz S az elektromágneses tér energiaáramlás-sűrűsége. Az 1.25. egyenletet egy adott (t0, t1) időintervallumra integrálva a
![]() |
(1.26) |
egyenlethez jutunk. A bal oldalon a t1 és a t0 időpontban a V térfogatban lévő energia különbsége, míg a jobb oldalon a negatív jel után a térfogat felületén a (t0, t1) időintervallumban átáramló energia áll. Ily módon az 1.25. és 1.26. egyenletek az energia megmaradását fejezik ki globális formában.