A komplex törésmutató

Ha a komplex dielektromos állandó segítségével a Maxwell-reláció mintájára bevezetjük az

(7.7)

definícióval a komplex törésmutatót, akkor az

(7.8)

a 7.5. Helmholtz-egyenletnek a megoldása, ahol k₀ = ω/c₀ a vákuumbeli hullámszám, s egy adott irányt kijelölő egységvektor és E₀ egy állandó komplex vektor. Ezért a

(7.9)

hullám megoldása a 7.3. alapegyenletünknek. Az egyenletbe behelyettesítve a komplex törésmutató 7.7. előállítását az

(7.10)

egyenlethez jutunk, ahol

.

(7.11)

A 7.10. egyenlet egy s irányba terjedő exponenciálisan csillapodó síkhullámot ír le, és belőle kiolvasható n és κ fizikai jelentése is. Látható, hogy a valós rész a hullám fázisának változásával, míg a képzetes rész a hullám amplitúdójának a csökkenésével kapcsolatos. Legyen r és r₁ két tetszőleges pont. Ezek mindegyike rajta van egy, az s vektorra merőleges síkon. Ha d a két sík távolságát jelöli, akkor akkor alakban írható fel, ahol u az s-re merőleges vektor (l tényező konkrét értékének itt nincs jelentősége). Ezt a felbontást a 7.10. egyenletbe beírva

(7.12)

adódik, amiből látható, hogy a hullám terjedési irányába eső d távolságon a hullám a e^-k_0·κd mértékben csillapodik, és a két síkbeli fázisa k_0·nd értékkel különbözik. A 7.10. egyenletből közvetlenül látható, hogy a hullám fázisa a 7.11. egyenlettel adott sebességgel terjed. Azaz a monokromatikus hullám fázissebességét a komplex törésmutató valós része határozza meg. A 7.12. egyenletből kiolvasható, hogy a hullám amplitúdója

(7.13)

távolságon e-ad részére csökken, ahol λ₀ a vákuumbeli hullámhossz.

A 7.7. egyenletet négyzetre emelve és az   (7.6.) előállítást használva

egyenletrendszert kapjuk, és ezt megoldva

és

(7.14)

összefüggések adódnak.

Gyengén vezető közeg esetén , vagyis a 7.6. egyenlet alapján, mikor , így 7.14. egyenletből

és

(7.15)

közelítéseket kapjuk. Jó vezetők esetén , vagyis mikor

és

(7.16)

közelítések használhatók.

Érdemes megjegyezni, hogy a komplex törésmutatót és komplex dielektromos állandót megadó 7.7. és 7.6. egyenletek az időfüggésre  vonatkoznak. Amennyiben helyette, a szakirodalomban ugyancsak gyakran szokásos, időfüggést használjuk, akkor a most bevezetett komplex mennyiségeknél a komplex konjugáltakat kell használni, azaz a komplex törésmutatót az , a komplex dielektromos állandót pedig az alakban adják meg.