Hullám- és sugárfelület
![]() |
|
11.10. ábra. A sugár- és a hullám-felület síkmetszete a dielektromos főtengelyek (x2, x3) síkjában. |
Ha a kristály egy rögzített O pontjából minden irányba felmérjük a két rezgési iránynak megfelelő fázissebesség vektorokat (11.19. egyenlet), akkor egy kéthéjú felületet kapunk. Ezt a felületet hullámnormális-felületnek, vagy egyszerűn csak hullámfelületnek nevezzük. Az eljárást a 11.21. egyenlettel adott
sugársebességekkel megismételve az ugyancsak kéthéjú sugárfelülethez jutunk. A sugár- illetve hullámfelület egy-egy héjának síkmetszetét a 10.10. ábra szemlélteti. Általában a sugárfelület negyed-, míg a hullámfelület hatodrendű felület. A két felület rendje azért sem azonos, mert ezek nem egymás duálisai. A 10.1. táblázat alapján a sebességek reciproka a duális változó, így a duális felület esetén a másik sebesség reciprok értéknek megfelelő szakaszt kellene felmérni az adott irányban.
A sugár- és hullámfelületek között nagyon érdekes geometriai kapcsolat áll fenn. Ennek feltárásának érdekében induljunk ki az
|
(11.58) |
összefüggésből, amely a 11.13. egyenlet duálisa. Ezt ha megszorozzuk -tel és kihasználjuk, hogy
és
, akkor az
|
(11.59) |
relációhoz jutunk. A sugárfelület pontjait éppen azok az r vektorok jelölik ki, melyek ennek az egyenletnek tesznek eleget, hiszen a sugársebességet meghatározó 11.36. sugáregyenlet is ennek a következménye. Ha sugárfelületen kicsit elmozdulunk az R pontból, akkor az E térerősség, a D eltolás és az r vektor egy kicsit megváltozik. Legyenek ezen mennyiségek megváltozásai sorrendben dE, dD és dr. Mivel a felületen mozdulunk el, és az elmozdulás infinitezimálisan kicsiny, a dr vektor az sugárfelület R pontjának érintősíkjában van. Mivel a felület pontjaira fennáll a 11.59. egyenlet, a kicsiny változások közötti kapcsolatot ennek differenciálja adja meg. Az összegre és a szorzatra vonatkozó differenciálási szabály alapján
|
(11.60) |
az összefüggés áll fenn. Ezt D-vel skalárisan szorozva és rendezve a
|
(11.61) |
relációt kapjuk. Az első szögletes zárójelben lévő tag éppen a 11.59. összefüggés jobboldalával azonos, továbbá a 11.61. kifejezés bal oldalán álló tagot főtengely-rendszerben átalakíthatjuk a
módon. Így a 11.61. összefüggés az
formába alakítható át. Ebből pedig már látható, hogy a jobboldali második skaláris szorzat zérus. A szögletes zárójelben lévő vektort a vektoriális szorzatra vonatkozó azonossággal átalakítva az
|
(11.62) |
egyenletet kapjuk. A 11.1. és a 11.2. ábrák alapján egyszerűen látható, hogy a vektor az
vektorral párhuzamos, így 11.62. szerint
|
(11.63) |
összefüggés áll fenn, ami pontosan azt jelenti, hogy a hullámnormális merőleges a sugárfelület R pontbeli érintő síkjára. Az 11.22. egyenlet alapján , így az
síkban fekvő ORH derékszögű háromszögre (lásd a 11.10. ábrát) teljesül
. Ami azt jelenti, hogy a fázissebesség vektor H végpontja az érintősíkban van.
Azaz eredményünket tömören összefoglalva: megmutattuk. hogy a sugárfelületet egy adott t sugárirányban lévő R pontbeli érintősíkjára a (t-hez tartozó) s hullámnormális merőleges és vektor H végpontja az érintősíkban van. Az ilyen geometriai viszony teljesülése estén azt mondjuk, hogy a hullámfelület a sugárfelület talppontfelülete. A 11.10. ábra a felületeknek egy síkmetszete, így a hullámfelületet reprezentáló görbe a sugárfelületnek megfelelő görbének a talppontgörbéje. Az alábbi animáció a két görbe kapcsolatát szemlélteti. Később látni fogjuk, hogy a sugárfelület metszete az (x2, x3) síkban egy ellipszis, melynek az x2 és x3 irányú féltengelyeinek hossza (sorrendben) a v3 és v2 fősebességek (v3 < v2). Az animáción a tengelyek hosszát a kék színű végpontjaik mozgatásával változtathatjuk. Az animálás jelölő négyzetbe kattintva az R pont végig fut a görbén és a program kirajzolja a hozzátartozó H talppontot. Az ábrát a ctrl-F billentyű paranccsal törölhetjük.
Egy adott irányhoz tartozó terjedési sebességeket a Fresnel-féle sebességi egyenletek gyökei szolgáltatják. A fázissebesség vizsgálatának érdekében szorozzuk meg a 11.34. egyenletet a három nevező szorzatával. Így a
|
(11.64) |
kifejezést kapjuk. Először a matematikai szempontból egyszerűbb esetet, az egytengelyű kristályokat fogjuk vizsgálni.