Müller-féle mátrix

Mielőtt néhány konkrét optikai rendszernek a Stokes-vektorra gyakorolt hatásával foglalkoznánk, célszerű megvizsgálni, hogy miként változnak a Stokes-vektor komponensei a koordináta-rendszer forgatásakor. Ezen transzformáció ismeretében a számolások egyszerűbben elvégezhetők. Jelölje a komplex térerősség komponenseit U_x és U_y az (x, y), míg U_ξ és U_η a (ξ, η) koordináta-rendszerekben, ahol az utóbbi tengelyei α szöggel vannak elfogatva, így a 4.6. egyenlet alapján

(4.24)

összefüggés áll fenn a térerősség komponensei között. A 4.20. egyenlet alapján az elforgatott koordináta-rendszerben a Stokes-vektor elemeit az

(4.25)

formulákból számolhatjuk ki. A 4.24. egyenleteket a 4.25. képletekbe helyettesítve és a szögfüggvények négyzetösszegeire valamint a kétszeres szögekre vonatkozó azonosságokat felhasználva

(4.26)

adódik. A Stokes-paraméterek 4.20. egyenletbeli komplex előállítását ismét felhasználva

(4.27)

eredményhez jutunk, ami azt mutatja, hogy az elforgatott rendszerbeli paraméterek az eredeti paraméterek lineáris kombinációi. Így 4.27. egyenletet

(4.28)

mátrixos formában is felírhatjuk, ahol

(4.29)

a mátrix írja le a koordináta rendszer elforgatásának a hatását. A számolásoknál sokszor szükség van, hogy az elforgatott rendszerből visszatérjünk az eredeti rendszerbe. Ezt a transzformációt nyilván az F(α) mátrix inverze írja le. Könnyű belátni, hogy .

Legyen a polarizátor átviteli tengelye α szöggel elforgatva. Először azt vizsgáljuk meg, hogy ebben az elforgatott koordináta-rendszerben hogyan írható le a polarizátor hatása. Ennek ismeretében a forgatási transzformációval az általános esetet is könnyen megkaphatjuk. Az ideális polarizátor a ξ tengely irányába eső térerősséget változatlanul átengedi, míg az η tengely irányába eső térerősség komponenst teljesen elnyeli, így a belépő és a kilépő fény térerősségei között az

és

(4.30)

kapcsolat áll fenn, ahol a felülhúzás jelöli a kilépő fényre vonatkozó mennyiségeket. A 4.20. egyenlet alapján a Stokes-paraméterekre az

(4.31)

összefüggések adódnak, amely a 4.1. táblázat első sora alapján összhangban van azzal az elvárással, hogy a kilépő fény ξ irányban lineárisan poláros. A jobb oldalon lévő mennyiséget viszont ki tudjuk fejezni a Stokes-féle paraméterekkel: a 4.20. egyenletből

(4.32)

Amit  felhasználva 4.31. formulát a kilépő és a belépő fény Stokes-vektorai közötti kapcsolatot az

(4.33)

összefüggés írja le a polarizátorhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben, ahol

(4.34)

Mivel az (x, y) és (ξ, η) vonatkoztatási rendszerbeli Stokes-vektorok között fennáll az

és

(4.35)

kapcsolat, melyeket a 4.33. egyenletet helyettesítve és F(α) inverzével balról szorozva

,

(4.36)

összefüggést kapjuk. A mátrix szorzásokat elvégezve, az x tengelyhez képest α szöggel elforgatott ideális polarizátor Müller-féle mátrixára az

(4.37)

eredmény adódik. Természetesen pontosan ugyanez az eredmény adódik, ha a 4.11. egyenletekkel kiszámítjuk a polarizátorból kilépő fény térerősségét és ebből a 4.20. összefüggések alapján közvetlenül meghatározzuk a Stokes-féle paramétereket, csak ekkor a számolás kicsit hosszabb. A forgatási transzformáció vizsgálatának éppen a számolások egyszerűsítése volt az egyik lényeges célja.

A vizsgálatot az előző esethez hasonlóan, most is célszerű úgy elvégezi, hogy először meghatározzuk a kompenzátorhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a Müller-mátrixot, majd a forgatási transzformációt alkalmazzuk. Ha a ξ tengely a gyors tengely és az η tengely a lassú tengely, akkor a 4.13. Jones-mátrixból rögtön következik, hogy a kilépő és a belépő fény térerősségei között az

és

(4.38)

összefüggések állnak fenn, ahol δ a kompenzátor által bevezetett fáziskésés. Ezeket a Stokes-féle paraméterek 4.20. komplex előállításába helyettesítve és az Euler-féle formulákat felhasználva egyszerű számolással kapjuk, hogy

(4.39)

a kilépő fény Stokes-féle paramétereit a kompenzátorhoz rögzített rendszerben. Látható, hogy az egyenletekbe ismét megjelentek a belépő fény Stokes-féle paraméterei a 4.20. komplex alakjukban. Így

,    ahol    .

(4.40)

A laboratóriumi rendszerbe a polarizátornál látott módon térhetünk át, vagyis a most is fennálló 4.35. relációkat alkalmazva teljesül az

(4.41)

egyenlet, ahol a mátrixok behelyettesítésével

(4.42)

adódik a Müller-mátrixra. Az alkalmazásoknál különösen fontos λ/4-es lemez esetén δ = π/2, így ennek Müller-féle mátrixa

.

(4.43)

Hasonlóan a λ/2-es lemez esetén δ = π értékkel

(4.44)

adódik a 4.42. egyenlet speciális eseteként.