Vektorhullámok
Monokromatikus vektorhullámok
A vektoriális hullámegyenletet megoldását monokromatikusnak nevezzük, ha a komponensei monokromatikus skalárhullámok, azaz
![]() |
(2.36) |
( j = x, y, z), ahol és
, valamint a már említett előnyökkel járó komplex formalizmus végett itt is bevezettük az
komplex mennyiségeket. A skalárhullámoknál elmondottak alapján nyilvánvaló, hogy a 2.36. egyenlettel leírt vektorfüggvény akkor és csak akkor megoldása a vektoriális egyenletnek, ha aj, bj és Uj függvények a Helmholtz-egyenlet megoldásai. Ha bevezetjük az
|
(2.37) |
valós vektorokat, valamint az
|
(2.38) |
komplex vektort, akkor a monokromatikus vektorhullám a tömör
![]() |
(2.39) |
vektori alakba írató fel. A 2.38. egyenletbeli komplex vektorokkal alább foglalkozunk. Az egyenletbe való behelyettesítéssel könnyen igazolható, hogy a 2.39. vektorfüggvény akkor és csak akkor megoldása vektoriális hullámegyenletnek, ha az a, b és U kielégítik a
vektoriális Helmholtz-egyenletet, ahol , továbbá c0 a vákuumbeli fénysebesség, ε a relatív permittivitás, μ a relatív permeabilitás, és n a törésmutató. Ez az állítás nyilván abból is következik, hogy az a, b és U vektorok komponensei kielégítik a (skaláris) Helmholtz-egyenletet.
Vektorhullámok Fourier-felbontása
Mivel a vektoriális hullámok komponensei skalárhullámok, melyek a Fourier-integrál segítségével felbonthatók monokromatikus skalárhullámok összegére, így a vektorhullámok szintén előállíthatók monokromatikus vektorhullámok szuperpozíciójaként, azaz
,
ahol a valós Fourier-féle amplitúdókat az
és
formulákkal számíthatjuk ki, míg a komplex Fourier-traszformáltat a
formula adja meg. Pontosan a Fourier-féle előállítás miatt játszanak a monokromatikus hullámok különösen fontos szerepet.
Kompex vektorok és műveleteik
A 2.38. egyenletben is látható komplex vektort a komplex számok mintájára értelmezzük. A közöttük érvényes műveleti szabályokat is ilyen módon definiáljuk. Ennek megfelelően, ha a, b, c és d a háromdimenziós tér tetszőleges vektorait jelölik, akkor az és a
komplex vektor összegén a
vektort értjük. Továbbá, a λ tetszőleges skalár és az U vektor szorzatát a
képlettel definiáljuk. Könnyen belátható, hogy az így értelmezett műveleteknek megvannak a vektorok közötti műveletektől szokásos módon megkövetelt tulajdonságai. Ennek megfelelően a háromdimenziós tér rendezett
vektorpárjainak az elemeit, a definiált műveletekkel együtt, jogosan tekinthetjük vektoroknak. Ezeket a komplex számokhoz hasonlóan célszerű az
alakba írni, mert ezzel a komplex vektorok közötti műveleteket vissza tudjuk vezetni a közönséges (háromdimenziós) vektorok közötti műveletekre.
A komplex vektorok között értelmezhető a skaláris és a vektoriális szorzat is. Ezeket visszavezetjük a háromdimenziós vektorok közötti megfelelő műveletekre. Ennek megfelelően az U és V komplex vektorok skaláris szorzatát az
képlettel értelmezzük, ami megfelel annak, hogy a zárójeleket formálisan felbontjuk a komplex számok és vektorok számolási szabályainak megfelelően. Hasonló módon, a formális számolási szabályokkal összhangban, vektoriális szorzatot az
formulával értelmezzük. Egyszerű számolással megmutatható, hogy Descartes-féle derékszögű koordinátákkal reprezentálva a vektorokat, a szokásos formulák érvényben maradnak, például
,
, ahol
és
Az vektor konjugáltján az
vektort értjük, és ezért a koordinátái az U koordinátáinak konjugáltjai, azaz
.